上海交通大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（电子讲义）第7章 假设检验

第7章 假设检验 在科研、生产和日常生活中，我们常常要对很多问题做出一定的论断或猜测，这就 是假设，而假设需要做出是或非的回答。为此，我们需要安排一些试验，试验的结果与 我们感兴趣的问题有着某种关系，我们可以根据试验的结果对所作出的论断制或猜测制 定判断规则并做出是或非的回答。以上的过程我们称之为假设检验。假设检验为统计推 断的重要内容之一。本章在建立假设检验的有关概念之后，重点介绍正态总体的参数的 检验方法。 7.1假设检验的基本概念 1.统计假设 设总体X的分布函数为F(),F()一般完全或部分未知，对未知的总体分布所作假 设称为一个统计假设。当总体分布的类型已知，对分布的一个或几个未知参数的值作出 假设，或者对总体分布函数的类型或某些特征提出某种假设，这种假设称为待检假设或 零假设，通常用弘表示。事实上，当我们提出了零假设时，也同时给出了另外一个假 设，即提供给我们选择的备择假设，记为H。瓜与H是互不相容的。 在参数模型下，如果总体的分布类型己知，仅是某个参数未知，只要对未知参数作 出假设就可确定总体的分布。这种仅涉及到总体分布的参数的统计假设称为参数假设。 若是对总体的分布类型或某些特征提出假设，这称为非参数假设。 例1手表厂生产的女表表壳，在正常情况下，其直径（单位：mm)服从正态分 布N(20,1)。为了检查该厂某天生产是否正常，对生产过程中的手表表壳随机的抽查 了5只，测的表面直径分别为19,19.5,19,20,20.5。问这天生产是否正常？ 由问题的提出可知，我们实际上是要检查这天生产的手表表壳的直径4是否为 20?即提出假设：40=20及备择假设H:40≠20。这样，问题就转化为如何利用 抽查得到的样本去检验零假设μ0=20的真伪。因此，这就需要设置一种检验的规则以 及如何根据规则进行检验作进一步的讨论。 2.检验法则 在确定了待检假设以后，我们必须在与H之间作出抉择，而对一个假设的确定 只有接受和拒绝两种，例如在例1中，如果我们接受，即表示该厂这天的生产是正 常的，如果拒绝H,亦即接受H,则表示该天生产不正常。为此，必须设计一种合 理的法则，根据这一法则，就可利用已得到的样本作出判断。在例1中，由于要检验的 假设涉及总体均值，故容易想到可否借助样本均值x这一统计量来进行判断。这是因

第 第 7 7 章 章 假设检验 假设检验 在科研、生产和日常生活中，我们常常要对很多问题做出一定的论断或猜测，这就 是假设，而假设需要做出是或非的回答。为此，我们需要安排一些试验，试验的结果与 我们感兴趣的问题有着某种关系，我们可以根据试验的结果对所作出的论断制或猜测制 定判断规则并做出是或非的回答。以上的过程我们称之为假设检验。假设检验为统计推 断的重要内容之一。本章在建立假设检验的有关概念之后，重点介绍正态总体的参数的 检验方法。 7 7 ． ． 1 1 假设检验的基本概念 假设检验的基本概念 假设检验的基本概念 假设检验的基本概念 1．统计假设 设总体 X 的分布函数为 F(x)，F(x)一般完全或部分未知，对未知的总体分布所作假 设称为一个统计假设。当总体分布的类型已知，对分布的一个或几个未知参数的值作出 假设，或者对总体分布函数的类型或某些特征提出某种假设，这种假设称为待检假设或 零假设，通常用 H0 表示。事实上，当我们提出了零假设时，也同时给出了另外一个假 设，即提供给我们选择的备择假设，记为 H1。H0 与 H1是互不相容的。 在参数模型下，如果总体的分布类型已知，仅是某个参数未知，只要对未知参数作 出假设就可确定总体的分布。这种仅涉及到总体分布的参数的统计假设称为参数假设。 若是对总体的分布类型或某些特征提出假设，这称为非参数假设。 例 1 手表厂生产的女表表壳，在正常情况下，其直径（单位：mm）服从正态分 布 N(20，1)。为了检查该厂某天生产是否正常，对生产过程中的手表表壳随机的抽查 了 5 只，测的表面直径分别为 19，19.5,19,20,20.5。问这天生产是否正常? 由问题的提出可知，我们实际上是要检查这天生产的手表表壳的直径  是否为 20？即提出假设 H0： 0 = 20 及备择假设 H1： 0 20。这样，问题就转化为如何利用 抽查得到的样本去检验零假设 0 = 20 的真伪。因此，这就需要设置一种检验的规则以 及如何根据规则进行检验作进一步的讨论。 2．检验法则 在确定了待检假设以后，我们必须在 H0与 H1 之间作出抉择，而对一个假设的确定 只有接受和拒绝两种，例如在例 1 中，如果我们接受 H0，即表示该厂这天的生产是正 常的，如果拒绝 H0，亦即接受 H1，则表示该天生产不正常。为此，必须设计一种合 理的法则，根据这一法则，就可利用已得到的样本作出判断。在例 1 中，由于要检验的 假设涉及总体均值，故容易想到可否借助样本均值 x 这一统计量来进行判断。这是因

