上海交通大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（电子讲义）第二章随机变量及其分布.pdf_大学文库

第二章随机变量及其分布在上一章中，我们用样本空间的子集，即基本事件的集合来表示随机试验的各种结果。这种表示的方式对全面讨论随机试验的统计规律性及数学工具的运用都有较大的局限。在本章中，我们将用实数来表示随机试验的各种结果，即引入随机变量的概念。这样，不仅可更全面揭示随机试验的客观存在的统计规律性，而且可使我们用数学分析的方法来讨论随机试验第一节随机变量与分布函数一、随机变量的概念：在随机试验中，若把试验中观察的对象与实数对应起来，即建立对应关系X,使其对试验的每个结果o,都有一个实数(o)与之对应，则的取值随着试验的重复而不同，厂是一个变量，且在每次试验中厂究竟取什么值事先无法预知，也就是说X是一个随机取值的变量。因此，很自然地称X为随机变量 1定义设试验的样本空间为2，如果对于每一个o∈2，都有一个确定的实数(o)与之对应，则称实值函数(o)为Ω上的随机变量注：1.o)简记为X 2.X是由o唯一确定； 3.自变量0一一试验结果，定义域一样本空间Ω 引入随机变量以后，就可以用随机变量X来描述随机事件。例如，在“掷硬币” 这个试验中，可定义 1,当正面出现时， Y= 0,当反面出现时，则(X=)和(X=0)就分别表示了事件{出现正面}和{出现反面}，且有 AX=)=P出现正面}=为，Ar=0)=出现反面}=乃若试验的结果本身就是用数量描述的，则可定义X=(o)=1,0=t∈2。例如，在“掷骰子”这个试验中，用(r=)表示{出现点}，且 A=0=P础现点}=%1=1,2，…，6。在“测试灯泡寿命”这个试验中，(X=)表示{灯泡的寿命为1（小时）}，而r≤)就是事件{灯泡寿命不超过1（小时）}的概率。例1设9件产品中含有4件次品，从中任取3件，则被取3件中的次品数X是一个随机变量，它的可能取值是0,1,2,3 例2检查一批织物的质量，从每平方米中观察到的疵点数Y是一个随机变量，它的可能取值是0,1,2,3，.. 例3某公共汽车的行车间隔是a分钟，某乘客随机的到达车站，则其等车的事件Z是

1 第二章随机变量及其分布在上一章中，我们用样本空间的子集，即基本事件的集合来表示随机试验的各种结果。这种表示的方式对全面讨论随机试验的统计规律性及数学工具的运用都有较大的局限。在本章中，我们将用实数来表示随机试验的各种结果，即引入随机变量的概念。这样，不仅可更全面揭示随机试验的客观存在的统计规律性，而且可使我们用数学分析的方法来讨论随机试验. 第一节随机变量与分布函数一、随机变量的概念：在随机试验中，若把试验中观察的对象与实数对应起来，即建立对应关系 X，使其对试验的每个结果 ，都有一个实数 X()与之对应，则 X 的取值随着试验的重复而不同， X 是一个变量，且在每次试验中 X 究竟取什么值事先无法预知，也就是说 X 是一个随机取值的变量。因此，很自然地称 X 为随机变量. 1. 1. 定义设试验的样本空间为  ，如果对于每一个   ，都有一个确定的实数 X()与之对应，则称实值函数 X()为 上的随机变量. 注: : 1. X() 简记为 X; 2. X 是由 唯一确定； 3.自变量 ———试验结果，定义域——样本空间  引入随机变量以后，就可以用随机变量 X 来描述随机事件。例如，在“掷硬币” 这个试验中，可定义     当反面出现时，当正面出现时， 0 , 1, X 则（X 1) 和 (X  0) 就分别表示了事件 { 出现正面 } 和 { 出现反面 } ，且有出现正面，。 2 P(X  1)  P{ }  1 2 P(X  0)  P{出现反面}  1 若试验的结果本身就是用数量描述的，则可定义 X  X()  t,  t 。例如，在“掷骰子”这个试验中，用 (X  i)表示{出现 i点}，且 P(X  i)  P{出现i点}  1 6 ,i  1,2,,6。在“测试灯泡寿命”这个试验中，（X  t)表示{灯泡的寿命为t（小时）}，而 P(X  t)就是事件{灯泡寿命不超过 t（小时）}的概率。例 1 设 9 件产品中含有 4 件次品，从中任取 3 件，则被取 3 件中的次品数 X 是一个随机变量，它的可能取值是 0,1,2,3. 例 2 检查一批织物的质量，从每平方米中观察到的疵点数 Y 是一个随机变量，它的可能取值是 0,1,2,3,… 例 3 某公共汽车的行车间隔是 a 分钟，某乘客随机的到达车站，则其等车的事件 Z 是

