答案：本科概率论与数理统计作业卷（五） 一、填空题 1.解P{max(X,Y)≥0}=P{X≥0，或Y≥0} =PX≥0y+PY≥0}-PX≥0，Y≥0=·7+777 44_3=5 所以应萌 2.解由独立性(X,Y)的联合概率密度为 2xey,00 f(x,y)= 0, 其他 又设A={o:42-2Xu+Y=0有实根}={0：X2-Y≥0， 故PA)=八fx,idy=∬2e'dd=。2 d"edy=e 所以应填e 3解这是一个反问愿，即由“p(X+Y≤)=来确定分布中的未知参数以 为此需首先要确立X+Y的分布，由题设知X+Y~N(24,1),因此有 P0X+7≤0=ol2)=1-2=0H=3 二、选择题 1.解由于X与Y相互独立，所以P{X=i,Y=}=P{X=i·P{Y=} 于是 0 1 X 0 1
答案：本科概率论与数理统计作业卷(五) 一、填空题 . 7 5 . 7 5 7 3 7 4 7 4 { 0} { 0} { 0, 0} . 1. {max( , ) 0} { 0, 0} ＝ 所以应填 解 或 = ≥ + ≥ − ≥ ≥ = + − ≥ = ≥ ≥ P X P Y P X Y P X Y P X Y e . ( ) ( , )d d 2 e d d 2 d e d e . { : 2 0 } { : 0}, 0 , 2 e , 0 1, 0; 2. ( , ) ( ) 1 1 x 0 1 0 2 2 2 2 − − − − ≤ − = = = = = − + = = − ≥ ⎩ ⎨ ⎧ = ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ 所以应填 故 又设 有实根 其他 解 由独立性 的联合概率密度为 ， P A f x y x y x x y x x y A X Y X Y x x y X Y f x y y y y x D y ω μ μ ω . 2 1 1 2 0, 2 1 ) 1 1 2 ( 1) ( ~ (2 ,1), . 2 1 3. ( 1) = ⇒ − = = − + ≤ = Φ + + + ≤ = μ μ μ μ μ P X Y X Y X Y N p X Y 为此需首先要确立 的分布，由题设知 因此有 解 这是一个反问题，即由“ ”来确定分布中的未知参数 二、选择题 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 0 0 1 1. , { , } { } { } X Y X Y P X i Y j P X i P Y j 于是 解 由于 与 相互独立 所以 = = = = ⋅ =
P(Z=i=P(max(X,Y)=i=P(X=i,Y<i+p(Xsi,Y=i -ptx-iY=k)+2P(x-k.Y-8.i=0.1 =0 P4Z=0y=P4maxX,）=0y=P0,0)-2 PiZ-B=P(max(X,Y)=1=P(1.0)+P(0.D)+P(LI)-2 故Z=max{X,Y}的分布律为 Z01 所以应选(B). 2解(D) 任)为密度函数台fx,川≥0且x,)d=1, 由此可推得1=a+b,且ap(x,y)+bg(x,y)≥0付x,y∈R) 所以选择(D) 对于a≥0，b≥0，由p(x,y)≥0，g(x,y)≥0 得 ap(x,y)+bg(x,y)≥0，(x,y∈R). 如果a<0(或b<0),则对一切x,y有bg(x,y)≥(-a)p(x,y), 或ap(x,y)≥(-b)g(x,y) 此式未必成立 三、计算、证明题 1.解： Y X y y2 y P(X=xi}=Pi 1 X1 1 1 24 % 12 4 X2 3 1 3 8 4 4 P(Y=y) =P.j 6 1-2 1-3 2.解(I)油P{XX2=0;=1,可见P{X1=-1,X2=1=P{X1=1,X2=1=0 易见 PX,=-1,X2=0}=PX=-=4 PX1=0,X2==PX,=1=2 Px=1X=0以=Px==子 ,111、 PX=0,X,=0y=1-(+2+)=0 于是得X,和X,的联合分布
(B). 4 3 4 1 0 1 max{ , } 2 3 { 1} {max( , ) 1} (1,0) (0,1) (1,1) 2 1 { 0} {max( , ) 0} (0,0) { , } { , } , 0 ,1 { } {max( , ) } { , } { , } 2 2 0 1 0 所以应选 故 的分布律为 P Z Z X Y P Z P X Y P P P P Z P X Y P P X i Y k P X k Y i i P Z i P X Y i P X i Y i P X i Y i i k i k = = = = = + + = = = = = = = = = + = = = = = = = = < + ≤ = ∑ ∑= − = ( , ) ( ) ( , ). . 0( 0), , ( , ) ( ) ( , ), ( , ) ( , ) 0,( , ). 