为x是！的无偏估计，样本均值x的大小在一定的程度上反映了“的大小。因此，当 假设瓜为真时，则观测值x与μ。=20的偏差x-20一般不应太大。如果x-20过分 大，我们就应怀疑假设的正确性并拒绝历。而衡量x-4的大小归结为衡量统 计量 (x-Mol 的大小，在环为真时统计量 x-o-N(01) Gn 基于上面的设想，我们可适当限定一正数人，使得当x满足不等式 x-Hol ≥k ahn 时就拒绝H。反之，若 x-Ho <k Gn 时则接受6。正数k的每一个选择都对应着一个不同的检验法则。 在给定的一个检验法则中，以。表示在此检验法中引起拒绝的所有可能的样本 观察值的集合，并称。为此检验法的拒绝域，而它的余集称为接受域。显然，检验法 与拒绝域是一一对应的。 3.两类错误 我们做出判断的依据是一个样本，由于样本的随机性，我们进行假设检验时不可避 免地出现误判而犯错误，当为真时，仍可能做出拒绝历的判断，这类错误称为犯第 I类错误，也称为“弃真”或“拒真”；也可能在h不真时，却接受h,称为犯第Ⅱ类 错误，也称为“取伪”或“受伪”。犯第一类错误的概率为 P{拒绝为真} 由于在实际中无法排除犯这类错误的可能性，因此，我们自然希望犯第I类错误的概率 控制在一定的限度之内。例如可给定一个较小的正数(0<α<1)，并使 P{拒绝为真}≤a α一般称为检验水平。下面我们将作进一步的讨论。 4.水平为au的检验 犯两类错误的大小自然就决定着相应的检验法则的优劣，但在样本容量固定的条件

为 x 是  的无偏估计，样本均值 x 的大小在一定的程度上反映了 的大小。因此，当 假设 H0为真时，则观测值 x 与 0 = 20 的偏差 x -20 一般不应太大。如果 x -20 过分 大，我们就应怀疑假设 H0 的正确性并拒绝 H0。而衡量 x - 0 的大小归结为衡量统 计量 n x    0 的大小，在 H0为真时统计量 ~ (0,1) 0 N n x    基于上面的设想，我们可适当限定一正数 k，使得当 x 满足不等式 n x    0  k 时就拒绝 H0。反之，若 k n x     0 时则接受 H0。正数 k 的每一个选择都对应着一个不同的检验法则。 在给定的一个检验法则中，以0表示在此检验法中引起拒绝 H0 的所有可能的样本 观察值的集合，并称0为此检验法的拒绝域，而它的余集称为接受域。显然，检验法 与拒绝域是一一对应的。 3．两类错误 我们做出判断的依据是一个样本，由于样本的随机性，我们进行假设检验时不可避 免地出现误判而犯错误，当 H0 为真时，仍可能做出拒绝 H0 的判断，这类错误称为犯第 Ⅰ类错误，也称为“弃真”或“拒真” ；也可能在 H0 不真时，却接受 H0，称为犯第Ⅱ类 错误，也称为“取伪”或“受伪”。犯第一类错误的概率为 P{拒绝 H0|为真} 由于在实际中无法排除犯这类错误的可能性，因此，我们自然希望犯第Ⅰ类错误的概率 控制在一定的限度之内。例如可给定一个较小的正数（0< <1），并使 P{拒绝 H0| H0 为真}   一般称为检验水平。下面我们将作进一步的讨论。 4．水平为 的检验 犯两类错误的大小自然就决定着相应的检验法则的优劣，但在样本容量固定的条件

