上海交通大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（电子讲义）第5章数理统计的基本概念.pdf_大学文库

第5章数理统计的基本概念数理统计是运用概率论的知识，研究如何有效地对带有随机性影响的数据进行收集、整理、分析和推断的学科，由于随机性现象广泛存在于工、农业生产、工程技术、自然科学和社会科学等领域中，因此数理统计有着最广泛的应用。 5.1基本概念 1.总体和样本在数理统计中，我们将研究对象的全体称为总体或母体，而把组成总体的每个元素称为个体。例如研究一批灯泡的平均寿命时，该批灯泡的全体构成了研究的总体，其中每个灯泡就是个体。在实际问题中，研究对象往往是很具体的事物或现象，而我们所关心的不是每一个个体的种种具体的特征，而是其中某项或某几项数量指标，记为X。在上例中，X即指该批灯泡的寿命。对不同的个体，X的取值一般是不同的。例如在试验中观察若干个个体就会得到X的一种数值但在试验或观察之前，无法确定会得到一组什么样的数值，所以'是一个随机变量或随机向量，而X的分布也就完全描述了我们所关心的指标，即总体的分布。为方便起见，以后我们将'的可能取值的全体组成的集合称为总体，或直接称”为总体，的分布也就是总体的分布。总体分布一般是全部或部分未知的，为了研究总体”的分布规律，我们需要对总体进行若干次观察。由观察得到总体指标r的一组数值(：，，2，，x,),其中x,为第1次观察结果，并称(x,x,…,x)为总体r的一组容量为n的样本观察值，样本观察值是对总体分布进行分析、推断的基础。这种从总体中随机地抽出若干个个体进行观察或实验，称为随机抽样观察，从总体中抽出的若干个个体称为样本，一般记为(X,X,…,) 而一次具体的观察结果(：，2，，x,)是完全确定的一组数值，但它又随着每次抽样观察而改变。因此，容量为n的样本(，巧，，n)是n维随机向量，而具体的观察值(，5，， x)是随机变量（X,五，，X)的一个样本观察值。样本（X,五，，)所有可能取值的全体称为样本空间，记为心，而样本观察值(x,,,)是八中的一个样本点。随机抽样的目的是为了对总体X的分布进行各种分析推断，所以要求抽取的样本能很好地反映总体的特性，为此我们要求随机抽取的样本(X,,,X)满足： (1)具有代表性。即样本的每个分量X与X有相同的分布； (2)具有独立性。即X,2,,X是相互独立的随机变量，也就是说，n次观察值之间是互相独立的：满足上述两条的样本称为简单随机样本，今后如无特别说明，所说的样本均指简单