0, 0, ( , ) 0, ( , ) 0, ( ). 1 , ( , ) ( , ) 0( , ). 2. ( ). ( , ) ( , ) 0 ( , ) 1, 或 此式未必成立 如果 或 则对一切 有 得 对于 由 所以选择 由此可推得 且 解 为密度函数 且 ap x y b g x y a b x y bg x y a p x y ap x y bg x y x y R a b p x y g x y D a b ap x y bg x y x y R D f x y f x y f x y dxdy ≥ − < < ≥ − + ≥ ∀ ∈ ≥ ≥ ≥ ≥ = + + ≥ ∀ ∈ ⇔ ≥ = ∫ ∫ +∞ −∞ +∞ −∞ 三、计算、证明题 1.解： Y X 1 y 2 y 3 y = i = pi⋅ P{ X x } 1 x 24 1 8 1 12 1 4 1 2 x 8 1 8 3 4 1 4 3 j i p P Y y = ⋅ { = } 6 1 2 1 3 1 1 于是得 和 的联合分布 易见 解 由 ，可见 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 ) 0 4 1 2 1 4 1 ; { 0, 0} 1 ( 4 1 { 1, 0} { 1} ; 2 1 ; { 0, 1} { 1} 4 1 { 1, 0} { 1} 2. (1) { 0} 1 { 1, 1} { 1, 1} 0 X X P X X P X P X X P X X P X P X X P X P X X P X X P X X = = = = = = = = − + + = = − = = = − = = = = = = = = = − = = = = =
-101 ∑ X2 0 10 11 4 2 1 1 0 0 2 ∑ 111 424 1 (2)由以上结果，可见 P{X,=0,X,=0;=0,PLX,=0PX2=0;= ≠0， 于是X和X,不独立· 3解(r>0时，fx(x)=∫ed=e x≤0时，fx(x)=0 故 f.(=0,x≤0 e,x>0 (2) P{X+Y≤I)= xd=店ae山=-iew-e] r+1≤ =1+e-1-2e2 1 4.解f(x)= 0≤x≤a,0≤y≤a 0,其它 l0, 其它 Fz(e)=P{Z≤z=P{X+Y≤=J∬f(x,y)drdy x+yS: 0, z<0 0≤z≤a a 0≤z≤a 2a-z a<z≤2a ala-(a-3)ax=52a 1 故f()=F2'()= 0, 其它 1, 其它
. 0, 4 1 (2) { 0, 0} 0, [ 0} { 0} 1 4 1 2 1 4 1 2 1 0 2 1 1 0 2 1 4 1 0 4 1 0 1 0 1 1 2 1 2 1 2 2 1 于是 和 不独立 由以上结果，可见 X X P X X P X P X X X = = = = = = ≠ − ∑ ∑ 2 1 1 2 1 0 (1-x) x 1 x 2 1 0 1 1 e 2e (2) { 1} ( , )d d d e d [e e ]d 0 , 0 e 0 ( ) 3. (1) 0 , ( ) e d e 0 ( ) 0 − − − + ≤ − − +∞ − = + + ≤ = = = − ⎩ ⎨ ⎧ ≤ > = > = = ≤ = ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ － － ， 故 解 时 时， － － － P X Y f x y x y x y x x x f x x f x y x f x x y x y x X X x x y X ∫∫ + ≤ = ≤ = + ≤ = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ ≤ ≤ ≤ = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∈ = x y z Z F z P Z z P X Y z f x y x y x a y a X Y f x y a x a f x a ( ) { } { } ( , )d d 0, , 0 ,0 1 , ( , ) 0, , [0, ] 1 4. ( ) 2 其它 ，而 独立，所以 其它 解 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ < ≤ − ≤ ≤ = = ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − − < ≤ ≤ ≤ < 其它 ， 故 （ （ 其它 ＝ 0, , 2 2 , 0 ) ' ) 1, (2 ) ], 2 2 1 [ 1 , 0 2 1 0, 0 2 2 Z Z 2 2 2 2 2 a z a a a z z a a z f z F z a a z a z a a z z a a z