下可以证明犯两类错误的概率不可能同时达到很小。通常6是比较重要的假设，因此 如何犯第I类错误的概率控制在小概率的范围内就显得非常重要。其做法如下：给定 (0<α<I),构造一个检验的拒绝域，使其犯第I类错误的概率不超过a,即P{拒绝% 为真}≤α。例如在例1中，为了检验：4o=20,我们构造了一个统计量 -a. F-20 1/w5 N(0,1) 如果给定a=0.05,并使犯第I类错误的概率最大为a,由此可构造一个拒绝域为： x-Ho 5 并使 x-Ho 这里a2可由标准正态分布表查得-。=a25=1.96 x-20 这时可得拒绝域为 1W5 ≥1.96，即-20≥1.96V5 这种把犯第I类错误的概率控制在不超过给定的α的检验法称为显著性水平为α：的检 验，并称为显著性水平，或简称为水平。 通过上面的例子，我们给出构造检验的一般方法。 例2设K,五，，rn为来自总体的一个样本，r~W(4,o),其中o2已 知，4未知。给定显著性水平为a(0<<1),试构造检验假设为 H。:μ=μ。，H:u≠4(4o为己知) 的水平为a的检验 解考虑μ的无偏估计灭，且知道 F-N(u.i) 当历为真时， X-N(Ho- 于是X的值应落在的附近。所以当为真时，|F-4。取较大值应为小概率事件。由 此选择H的拒绝域为 。={(x,x2,,xn):|x-402 这里k为某待定正常数。 当检验水平为a时，k应满足a=P{《K,X2X,)eXo}

下可以证明犯两类错误的概率不可能同时达到很小。通常 H0 是比较重要的假设，因此 如何犯第Ⅰ类错误的概率控制在小概率的范围内就显得非常重要。其做法如下：给定 （0< <1），构造一个检验的拒绝域，使其犯第Ⅰ类错误的概率不超过，即 P{拒绝 H0| H0 为真}  。例如在例 1 中，为了检验 H0： 0 = 20，我们构造了一个统计量 ~ ( 0 ,1 ) 1 5 0 20 N x n x      如果给定 = 0.05，并使犯第 I 类错误的概率最大为，由此可构造一个拒绝域为: 2 0 1 5   z x   并使                 2 0 1 5 z x P 这里 z /2 可由标准正态分布表查得 0.025 1.96 2 z   z  这时可得拒绝域为 1.96, 20 1.96 5 1 5 20 : 0      x x 即 这种把犯第Ⅰ类错误的概率控制在不超过给定的 的检验法称为显著性水平为  的检 验，并称 为显著性水平，或简称为水平。 通过上面的例子，我们给出构造检验的一般方法。 例 2 设 X1，X2，…，X n为来自总体 X 的一个样本, X N(，0 2)，其中0 2 已 知， 未知。给定显著性水平为（0< <1），试构造检验假设为 H0 :    0 , H1 :   0 ( 0为已知） 的水平为 的检验 解 考虑 的无偏估计 X ，且知道 ~ ( , ). 2 0 n X N   当 H0为真时, ~ ( , ). 2 0 0 n X N   于是 X 的值应落在0 的附近。所以当 H0为真时，| X  0 |取较大值应为小概率事件。由 此选择 H0的拒绝域为 {( , ,..., ) : | | } 0 1 2 0 x x x x k   n    这里 k 为某待定正常数。 当检验水平为 时， k 应满足   1 2 0 ( , ,.... ) 0 P X X X X   H n 

-低游 60 故 k=Za 因此所取得水平为a的拒绝域为N,=,5):-≥2} Goln 由此例可见，统计量下-4或 |X-4I GoAn 在检验的构造过程中起着关键作用，一般称其为检验统计量。我们要求在环为真时， 检验统计量的分布应是确定的（已知）的，且不含任何未知参数。例如在例1中，其检验 统计量为 |-4l-N0,) coAIn 它满足上述要求。故在α=0.05时，拒绝域为 0=x,x):2--20≥52=1.9 GoIVn 1115 由样本算得 F=1.96 代入检验统计量中可得 1F-201=19.6-2015=0.894<2=1.96 1/W5 2 这表明样本值落在接受域内，故应接受，从而认为该天生产的女表表壳可得直径的 均值是20，亦即认为该天的生产是正常的。 例3安装一台新仪器要求元件尺寸的均值保持在原有仪器的水平。已知原有仪器的 元件尺寸均值为3.278cm,均方差为0.002cm。现测量10个新元件，得尺寸数据（单 位：cm)为 3.2773.2813.2783.2783.2863.2793.2783.2813.2793.280. 设元件尺寸服从正态分布。且新、旧元件尺寸分布的方差相同，问新装仪器的元件尺寸 的均值与原有仪器的元件尺寸均值有误显著差别？（取=0.05） 解设元件尺寸r服从正态分布P~W(4,σ)，因新旧元件尺寸的方差相同，故σ 2=0.02。由题意知待检假设为 H。:μ=3.278，H1:4≠3.278 由例2可知，水平为a的拒绝域为N,=(任，5，)-≥ GoIn