第第 5 5 章章数理统计的基本概念数理统计的基本概念数理统计的基本概念数理统计的基本概念数理统计是运用概率论的知识，研究如何有效地对带有随机性影响的数据进行收集、整理、分析和推断的学科，由于随机性现象广泛存在于工、农业生产、工程技术、自然科学和社会科学等领域中，因此数理统计有着最广泛的应用。 5.1 5.1 基本概念基本概念 1. 1. 总体和样本在数理统计中，我们将研究对象的全体称为总体或母体，而把组成总体的每个元素称为个体。例如研究一批灯泡的平均寿命时，该批灯泡的全体构成了研究的总体，其中每个灯泡就是个体。在实际问题中，研究对象往往是很具体的事物或现象，而我们所关心的不是每一个个体的种种具体的特征，而是其中某项或某几项数量指标，记为 X 。在上例中， X 即指该批灯泡的寿命。对不同的个体，X 的取值一般是不同的。例如在试验中观察若干个个体就会得到 X 的一种数值但在试验或观察之前，无法确定会得到一组什么样的数值，所以 X 是一个随机变量或随机向量，而 X 的分布也就完全描述了我们所关心的指标，即总体的分布。为方便起见，以后我们将 X 的可能取值的全体组成的集合称为总体，或直接称 X 为总体， X 的分布也就是总体的分布。总体分布一般是全部或部分未知的，为了研究总体 X 的分布规律，我们需要对总体进行若干次观察。由观察得到总体指标 X 的一组数值( x 1 , x 2 ,, x n ) ，其中 x i为第i 次观察结果，并称( x 1 , x 2 ,, x n ) 为总体 X 的一组容量为 n 的样本观察值，样本观察值是对总体分布进行分析、推断的基础。这种从总体中随机地抽出若干个个体进行观察或实验，称为随机抽样观察，从总体中抽出的若干个个体称为样本，一般记为 (X1 , X 2 ,, X n ) ，而一次具体的观察结果( x 1 , x 2 ,, x n ) 是完全确定的一组数值，但它又随着每次抽样观察而改变。因此，容量为 n 的样本（X1, X2, …, Xn）是 n 维随机向量，而具体的观察值（ x1, x2, …, xn）是随机变量（X1, X2, …, Xn）的一个样本观察值。样本（X1, X2, …, Xn）所有可能取值的全体称为样本空间，记为，而样本观察值（x 1, x2, …, xn）是中的一个样本点。随机抽样的目的是为了对总体 X 的分布进行各种分析推断，所以要求抽取的样本能很好地反映总体的特性，为此我们要求随机抽取的样本（X1, X2, …, Xn）满足：（1）具有代表性。即样本的每个分量 Xi与 X 有相同的分布；（2）具有独立性。即 X1, X2, …, Xn是相互独立的随机变量，也就是说，n 次观察值之间是互相独立的；满足上述两条的样本称为简单随机样本，今后如无特别说明，所说的样本均指简单

随机样本。例 1 1 对一批 N 件产品情况进行检查，从中有放回的抽取 n 件。分别以 1，0 表示某件产品为合格品和次品，以(0    1）表示产品的合格路率，则总体指标 X 服从参数为 的（0-1）分布，即 P（X = x）= x (1 ) 1x , x  0,1 。这样抽取得到的观察结果为 X1, X2, …, Xn为一个简单随机样本，也就是说 X1, X2, …, Xn是相互独立且均服从参数为θ 的（0-1）分布，故样本（X1, X2, …, Xn）的联合分布律为 i x i ， n i x P X x X x X n x n Q         1 1 1 1 2 2 ( , ,..., ) (1  ) xn = 0，1，i=1，2，…n。每组观察值（x1, x2, …, xn）为由 0，1 组成的一个 n 维向量，其样本空间为 ={（x1, x2, …, xn）| xi =0，1，i=1，2，…n}。共有 2 n 个样本点。一般地，若总体 X 的概率密度或联合分布律为 f (x)，则样本(X1, X2, …, Xn)的联合密度或联合分布律为 ( , ,..., ) ( ) 1 1 2    n i n i L x x x f x 并称 L（x1, x2, …, xn）为样本（X1, X2, …, Xn）的似然函数。对于个体为有限的总体来说，采用有放回随机抽样就能得到简单随机样本。但有放回抽样使用起来很不方便。又由于当总体的个体为无限时，有放回抽样与不放回抽样没有什么区别，因此，在实际问题中，当总体中个体数 N 很大，而样本容量 n 相应较小时，可把总体看作是无限的，从而可将不放回抽样当作有放回抽样来处理。 2. 2. 统计量和样本矩统计量和样本矩统计量和样本矩统计量和样本矩样本是我们进行分析和推断的起点，但实际上我们往往并不直接利用样本进行推断，而需要对样本进行一番“加工”和“提炼”，将分散于样本中的信息集中起来。为此我们引进统计量的概念。设 X1, X2, …, Xn为来自总体 X 的一个样本，g（X1, X2, …, Xn）为一个 n 元连续函数，若 g（X1, X2, …, Xn）中不含任何未知参数，则称 g（X1, X2, …, Xn）为一个统计量。显然统计量也是一个随机变量。以后，针对不同的问题我们总是构造相应的统计量以实现对总体的统计推断。例如，设总体 X 服从正态分布 N（，）其中，未知。X1, X2   2   2 , …, Xn是从

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