第一部分模拟与概率 肖柳青主讲 lucyxiao@situ.edu.cn PUB:SSMA_xiao@yeah.net
第一部分 模拟与概率 肖柳青 主讲 lucyxiao@sjtu.edu.cn PUB:SSMA_xiao@yeah.net
第六章复杂的模拟举例 [1]有趣的蒙提霍尔问题(Monty Hall problem [2]抽球问题 [3]街头骗局揭秘 [4]求圆周率π（另一种用蒙特卡洛方） [5]四人追逐问题 [6]排队系统模拟实例
第六章 复杂的模拟举例 [1] 有趣的蒙提霍尔问题（Monty Hall problem） [2] 抽球问题 [3] 街头骗局揭秘 [4] 求圆周率π(另一种用蒙特卡洛方法) [5] 四人追逐问题 [6] 排队系统模拟实例
CASE1.有趣的蒙提霍尔问题 Monty Hall problem 蒙提霍尔问题(Monty IVAN MOSCOVICH Hall problem),也 6YE粉L 称为三门问题 OTHER PUZZLES 是一个源自博弈论的数 学游戏问题，问题的名 字来自美国的电视游戏 节目：Let's Make a 0 Deal,该节目的主持人 名叫蒙提-霍尔(Monty DEAL Hall
CASE1. 有趣的蒙提霍尔问题 （Monty Hall problem） • 蒙提霍尔问题（Monty Hall problem），也 称为三门问题， • 是一个源自博弈论的数 学游戏问题，问题的名 字来自美国的电视游戏 节目：Let’s Make a Deal，该节目的主持人 名叫蒙提·霍尔（Monty Hall）
这个游戏的玩法是： 参赛者面前有三扇关闭的门，其中一扇门的后 面藏有一辆汽车，而另外两扇门的后面则各藏 有一只山羊。参赛者从三扇门中随机选取一扇， 若选中后面有车的那扇门就可以赢得该汽车 当参赛者选定了一扇门，但尚未开启它的时候， 节目主持人会从剩下两扇门中打开一扇藏有山 羊的门，然后问参赛者要不要更换自己的选择 选取另一扇仍然关上的门。这个游戏涉及到的 问题是：参赛者更换自己的选择是否会增加赢 得汽车的概率？ 33%
这个游戏的玩法是： 参赛者面前有三扇关闭的门，其中一扇门的后 面藏有一辆汽车，而另外两扇门的后面则各藏 有一只山羊。参赛者从三扇门中随机选取一扇， 若选中后面有车的那扇门就可以赢得该汽车。 当参赛者选定了一扇门，但尚未开启它的时候， 节目主持人会从剩下两扇门中打开一扇藏有山 羊的门，然后问参赛者要不要更换自己的选择， 选取另一扇仍然关上的门。这个游戏涉及到的 问题是：参赛者更换自己的选择是否会增加赢 得汽车的概率？
数学理论求解 由于游戏开始是参赛者是从三扇门中随机地选 取一扇门，所以在更换选择之前，参赛者赢得 汽车的概率为1/3。 经分析可知，若参赛者一开始选中汽车，则更 换选择后一定选不到汽车； 若参赛者一开始没有选中汽车，则更换选择后 一 定能选到汽车
数学理论求解 • 由于游戏开始是参赛者是从三扇门中随机地选 取一扇门，所以在更换选择之前，参赛者赢得 汽车的概率为1/3。 • 经分析可知，若参赛者一开始选中汽车，则更 换选择后一定选不到汽车； • 若参赛者一开始没有选中汽车，则更换选择后 一定能选到汽车
为了求解参赛者更换选择之后赢得汽车的概率， 这里引入两个随机事件： A=一开始选中汽车 B=更换选择后选中汽车 根据全概率公式可求得参赛者更换选择之后赢 得汽车的概率为 =P0P8到0+团P1)-写X0+号x1- 2 参赛者更换选择后赢得汽车的概率增大了，从最 初的1/3变为2/3了，显然参赛者应该更换自己的 选择
• 为了求解参赛者更换选择之后赢得汽车的概率， 这里引入两个随机事件： • A= 一开始选中汽车 B=更换选择后选中汽车 根据全概率公式可求得参赛者更换选择之后赢 得汽车的概率为 参赛者更换选择后赢得汽车的概率增大了，从最 初的1/3变为2/3了，显然参赛者应该更换自己的 选择。 1 2 2 ( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) 0 1 3 3 3 P B P A P B A P A P B A