  , | | | | 0 0 0 0 0 0                   n k n X P X k P         故 即 0 2   z n k  n k z 0 2    因此所取得水平为 的拒绝域为 } / | | {( , ,..., ) : 0 2 0 0 1 2    z n x x x x n     由此例可见，统计量 X   0或 n X 0 0 | |    在检验的构造过程中起着关键作用，一般称其为检验统计量。我们要求在 H0 为真时， 检验统计量的分布应是确定的(已知)的，且不含任何未知参数。例如在例 1 中，其检验 统计量为 ~ (0,1) | | 0 0 N n X    它满足上述要求。故在 =0.05 时，拒绝域为 1.96} 1/ 5 | 20 | / | | {( , ,..., ) : 0 2 0 0 1 2           z x n x x x x n 由样本算得 X  1.96 代入检验统计量中可得 | 19.6 20 | 5 0.8944 1.96 1 5 | 20 | 2        z X 这表明样本值落在接受域内，故应接受 H0，从而认为该天生产的女表表壳可得直径的 均值是 20，亦即认为该天的生产是正常的。 例 3 安装一台新仪器要求元件尺寸的均值保持在原有仪器的水平。已知原有仪器的 元件尺寸均值为 3.278cm，均方差为 0.002cm。现测量 10 个新元件，得尺寸数据(单 位:cm)为 3.277 3.281 3.278 3.278 3.286 3.279 3.278 3.281 3.279 3.280. 设元件尺寸服从正态分布。且新、旧元件尺寸分布的方差相同，问新装仪器的元件尺寸 的均值与原有仪器的元件尺寸均值有误显著差别？（取 =0.05） 解 设元件尺寸 X 服从正态分布 X N(, 2)，因新旧元件尺寸的方差相同，故 2=0.02。由题意知待检假设为 H0 :   3.278, H1 :   3.278 由例 2 可知，水平为  的拒绝域为 } / | | {( , ,..., ) : 0 2 0 0 1 2    z n x x x x n    

现在=0.05，由例1知 台=5=1.96. 又由样本算得均值为 X=3.2795 且 40=3.278,o2=0.0022,n=10 从而可算得F-_32795-3278 10 =2.37>1.96 o。/Nn 0.02 由于它落在拒绝域。内，故拒绝H,接受H,即认为新旧元件尺寸的均值之间存在显 著差别。 5.假设检验的程序 上面叙述的检验法则具有普遍意义，可用在各种各样的假设检验问题上。由此我们 归结出假设检验的一般步骤： 1.根据题意合理地建立零假设历和设备假设H: 若零假设为H:4=μo,则备择假设H根据实际情况可以有下面三种： H:(I)4≠4。(2)μo 在一般情况下H常选择(1)，这时称为双侧检验：若选择(2)或(3)称为单侧检验。 如所考虑总体的均值越大越好时，H可选择(3)。 2.选择适当的检验统计量T; 要求在而为真时，统计量T的分布是确定和己知的： 3.规定检验水平，并由和H确定一个合理的拒绝域（含有待定常数）. 4.样由本观测值，计算出统计量To的值： 5.作出判断：若统计量的值To落在拒绝域内，则拒绝，否则接受。 7.2正态总体的参数分布 下面我们讨论正态总体参数的假设检验问题，分单个正态总体与两个正态总体的情 形来讨论。 1.单个总体均值μ的检验 设样本，，，rn来自正态总体X~N(山，σ)。 (1)方差o2己知，检验假设h:4=μ0 这时备择假设H可根据具体问题选择H:()4≠4。(2)u 中的一种。检验统计量取 X-oN0,1) 在给定水平为a时，若备择假设为H:4≠4o,则其拒绝域为

