答案：本科概率论与数理统计作业卷（九） 1解因为D4=1,小于D4,D42,D44,所以4较优 故应选(C) 2解因x-?x寺=2- √π √π 故取x=X,则得后=X,即a=X (2)似然函数为L=L(x1,x2,…,xn) -气j血 nL=n血后+h-ana空x 求导得似然方程 20 da a 解之得的服大然估计为ā-空父。a的最大城估计量为 25 V3n台 3证明由于E)=6X)+2B(X,)+E0X,川=48(X)=4 E么)=IE(CX)+EX:)+E(X,川=写3E(X)=4故么与么为期里u的无偏估 计，又因为 D()=IGD(X)+4+x 8 22=3 8 2 0a)-5DX0+b0X+X-9g- x22=3 4 由于D(2)<D(4)故42是比4更有效的估计量
答案:本科概率论与数理统计作业卷(九) (C). 1. 1 . 3 1 2 4 3 故应选 解 因为Dμ = ，小于 Dμ ，Dμ ，Dμ ，所以 μ 较优 ∑ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = = = = = = = = Γ = = − = − = +∞ − ∏ ∏ ∫ n i i i x a n i i n a x n i i n a x x e a e a x L L x x x a X a X a EX X a a e dx a x EX x 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 3 1 3 2 1 2 ^ 0 3 2 4 4 (2) ( , , , ; ) . 2 , ˆ 2 ˆ , 2 (2) 4 2 2. (1) π π π π π π π 似然函数为 L 故取 则得 即 解 因 ∑ ∑ ∑ ∏ ∑ = = = = = = = − + = = + − − n i i n i i n i i n i i i i x n x a a n a a x a a n da d L x a L n x n a 1 2 1 2 1 2 3 1 2 2 2 3 2 . ˆ 3 2 ˆ 0 ln 3 2 1 ln 3 ln 4 ln ln 解之得 的最大似然估计为 的最大似然估计量为 求导得似然方程 π 故 与 为期望 的无偏估 证明 由于 μ μ μ μ μ μ μ ∧ ∧ ∧ ∧ = + + = ⋅ = = + + = ⋅ = 2 1 2 3 1 2 1 1 2 3 3 ( ) , 3 1 [ ( ) ( ) ( )] 3 1 ( ) 4 ( ) , 4 1 [ ( ) 2 ( ) ( )] 4 1 3. ( ) E E X E X E X E X E E X E X E X E X ( ) ( ) . . 3 4 2 9 3 [ ( ) ( ) ( )] 9 9 1 ( ) . 2 3 2 8 3 8 3 [ ( ) 4 ( ) ( )] 16 1 ( ) 2 1 2 1 2 2 2 1 2 3 2 2 1 1 2 3 由于 ，故 是比 更有效的估计量 计，又因为 ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ < = + + = = × = = + + = = × = μ μ μ μ μ σ μ σ D D D D X D X D X D D X D X D X
4解：由样本值得X=(1455+1502+1370+1610叶1430)=1473.4 当01查表得6做-石-14734-14× =1400.1 5 +7=14734+14 店15467 .100 于是置信度90%下，平均使用寿命的置信区间400.1,1546.7] G13857 a-0.05时，查表得uap=1.96,故x-4ap号=1473.4-1.96×100 +e云-14734+1%×g-15611 5 于是在置信度95%下，平均使用寿命的置信区间为1385.7,1561.1] 5.解：x=1(578+572+570+568+572+570+570+596+584+572)=575.2 10 s产0685752r+52-752+50-5752°+1608-552r+5n-352 (570-5752)2+(570-575.2)2+(596-575.2)2+(584-575.2)2+(572-575.2)2]=75.73 查x分部表得 X(9)=x6.s(9)=16.919 X-an(9)=X6s(9)=3.325 故-1S-9x7573-4028 Xn(9) 16.919 n-1s2_9×75.73=204.98 xan(9)3.325 于是得σ2的90%的置信区间为40.28,204.98]，σ的90%置信区间为6.35,14.32] 6.解 4。=500克，依题意，设H。:o2=o 因X的均值4，=500克已知，故当H。为真时，检验用统计量为 i2-w-r0 对于给定的显著性水平u=0.05,查x2-分布表得临界值x25(10)=20.5 695(10)=3.25,已知4=500,00=5，n=10. 根据样本值计算统计量x的值为X=】 3∑x,-500)2=16.88 00ie1 因x6s(10)<X2<x62s(10),故在显著性水平a=0.05下接受H
