答案：本科概率论与数理统计作业卷（四） 一、填空题 1解由题设，X的分布律为：PX=好=府e,k=012,… 本题的关键为先要求出参数元的值由PX=1)=PX=2得e”=公e,即2-2元=0 因为1>0，得1=2，于是 e=e0902 2 P{X=4}= 3 2解 吾=PmX≥=I-PXa)=1-P(lxka)=1-P(-a<x<a)=1-[F(a)-F(-a)] =1-[F(a)-(1-F(a)]=2[1-F(a] 3解由于X-L、NO,y-L、NOn 4 5 所以A=Ps-=1-0(r≥明=edn a=P≥=1-0（分ie0 故P,=P2,而且与μ的取值无关
答案：本科概率论与数理统计作业卷(四) 一、填空题 0.902. 3 2 4! 2 0, 2, { 4} , 2 0 2 . { 1} { 2} , 0,1,2, ! 1. , : { } 2 2 4 2 2 > = = = = ≈ = = = = − = = = = … − − − − − P X e e P X P X e e e k k X P X k k 因为 得 于是 本题的关键为先要求出参数 的值 由 得 即 解 由题设 的分布律为 λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ . 27 19 27 19 ) 3 2 { 1} 1 { 1} 1 (1 ) 1 ( 3 2 { 1} 1 { 1} 1 (1 ) 1 (1 ) ,(1 ) 9 5 2. 0 0 3 3 3 0 0 2 2 2 所以应填 解 ≥ = − = − < = − − < < = − − − ∴ + − = = ⇒ − = − − = ∴ − = = ∫ ∫ ∫ +∞ −∞ − +∞ −∞ ϕ 解 Q ϕ ϕ ϕ ϕ , . d ) 2 1 1} 1 (1) ( 5 { d ) 2 1 1} 4 1} 1 (1) ( { 4 { ~ (0,1) 5 ~ (0,1), 4 3. 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 故 而且与 的取值无关 所以 解 由于 μ π μ π μ μ μ μ p p e t Y p P e t X P X p P N Y N X t t = ≥ = − Φ − = ≥ = − ≤ − = − Φ − = − − ∫ ∫ ∞ − ∞ −
三、计算证明题 1.解()因为∫p(x)dk=l1,故 由此得 A=1 2 1 3 (3)设X的分布函数为F(x),当x<-1时，F(x)=P(X≤x=∫p)dh=∫0d=0 当-1≤x<1时，F(x)=P{X≤x}=PX≤-l}+P{-1<X≤x} -+ia片 当x≥I时，F(x)=P{X≤x}=P{X≤-I}+P{-1<X≤x}+P{I<X≤x} -w+n+ow1 0, 当x<-1 综合起来，得 1,1 F(x)= +-arcsin x, 当-1≤x<1 2 1, 当x≥1 2.解：设A=“某月降水量不超过50mm” P(A)=P(x≤50)=P(40≤0440)=25)=0.9938 4 观察10个月该地区降水量是否超过50mm,相当做10天贝努利试验 设Y=“该地区降水量不超过50mm的月数”，则Y~B(10,0.9938) P(Y=10)=0.993810=0.9396 3解这是泊松分布的应用问题X~PPX=k=2行，k=012 这里1是未知的，关键是求出2.据题意有P(X=8}=2.5PX=10} 即 Ase-i 2.5x20e ,解出2=36,1=6 8 10! (0PX=8y=6e5 0.103PX=10;=6e -≈0.0413 81 10 (2)P{X=0}=e2=e-10≈0.00248 P{X≥1}=1-P{X=0}≈1-0.00248≈0.9975 (3)PX=1y=6e≈001487，PX=2y=62 -≈0.04462 21 P{X≤2}=P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}≈0.00248+0.01487+0.04462≈0.0620
三、计算证明题 3 1 arcsin 1 1 1 1 } 2 1 2 1 (2) { 1 ) 1 2 2 arcsin ( 1 ( ) 1. (1) ( ) 1, 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 = = − − < < = = = + = = − = = − − − − +∞ −∞ +∞ −∞ ∫ ∫ ∫ ∫ dx x x P X dx A x A A x A p x dx p x dx π π π π π 由此得 解 因为 故 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ + − ≤ < < − = + = − = + ≥ = ≤ = ≤ − + − < ≤ + < ≤ = + − = + − ≤ < = ≤ = ≤ − + − < ≤ < − = ≤ = = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ − − −∞ − − −∞ −∞ −∞ 1, 1 arcsin , 1 1 1 2 1 0, 1 , ( ) 0 1 1 1 0 1 , ( ) { } { 1} { 1 } {1 } arcsin 1 2 1 1 1 0 1 1 , ( ) { } { 1} { 1 } (3) ( ), 1 , ( ) { } ( ) 0 0 1 1 1 2 1 1 2 1 x x x x F x dt dt t dt x F x P X x P X P X x P X x dt x t dt x F x P X x P X P X x X F x x F x P X x p t dt dt x x x x 当 当 当 综合起来 得 当 时 当 时 设 的分布函数为 当 时 π π π π P Y 10 0.9938 0.9396 Y 50mm Y B 10 0.9938 10 50mm 10 ) (2.5) 0.9938 4 50 40 4 40 P A P 50) P 2. A 50mm （ ＝ ）＝ 10＝ 设 ＝“该地区降水量不超过 的月数”，则 ～ （ ， ） 观察 个月该地区降水量是否超过 ，相当做 天贝努利试验 （ ）＝ （ （ 解：设 ＝“某月降水量不超过 ” = = − ≤ − ≤ = φ x x { 2} { 0} { 1} { 2} 0.00248 0.01487 0.04462 0.0620 0.04462 2! 6 (3) { 1} 6 0.01487 { 2} { 1} 1 { 0} 1 0.00248 0.9975 (2) { 0} 0.00248 0.0413 10! 6 0.1033 { 10} 8! 6 (1) { 8} 36, 6 10! 2.5 8! , . { 8} 2.5 { 10} , 0,1,2, . ! 3. ~ ( ), { } 2 6 6 10 8 6 10 6 2 8 10 ≤ = = + = + = ≈ + + ≈ = = ≈ = = ≈ ≥ = − = ≈ − ≈ = = = ≈ = = ≈ = = ≈ = × = = = = = = = = … − − − − − − − − P X P X P X P X e P X e P X P X P X P X e e e P X e P X e e P X P X k k e X P P X k k ， 即 ，解出 这里 是未知的 关键是求出 据题意有 解 这是泊松分布的应用问题 λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ
4解先求出Y的分布函数，然后求导数 0, F,)=PW≤y以=P{e≤y以= y<1 P{X≤lny},y≥1 故y≥1时，F0)=PX≤ny=ek 0,y<1 dF,(y)1 f00=西=下 因此(y)={ R, y≥1
∫ − ≥ = ≤ = ⎩ ⎨ ⎧ ≤ ≥ < = ≤ = ≤ = y x Y X Y y F y P X y e dx P X y y y F y P Y y P e y Y ln 0 1 ( ) { ln } { ln }, 1 0, 1 ( ) { } { } 4. 故 时， 解 先求出 的分布函数，然后求导数 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ < = = = , 1 1 0, 1 ( ) ( ) 1 ( ) 2 2 y y y f y dy y dF y f y Y y Y 因此