现在 =0.05，由例 1 知 0.025 1.96 . 2 z   z  又由样本算得均值为 X  3.2795 且 3.278, 0.002 , 10, 2 2 0    n  从而可算得 10 . 2.37 1.96. 0.02 | | 3.2795 3.278 0 0       n X   由于它落在拒绝域0 内，故拒绝 H0，接受 H1，即认为新旧元件尺寸的均值之间存在显 著差别。 5 5 ．假设检验的程序 上面叙述的检验法则具有普遍意义，可用在各种各样的假设检验问题上。由此我们 归结出假设检验的一般步骤： 1. 根据题意合理地建立零假设 H0 和设备假设 H1； 若零假设为 H0： =  0，则备择假设 H1 根据实际情况可以有下面三种： 1 0 0 0 H : (1)    (2)    (3)    在一般情况下 H1常选择（1），这时称为双侧检验；若选择（2）或（3）称为单侧检验。 如所考虑总体的均值越大越好时，H1可选择（3）。 2. 选择适当的检验统计量 T； 要求在 H0 为真时，统计量 T 的分布是确定和已知的； 3. 规定检验水平，并由 H0 和 H1 确定一个合理的拒绝域(0 含有待定常数）. 4. 样由本观测值，计算出统计量 T0 的值； 5. 作出判断：若统计量的值 T0 落在拒绝域内，则拒绝 H0，否则接受 H0。 7.2 7.2 正态总体的参数分布 正态总体的参数分布 正态总体的参数分布 正态总体的参数分布 下面我们讨论正态总体参数的假设检验问题，分单个正态总体与两个正态总体的情 形来讨论。 1．单个总体均值   的检验 设样本 X1，X2，…，X n来自正态总体 X  N(, 2)。 (1) 方差 2 已知，检验假设 H0： =  0 这时备择假设 H1 可根据具体问题选择 1 0 0 0 H : (1)    (2)    (3)    中的一种。检验统计量取 ~ (0,1). 0 N n X u     在给定水平为时，若备择假设为 H1：   0，则其拒绝域为

若H为4〈4o,则其拒绝域为若八。={(x,x2,,xn): x-lo≤a} 若H为4>40，则拒绝域为心。={(x1,x2,,xn): x-b≥5a} 由于在以上检验中，我们取统计量为= X--N0,1) 故称为U检验法。 有时，我们还可能遇上更为完整的假设，或者说由具体问题提出以下的假设更为合 理： Ho:4≤4o,H1:μ>4o, 在这里包含了多种情形，称为复合假设。可以证明，这时在水平α下的拒绝域为 八。={(x1,X2,,xn） x-lo≥5a} 6 (2)方差。2未知，检验假设瓜：4=40 这时由于o2未知， Y-Ho 已不能作为检验统计量，由于样本方差S°=】（化- n-1 是方差。2的无偏估计，故以S代替。可得T统计量7=-也 在为真时，统计量T~(r1)在给定a时，若H为4≠μ。，则其拒绝域为 N。={x,x)月P1,n-1y S 2 这种检验法称为T检验法。 类似地可以写出T检验法的单边假设检验结果见文字教材的附表8.1。 例1用某仪器间接测量温度，重复五次，测得结果为 1250°1265°1245°1260°1275°. 设测量值服从正态分布W(山，σ2)，水平=0.05。问是否有理由认为该仪器测量值大 于12770（真实值）？

} . | | {( , ,..., ) : 2 0 0 1 2    z n x x x x n     若 H1为  0，则拒绝域为 {( , ,..., ) : } 0 0 1 2    z n x x x x n     由于在以上检验中，我们取统计量为 ~ (0,1). 0 N n X u     故称为 U 检验法。 有时,我们还可能遇上更为完整的假设，或者说由具体问题提出以下的假设更为合 理： : , H 0    0 : , H1    0 在这里 H0包含了多种情形，称为复合假设。可以证明，这时在水平 下的拒绝域为 {( , ,..., ) : } 0 0 1 2    z n x x x x n     (2) 方差 2 未知，检验假设 H0： =  0 这时由于 2未知， n X   0 已不能作为检验统计量，由于样本方差       n i Xi X n S 1 2 2 1 1 是方差 2的无偏估计，故以 S 代替 可得 T 统计量 , 0 n S X T    在 H0为真时，统计量 T  t(n-1)在给定 时，若 H1 为   0 ，则其拒绝域为 {( , ,..., ) :| | ( 1)} 2 0 0 1 2      t n n S x x x x n   这种检验法称为 T 检验法。 类似地可以写出 T 检验法的单边假设检验结果见文字教材的附表 8.1。 例 1 用某仪器间接测量温度,重复五次,测得结果为 .      1250 1265 1245 1260 1275 设测量值 X 服从正态分布 N(, 2)，水平 =0.05。问是否有理由认为该仪器测量值大 于 12770 (真实值)?