2 一个随机变量，它的一切可能取值充满区间[0,a]. 2. 2. 分类    非离散型随机变量（连续型随机变量）离散型随机变量二、随机变量的分布函数许多随机变量的取值是不能一个一个地列举出来的且它们取某个值的概率可能是零。例如，在测试灯泡的寿命时，可认为寿命 X 的取值充满了区间 [0,) ，事件 (X  x 0 )表示灯泡的寿命正好是 x 0 ，在实际中，测试数百万只灯泡的寿命，可能也不会有一只的寿命正好是 x0。也就是说，事件 (X  x 0 )发生的频率在零附近波动，自然可认为 P(X  x 0 )  0。由于有许多随机变量的概率分布情况不能以其取某个值的概率来表示，故我们转而讨论随机变量 X 的取值落在某一个区间里的概率，即讨论 P( x 1  X  x 2 )。因为 P( x1  X  x 2 )  P(X  x 2 )  P(X  x1 )，所以对任何一个实数 x，只需知道 P(X  x)，就可知 X 的取值落在任一区间里的概率了。为此，我们用 P(X  x)来讨论随机变量 X 的概率分布情况。 (1). (1). 定义 . ( ) { } ( , ) 为的分布函数设为一随机变量，是任意实数，称函数 X X x F x  P X  x   注: : 有了分布函数，对于任意的实数 x 1, x 2 (x1  x2 ) ，随机变量 X 落在区间( x1 , x 2 ]里的概率可用分布函数来计算： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). 1 2 2 1 2 1 P x  X  x  P X  x  P X  x  F x  F x 在这个意义上可以说，分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性，或者说，分布函数完整地表示了随机变量的概率分布情况。若把 X 看作是数轴上的随机点的坐标，则分布函数 F(x)在 x 的函数值就表示 X 落在区间 (, x]里的概率。 (2).分布函数 F(x)具有以下基本性质： 1．F(x)是一个单调不减的函数，即当 x 1  x 2时, F( x 1 )  F(x 2 )。事实上， ( ) ( ) ( ) 0，故 . F x 2  F x 1  P x 1  X  x 2  ( ) ( ) 1 2 F x  F x 2． 0  F(x)  1，且 ()  lim ( )  1, ()  lim ( )  0。   F F x F F x x x