[ ] 95 [ ] 1385.7 1561.1 1561.1 5 100 X 1473.4 1.96 1385.7 5 100 0.05 1.96 X 1473.4 1.96 90% 1400.11546.7 1546.7 5 100 X 1473.4 1.64 1400.1 5 100 0.1 1.64 X 1473.4 1.64 1455 1502 1370 1610 1430 1473.4 5 1 4. X 2 2 2 2 2 2 于是在置信度 ％下，平均使用寿命 的置信区间为 ， ＋ 当 ＝ 时，查表得 ＝ ，故 － 于是置信度 下，平均使用寿命 的置信区间为 ， ＋ 当 ＝ ，查表得 ＝ ，故 － 解：由样本值得 ＝ （ ＋ ＋ ＋ ＋ ）＝ μ σ σ α μ σ σ α α α α α α α = + × = = − × = = + × = = − × = n u n u u n u n u u [ 2 2 2 2 2 2 578 575.2) (572 575.2) (570 575.2) (568 575.2) (572 575.2) 10 1 1 S 578 572 570 568 572 570 570 596 584 572 575.2 10 1 5. X （ － + − + − + − + − － ＝ 解：＝ （ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ）＝ ] 90 [ ] [] 40.28 204.98 , 90 6.35,14.32 204.98 3.325 9 75.73 (9) ( 1)S 40.28 16.919 9 75.73 9 ( 1)S (9) (9) 3.325 9 9 16.919 (570 575.2) (570 575.2) (596 575.2) (584 575.2) (572 575.2) 75.73 2 2 1 2 2 2 2 2 2 0.95 2 1 2 2 0 05 2 2 2 2 2 2 2 2 于是得 的 ％的置信区间为 ， 的 ％置信区间为 ＝ （ ） 故 （ ）＝ （ ）＝ 查 分部表得 。 σ σ χ χ χ χ χ χ χ α α α α = × = − = − × = = − + − + − + − + − = − − n n (10) (10), 0.05 . ( 500) 16.88 1 (10) 3.25, 500, 5, 10. 0.05, (10) 20.5 ( ) ~ ( ) 1 500 6. 500 : 0 2 0.025 2 2 0.975 10 1 2 2 0 2 2 0 0 2 0.975 2 0.025 2 1 2 2 2 0 0 2 0 0 2 0 2 0 0 H x n X n X H H i i n i i 因 故在显著性水平 下接受 根据样本值计算统计量 的值为 已知 对于给定的显著性水平 查 分布表得临界值 因 的均值 克已知，故当 为真时，检验用统计量为 解 克，依题意，设 < < = = − = = = = = = − = = − = = = ∑ ∑ = = χ χ χ α σ χ χ χ μ σ α χ χ μ χ σ χ μ μ σ σ
7解将甲乙两车间生产的罐头食品水分活性分别作为总体X和Y,依题意，设 Ho:41=2 由于X和Y的方差均己知，故在H。为真的条件下，检验用统计量为 - U= ~N(0,1) ai i n n2 对于给定的显著性水平a=0.05,借助标准正态分布表可算出u。=196, 己知x=0.811,1=0.142,n1=15,=0.862,o2=0.105,n2=15,故统计量U的值为 x-j M= =-1.12 n n2 因4=1.12<1.69，故在显著性水平a=0.05下接受H。,即认为甲乙两车间生产的 罐头食品水分活性均值无显著差异 ②o,o均未知但相等时：X与Y的样本标准差分别是S,与S2,当H。为真时， 由(2.1.22)知，统计量 (x-) tn1+n2-2) (n1-1)S2+(n2-1)S n1+n2-2 n, 于是可用T检验法检验H
. ~ ( 2) 1 1 2 ( 1) ( 1) ( ) (2.1.22) , , . 1.12 1.69, 0.05 , 1.12 0.811, 0.142, 15, 0.862, 0.105, 15, 0.05, 1.96, ~ (0,1) : 7. , 0 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 0 2 2 2 1 0 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 0 0 1 2 T H t n n n n n n n S n S X Y T X Y S S H u a H n n x y u x n y n U a u N n n X Y U X Y H H X Y a 于是可用 检验法检验 由 知，统计量 ② 均未知但相等时： 与 的样本标准差分别是 与 当 为真时， 罐头食品水分活性均值无显著差异 因 故在显著性水平 下接受 即认为甲乙两车间生产的 已知 故统计量 的值为 对于给定的显著性水平 借助标准正态分布表可算出 由于 和 的方差均已知，故在 为真的条件下，检验用统计量为 解 将甲乙两车间生产的罐头食品水分活性分别作为总体 和 依题意，设 + − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + − − + − − = = < = = − + − = = = = = = = = = + − = = σ σ σ σ σ σ σ σ μ μ