解由题意知，H:4≤40。因方差o2未知，用T检验法，这时拒绝域为 。={(x1,x2,,xn） -≥a(n-l)} 这里n=5,a(r1)=6.os(4)=2.1348由样本算得r-1259,S2-142.5 代入可得 1259-1277≈-3.372<2.1348. T0 142.5 V 5 因此接受H即认为测量值不大于1277°。 2.单个总体的方差σ2的检验 设样本K,,,X。来自正态总体X、N(4,o),均值未知，检验假设瓜： 02=02,H:σ202，（02为已知常数)。 由前可知，样本方差 =2-万 n-1 是总体方差。2的无偏估计，故当历为真时，样本方差S2的值应在σ2的附近。这时我 们取检验统计量为 R=n-) ~x2(n-1) 03 其拒绝域应有以下形式：公。={(，，和)。。2一三或。之←， 此处，石由下式确定： %1以购=e小e:}-a 为了计算方便起见，习惯上取 -4-号e}-号 故得 k1=Xa(n-1),k2=Xa(n-1) 因此拒绝域为N,=《,)0。≤X0a-减a ≥x2(n-1). 00 上述检验法称为X2检验法。从以上的构造过程可知，么，后的取法可以不唯一，我们这 样取完全在于方便计算，并且对于具有对称分布的检验统计量，这种取法具有优越性

解 由题意知, H0：   0。因方差2 未知，用 T 检验法，这时拒绝域为 {( , ,..., ) : ( 1)} 0 0 1 2      t n n S x x x x n   这里 n = 5，t (n-1) = t0.05(4) = 2.1348 由样本算得 1259 , 142 .5 2 X  S  代入可得 3.372 2.1348. 5 142.5 1259 1277 0     T  因此接受 H0即认为测量值不大于 12770。 2. 2. 单个总体的方差2 的检验 设样本 X1，X2，…，X n 来自正态总体 X  N(, 2)，均值未知，检验假设 H0：  2=0 2，H1：20 2，（ 0 2 为已知常数）。 由前可知，样本方差 2 1 2 ( ) 1 1      n n Xi X n S 是总体方差 2的无偏估计，故当 H0 为真时，样本方差 S 2 的值应在0 2 的附近。这时我 们取检验统计量为 ~ ( 1). ( 1) 2 2 0 2 2    n n S X   其拒绝域应有以下形式: } ( 1) ( 1) {( , ,..., ) : 2 2 0 2 2 1 0 2 0 1 2 k n S k n S x x x n         或 此处 k1，k2 由下式确定: , ( 1) ( 1) { | } 2 2 0 2 2 1 0 2 0 0 2 0                                               k n S k n S P 拒绝H H 真 P  为了计算方便起见，习惯上取 , 2 ( 1) 2 1 0 2 2 0                          k n S P , 2 ( 1) 2 2 0 2 2 0                          k n S P 故得 2 ( 1) ， 2 1 1    k   n ( 1) 2 2 k 2    n  因此拒绝域为 ( 1). ( 1) ( 1) ( 1) {( , ,..., ) : 2 2 2 0 2 2 2 1 2 0 2 0 1 2          n n s n n s x x x n       或 上述检验法称为 2 检验法。从以上的构造过程可知，k1，k2 的取法可以不唯一，我们这 样取完全在于方便计算，并且对于具有对称分布的检验统计量，这种取法具有优越性

x-四2 当μ已知时，通常取检验统计量为X2= 2(X- 在H为真时，有 -~x2(m). ∑K,-4)2 (U-2 可得 心0={(x,x2,x):X2= ≥X2(morx2=日 3 02 但在已知时，也可用μ未知时的X2检验法，两者比较，后者的拒绝域比前者有较小的 犯第Ⅱ类错误的概率，因而更有效一些。 例2某厂生产的铜丝，质量一向比较稳定，今从中随机地抽出10根检查其折断 力，测得数据（单位：千克）如下：575576570569582577580571585 设铜丝的折断力服从正态分布W(4,σ2)，检验水平为α=0.05。试问：是否可以相信该 厂的铜丝的折断力的方差为64？ 解由题意知要检验假设弘：o2=64,H:o2≠64，因为μ未知，故检验统计 量为 z:--DS-x(n-D. 这里m=10.a=005.xg(m-0=Xas(9)=19.02,Xgw-l)=Xns9)=2.70, 10 并由样本算得 开=575.7，(n-1052=∑(X-万2=260.1， 1 2x- 由此可算得 X= 260.1≈4.06， 64 因为2.70<4.06<19,02，根据x2检验法应接受，即认为这批铜丝的折断力的方 差为64。 例3在进行工艺改革时，如果方差显著增大，则改革需朝相反方向进行以减少方 差：若方差变化不显著，需试行别的改革方案。现在加工45个活塞，对某项工艺进行 改革，在新工艺下对加工好的25个活塞的直径进行测量，并由测量值算得样本方差S2= 0.00066。已知在工艺改革前活塞直径的方差为0.00040，问进一步改革的方向又如何？ (a=0.05) 解设测量值r服从正态分布N(4,o)。己知工艺改革前方差σ2=0.00040，现要确

