§1.2概率 随机事件A发生可能性大小的数值 度量，称为A的概率。 1
§1.2 概率 随机事件A发生可能性大小的数值 度量，称为A的概率。 1
古典概率 设随机试验E具有下列特点： 概率的 古典定义 口▣基本事件的个数有限 口每个基本事件等可能性发生 侧称E为古典概型 古典概型中概率的计算： 记N=2中包含的基本事件总数 M=组成A的基本事件个数 则 P(A)=M/N 2
设 随机试验E 具有下列特点： 基本事件的个数有限 每个基本事件等可能性发生 则称 E 为 古典概型 古典概型中概率的计算： 记 N 中包含的基本事件总数 M A 组成 的基本事件个数 则 P() / A MN 古典概率 概率的 古典定义 2
组合记数（复习） 加法原理完成一件事情有n类方法，第i类 方法中有m,种具体的方法，则完成这件事情 共有 ∑m i= 种不同的方法. 乘法原理 完成一件事情有n个步骤，第i个 步骤中有m,种具体的方法，则完成这件事情 共有 Πm, i=1 种不同的方法 3
加法原理 完成一件事情有n 类方法，第 i 类 方法中有 mi 种具体的方法，则完成这件事情 共有 n i mi 1 种不同的方法. 乘法原理 完成一件事情有n 个步骤，第 i 个 步骤中有 mi 种具体的方法，则完成这件事情 共有 n i mi 1 种不同的方法. 组合记数 (复习) 3
排列 从n个不同的元素中取出m个（不放 回地)按一定的次序排成一排不同的 排法共有 Pm"=n(n-1)(n-2)…(n-m+1) 全排列 Pn=n! 可重复排列从n个不同的元素中可重复地 取出m个排成一排，不同的排法有 种。 nm 4
排列 从 n 个不同的元素中取出 m 个 (不放 回地）按一定的次序排成一排不同的 排法共有 ( 1)( 2) ( 1) m P nn n n m n 全排列 P n! nn 可重复排列 从 n 个不同的元素中可重复地 取出 m 个排成一排, 不同的排法有 m 种 n . 4
组合 从n个不同的元素中取出m个（不放 回地)组成一组，不同的分法共有 n n! m ml(n-m)！ 0!=1和 重复组合 从n个不同元素中每次取出一个， 放回后再取下一个，如此连续取次所得的组合 称为重复组合，此种重复组合数共有 4
组合 从 n 个不同的元素中取出 m 个 (不放 回地）组成一组， 不同的分法共有 ! !( )! n n m mn m n r 1 r 重复组合 从 n 个不同元素中每次取出一个， 放回后再取下一个，如此连续取 r次所得的组合 称为重复组合，此种重复组合数共有 0! 1 1 0 n 和 5
例袋中有a只白球，b只红球，从袋中按 不放回与放回两种方式取m个球(m≤a+b), 求其中恰有k个(k≤a,k≤m)白球的概率 解(1)不放回情形 E:球编号，任取一球，记下颜色，放在一边， 重复m次 2:np=Aa4b=(a+b(a+b-1)…(a+b-m+1) 记事件A为m个球中有k个白球，则 n4=C所AAgm-k ml al b! k(m-k)！(a-k)！(b-m+k)！ 6
m a b 例 袋中有a 只白球，b 只红球，从袋中按 不放回与放回两种方式取m个球（ ), 求其中恰有 k 个 （ ）白球的概率 k a,k m m a b ( )( 1) ( 1) n A( ) a b a b a b m m a b 解 （1）不放回情形 E: 球编号，任取一球，记下颜色，放在一边， 重复 m 次 W: 记事件 A 为m个球中有k个白球，则 ( )! ! ( )! ! !( )! ! b m k b a k a k m k m n C A Am k b ka k A m 6
则P0= 州AA0-★ k≤a,k≤m A46 又解E:球编号，一次取m个球，记下颜色 21 记事件A为m个球中有k个白球，则 A =C4Cp-k 因此 CC k≤a,k≤m 称超几 何分布 不放回地逐次取m个球，与一次任取m个 球算得的结果相同
又解 E1: 球编号, 一次取 m 个球,记下颜色 m Ca b n W 1 1: 记事件 A 为m个球中有k个白球，则 m k b k nA CaC 不放回地逐次取 m 个球, 与一次任取 m 个 球算得的结果相同. 则 m a b m k b k a k m A C A A P A ( ) k a,k m 因此 m a b m k b k a C C C P A ( ) k a,k m 称超几 何分布 7
(2)放回情形 E2:球编号，任取一球，记下颜色，放回去， 重复m次 22 n2,=(a+b)m 记B为取出的m个球中有k个白球，则 m-k P(B)= p-cii 记p= a a+b P(B)=Chp*(1-p)"-k k=1.2..,min(a,m) 称二项分布 8
（2）放回情形 E2: 球编号, 任取一球, 记下颜色, 放回去, 重复 m 次 m n (a b) 2 W2: 记 B 为取出的 m 个球中有 k 个白球, 则 m k k m k m a b C a b P B ( ) ( ) k m k k m a b b a b a C a b a p 记 P(B) C p (1 p) k 1,2, ,min( a,m) k k m k m 称二项分布 8
例（球入盒子模型）设有k个不同的球，每个 球等可能地落入N个盒子中(k≤W),设 每个盒子容球数无限，求下列事件的概率： (1)某指定的k个盒子中各有一球； (2)某指定的一个盒子恰有m个球(m≤k) (3)某指定的一个盒子没有球； (4)恰有k个盒子中各有一球； (5)至少有两个球在同一盒子中； (6)每个盒子至多有一个球 9
例(球入盒子模型)设有 k 个不同的球, 每个 球等可能地落入 N 个盒子中（ ）, 设 每个盒子容球数无限, 求下列事件的概率: （1）某指定的 k 个盒子中各有一球； （4）恰有 k 个盒子中各有一球； （3）某指定的一个盒子没有球； （5）至少有两个球在同一盒子中； （6）每个盒子至多有一个球. （2）某指定的一个盒子恰有 m 个球( ) m k k N 9
解 n=Nk 设(1)~(6)的各事件分别为4→A, k! 则 m4=k! P(A)= n Nk m6=CX(W-I)-m→ P(A) C(N-1)-m m4=(W-1) P4)= N-I NR m Chk! P(A)= Ck! Nh m =N-Chike!P(4)= N-C-1-P(A) Nk m =Ck! P(A)=P(A4) 10
解 k n N 设 (1) ~ (6)的各事件分别为 A A 1 6 则 1 ! m k A 1 1 ! ( ) A k m k P A n N 4 ! ( ) kN k C k P A N 3 ( 1) ( ) k k N P A N 2 ( 1) ( ) m km k k C N P A N 5 ! ( ) k kN k N Ck P A N 4 1 () P A 3 ( 1)k m N A 2 ( 1) m km m CN A k 4 ! k m Ck A N 5 ! k k m N Ck A N 6 ! k m Ck A N 6 4 P() () A PA 10