随机模拟方法求解 设两只羊的编号分别为1和2，汽车的编号为3 现在从数字1、2、3中随机选取一个数字，若 开始选中1或2，则更换选择后选中3， 即赢得汽 车；若一开始选中3，则更换选择后选中1或2， 即得不到汽车。 将这样的试验重复进行n次，记录一开始选中1 或2的次数m(即更换选择后赢得汽车的次数) 从而可以确定更换选择后赢得汽车的频率m/n。 由大数定律可知当试验次数n增大时，频率m/n 趋近于更换选择后赢得汽车的概率
随机模拟方法求解 • 设两只羊的编号分别为1和2，汽车的编号为3。 • 现在从数字1、2、3中随机选取一个数字，若一 开始选中1或2，则更换选择后选中3，即赢得汽 车；若一开始选中3，则更换选择后选中1或2， 即得不到汽车。 • 将这样的试验重复进行n次，记录一开始选中1 或2的次数m（即更换选择后赢得汽车的次数）， 从而可以确定更换选择后赢得汽车的频率m/n。 由大数定律可知当试验次数n增大时，频率m/n 趋近于更换选择后赢得汽车的概率
MATLAB程序代码如下： function p SheepAndCar(n) %p=SheepAndCar(n),利用蒙特卡洛方法求解蒙提霍尔问题，求参赛 者更换选择之后 %赢得汽车的概率p。 这里的n是正整数标量或向量，表示随机抽样的次数。 for i 1:length(n) x randsample(3,n(i),'true'); %随机抽样 p(0)=sum(x~=3)/n(0)片 %概率的模拟值 end
MATLAB程序代码如下： • function p = SheepAndCar(n) % p = SheepAndCar(n), 利用蒙特卡洛方法求解蒙提霍尔问题，求参赛 者更换选择之后 % 赢得汽车的概率p。这里的n是正整数标量或向量，表示随机抽样的次数。 • • for i = 1:length(n) • x = randsample(3,n(i),’true’); %随机抽样 • p(i) = sum(x~=3)/n(i); %概率的模拟值 • end
SheepAndCar函数代码的注释部分给 出了该函数的调用格式 下面调用SheepAndCar函数，针对不同的n,求参 赛者更换选择之后赢得汽车的概率的模拟值 >>P= SheepAndCar(C10,100,1000,10000,100000]) %求概率模拟值向量 0.70000.66000.66500.66000.66630.6666 由以上结果可以看到，随着随机抽样次数 的增大，所求概率的模拟值逐渐趋近于理 论值2/3
• SheepAndCar 函数代码的注释部分给 出了该函数的调用格式。 • 下面调用SheepAndCar函数，针对不同的n，求参 赛者更换选择之后赢得汽车的概率的模拟值 • >> p = SheepAndCar([10,100,1000,10000,100000]) %求概率模拟值向量 • p = • 0.7000 0.6600 0.6650 0.6600 0.6663 0.6666 • 由以上结果可以看到，随着随机抽样次数 的增大，所求概率的模拟值逐渐趋近于理 论值2/3
CASE2.抽球问题 一 袋子中有n个球，从中有放回地抽取 m(n≤m)次，求袋子中的每个球都能 被抽到的概率。这个问题也可以描述为 m(n≤m)个球随机地落到n个盒子中， 求每个盒子中都有球的概率
CASE2. 抽球问题 • 一袋子中有n个球，从中有放回地抽取 m（n≤m）次，求袋子中的每个球都能 被抽到的概率。这个问题也可以描述为 m（n≤m）个球随机地落到n个盒子中， 求每个盒子中都有球的概率