当 已知时，通常取检验统计量为 , ( ) 2 0 1 2 2        n i X i 在 H0为真时，有 ~ ( ). ( ) 2 2 0 1 2 2 n X n i i         可得 ( ) }. ( ) ( ) or ( ) {( , ,..., ) : 2 2 1 2 0 1 2 2 2 2 2 0 1 2 2 0 1 2 n X n X x x x n i i n i i n                        但在已知时，也可用 未知时的 2 检验法，两者比较，后者的拒绝域比前者有较小的 犯第 类错误的概率，因而更有效一些。 例 2 某厂生产的铜丝,质量一向比较稳定，今从中随机地抽出 10 根检查其折断 力，测得数据(单位:千克)如下: 575 576 570 569 582 577 580 571 585 设铜丝的折断力服从正态分布 N(, 2)，检验水平为 =0.05。试问：是否可以相信该 厂的铜丝的折断力的方差为 64？ 解 由题意知要检验假设 H0： 2= 64，H1： 2  64，因为 未知,故检验统计 量为 ~ ( 1). ( 1) 2 2 0 2 2    n n S    这里 10, 0.05, ( 1) (9) 19.02, ( 1) (9) 2.70, 2 0.975 2 2 1 2 0.025 2 2                 n n n 并由样本算得        10 1 2 2 575.7,( 1) ( ) 260.1, i X n S X i X 由此可算得 4.06, 64 260.1 ( ) 2 0 1 2 2 0         n i X i X 因为 2.70 < 4.06 < 19,02，根据 2 检验法应接受 H0，即认为这批铜丝的折断力的方 差为 64。 例 3 在进行工艺改革时，如果方差显著增大，则改革需朝相反方向进行以减少方 差；若方差变化不显著，需试行别的改革方案。现在加工 45 个活塞，对某项工艺进行 改革，在新工艺下对加工好的 25 个活塞的直径进行测量，并由测量值算得样本方差 S 2= 0.00066。已知在工艺改革前活塞直径的方差为 0.00040，问进一步改革的方向又如何? （ =0.05） 解 设测量值 X 服从正态分布 N(, 2)。已知工艺改革前方差2=0.00040，现要确

定下一步改革的方向，并由题意可知，需考察改革后的活塞直径的方差σ2是否不大于 改革前的方差？因此待检假设可设为 H。:o2≤0.00040，H:o2>0.00040, 这是一个复合假设，由前面的讨论可知，拒绝域为 8=):D 这里F25,=0.00066,由0=0.05查y2分布表得 Xa(n-1)=X0.05(24)=36.415, 于是 (n-1)5224×0.00066 =39.60>36.415, o 0.00040 故应拒绝H,即改革后的方差显著小于改革前的方差，因此，下一步改革应朝相反方 向进行。 下面考虑两个正态总体的参数检验问题。 3.关于均值差4，的假设检验 设样本(K,,切)和（乃，3，）分别取自正态总体r、(41,O,)和y、(, 2),且两个样本相互独立。 考虑假设：urμ=δ：H:μ4r42≠6，其中δ为己知常数。 当方差o,2,σ22为己知时，4142的估计量F-了在H为真时有 T-了、N6+ n m F--6 这时可取检验统计量为 U= ~W0,1), n m 易知一个水平为α的拒绝域为|u=| x-卫-6 + n m 当方差o12,022未知，但己知o12=2时，可取检验统计量为T= F-F-δ 11 m 一十■ 当%为真时，统计量7、(mm2,其中S=-1S+(m-S n+m-2

定下一步改革的方向，并由题意可知，需考察改革后的活塞直径的方差 2 是否不大于 改革前的方差？因此待检假设可设为 : 0.00040, : 0.00040, 2 1 2 H0   H   这是一个复合假设，由前面的讨论可知，拒绝域为 ( 1)} ( 1) {( , ,..., ) : 2 2 0 2 0 1 2      n n s x x x n   这里 n=25，S2=0.00066，由 =0.05 查 2 分布表得 ( 1) (24) 36.415, 2 0.05 2   n     于是 39.60 36.415, 0.00040 ( 1) 24 0.00066 2 0 2       n S 故应拒绝 H0，即改革后的方差显著小于改革前的方差，因此，下一步改革应朝相反方 向进行。 下面考虑两个正态总体的参数检验问题。 3. 关于均值差 1-2 的假设检验 设样本（ X1，X2，…，Xn）和（ Y1，Y2，…，Yn）分别取自正态总体 X  N(1,1 2)和 Y  N( 2 ,2 2),且两个样本相互独立。 考虑假设 H0： 1- 2= ；H1： 1- 2  ，其中为已知常数。 当方差1 2，2 2 为已知时，  1- 2 的估计量 X  Y 在 H0 为真时有 ~ ( , ), 2 2 2 1 n m X Y N      这时可取检验统计量为 ~ (0,1), 2 2 2 1 N n m X Y U        易知一个水平为  的拒绝域为 2 2 2 2 1 | | | |     z n m x y u      当方差1 2，2 2 未知，但已知1 2=2 2时，可取检验统计量为 n m S X Y T w 1 1      当 H0为真时，统计量 T  t(m+n-2),其中 2 ( 1) ( 1) 2 2 2 2 1       n m n S m S S w

这时可得水平为a的拒绝域为1作-万- 21a(n+m-2) 1.1 m 一十 例4用自动车床采用新旧两种工艺加工同种零件，测得的加工偏差（单位：微米）分 别为旧工艺2.72.42.53.12.73.52.92.73.53.3 新工艺2.62.12.72.82.33.12.42.42.72.3 设测量的加工偏差服从正态分布，所得的两个样本相互独立，且总体方差相等。试问自 动车床在新旧两种工艺的加工精度有无显著差异？(=0.01) 解由题意知要检验的假设为 Ho:41=2,H:41≠42 在H为真时，检验统计量为 7=1F-F1 ~1(n+m-2) + 由此可得水平为a的拒绝域为 1 x-下 =1a(n+m-2). 1,1 2 sn m 一十一 这里m=n,a=0.01,故12(m+n-26.os(18=2.8784。并由样本算得 F=2.93,=2.54,5=0.125 于是 17-F1=12.93-2.541≈247<2.8784， 11 0.125 +m 故接受Ho,即认为新旧工艺对零件的加工精度无显著差异。 如果o12,o22未知，且也不知两者是否相等，试验配对进行，此时有m=。这时 可作变换Z,=-,易知Z~W(4-42,o12+o22),1≤1≤n.这时，样本ZZ,Zn 可视为来自单个正态总体（山1~42，o2+o22),于是检验假设历：山1~42=6相应地 看作是单个正态主体在方差未知时检验均值是否为δ的假设，故这时水平为的拒绝 域为 E-6≥12(n-l0. g/Nn号 其中 :=-=2x-y--列. n-1台 例5若例4中新旧工艺加工同种零件是配对进行的，即第台自动车床按照新旧 工艺分别加工两个零件，其加工偏差分别为x和y1≤i≤，若不知方差是否相同， 检验 H。:41=42,H1:41≠42,0=0.01

这时可得水平为  的拒绝域为 | ( 2) 1 1 | | | 2        t n m n m s x y t w   例 4 用自动车床采用新旧两种工艺加工同种零件，测得的加工偏差(单位:微米)分 别为 旧工艺 2.7 2.4 2.5 3.1 2.7 3.5 2.9 2.7 3.5 3.3 新工艺 2.6 2.1 2.7 2.8 2.3 3.1 2.4 2.4 2.7 2.3 设测量的加工偏差服从正态分布，所得的两个样本相互独立，且总体方差相等。试问自 动车床在新旧两种工艺的加工精度有无显著差异? （.01） 解 由题意知要检验的假设为 H0 : 1  2 , H1 : 1   2 . 在 H0为真时，检验统计量为 ~ ( 2) 1 1 | |      t n m n m S X Y T w 由此可得水平为 的拒绝域为 | ( 2) . 1 1 | | | 2       t n m n m s x y t w  这里 m = n， 0.01，故 t /2(m + n – 2)= t (18)=2.8784。并由样本算得 2.93, 2.54, 0.125 2 x  y  s  于是 2.47 2.8784 , 5 0.125 | 2.93 2.54 | 1 1 | |        n m S X Y  故接受 H0，即认为新旧工艺对零件的加工精度无显著差异。 如果1 2，2 2 未知，且也不知两者是否相等，试验配对进行，此时有 m = n。这时 可作变换 Zi =Xi –Yi ，易知 Zi  N(1 -  2,1 2 + 2 2)，1  i  n。这时 ，样 本 Z1，Z2，…，Zn 可视为来自单个正态总体 N(1 -  2,1 2 + 2 2)，于是检验假设 H0：1 -  2 =  相应地 看作是单个正态主体在方差未知时检验均值是否为  的假设，故这时水平为  的拒绝 域为 ( 1) . | | 2    t n s n z z   其中  .         n i z i i x y x y n z x y s 1 2 2 [ ( )] 1 1 , 例 5 若例 4 中新旧工艺加工同种零件是配对进行的，即第 i 台自动车床按照新旧 工艺分别加工两个零件，其加工偏差分别为 xi 和 yi，1  i  n，若不知方差是否相同， 检验 H0 : 1  2 ,H1 : 1  2 ,  0.01