6 二、几种重要的离散型分布 1. 1. 两点分布（0 0 -1 -1 ）分布若随机变量 X 的分布律为 ( ) (1 ) , 0,1,(0 1), 1        P X k p p k p k k 则称 X 服从以 p 为参数的（（ 0-1 0-1 ）分布）分布。（（ 0-1 0-1 ）分布）分布的分布律也可写成若某个随机试验的结果只有两个，如产品是否合格，试验是否成功，掷硬币是否出现正面等，它们的样本空间为   {1 ,2 }，则总能定义一个服从（0-1）分布的随机变量     当发生时。当发生时； 2 1 0, 1,   X 也就是说，它们都可以用（0-1）分布来描述，只不过对不同的问题参数 p 的值不同而已.可见，（0-1）分布是经常遇到的一种分布。 2. 2. 二项分布若随机变量 X 的取值为 0，1，2，n且 P X k C p q k n k k n k n (  )  ,  0,1,2,,  其中，则称 X 服从以为参数的二项分布二项分布 0  p  1, p  q  1 n, p ，记为 X ~ B(n, p)。容易证明 P(X  k)  Cn k p k q nk  0,且 ( ) ( ) 1. 0 0           k n k n n k n k k P X k Cn p q p q 注意到 Cn k p k q nk 正好是二项式( p  q) n 的展开式的一般项，因此称该随机变量服从二项分布。特别，当n  1时二项分布为 ( ) , 0,1。这就是（0-1）分布，故当X 1     P X k p q k k k 服从（0-1）分布时，常记为 X ~ B(1, p)。在第一章中我们讨论了 n 重贝努力试验，易见在 n 重贝努力试验中事件 A 发生的次数 X 是服从而二项分布的随机变量。又由 kq n p kp kq n k p n k n k P q n k n k p q C p q C p q P X k P X k k n k k n k k k n k n k k n k n                           ( 1) ( 1) !/( 1)1( 1)! !/ !( )! ( 1) ( ) 1 1 1 1 1 . kq n p k kp kq n p k kq n p k q             ( 1) 1 ( 1) (1 ) ( 1) X 1 0 P p 1  p

7 知当 k  (n 1)p时 P(X  k)单调增加，k  (n 1)p时 P(X  k)单调下降，因此可知当 k 在 (n  1) p附近时 P(X  k ) 达最大值，也就是说，在 n 重贝努力试验中，事件 A 发生 [(n+1)p]次的概率最大，通常称[(n 1)p]为 n 次独立重复试验中最可能成功的次数. 例 3 3 已知某型号电子元件的一级品律为 0.2，现从一大批元件中随机抽查 20 只，问最可能的一级品数是多少？解检查 20 只元件是否一级品可看 20 重的贝努力试验，即其中一级品数 X 服从二项分布 B(20,0.2)，而 (201) 0.2  4.2，所以其中有 4 只一级品的概率最大。下面的数据也验证了这个结果。其中 ( ) (0.2) (1 0.2) . 20 20 k k k P P X k C      例 4 4 某人独立地射击，设每次射击的命中率为 0.02，射击 400 次，求至少击中目标两次的概率。解把每次射击看成一次试验，设击中的次数为 X，则 X ~ B(400,0.02), X 的分布律为 ( ) (0.02) (0.98) , 0,1, ,400, 400 P X  k  C400 k k k k   于是所求概率为 ( 2) 1 ( 0) ( 1) 1 (0.98) 400 (0.02) (0.98) . 400 399 P X    P X   P X       直接计算上式是很麻烦的.下面我们给出一个当 n 很大而 p 很小时的近似计算公式. 泊松定理（Poisson Poisson Poisson Poisson ）设  0 是一常数，n 是正整数。若 npn  ,，则对任一固定的非负整数 k,,有  。       e k C p p k n k n k n k n n ! lim (1 ) 证由 pn   / n,知 k n k n k n k n k n k n n n n n k C p p                       1 ! ( 1) ( 1) (1 )  1 1 . 1 1 2 1 1 1 1 ! k n k n n n k k n n                                            对任意固定的 k，当 n  时 1  1,  1,2, , 1;       i k n i  X 0 1 2 3 4 5 6 P 0.012 0.058 0.137 0.205 0.218 0.175 0.109 X 7 8 9 10 11 >11 P 0.055 0.022 0.007 0.002 0.001 <0.01

8 1 1; 1 1 , ( )                                    e n n n n k n 故有 .       e k C p p k n k n k n k n n ! lim (1 ) 定理的条件 npn   ，意味着 n 很大时， pn 必定很小，由泊松定理知，当 X ~ B(n, p),，且 n 很大而 p 很小时，有 , (2.1) ! ( ) (1 )        e k P X k C p p k k k n k n 其中   np 。在实际计算中，当 n  20, p  0.05时，(2.1)式的近似值效果颇佳，而 n  100 且 np  10时，效果更好。  的值有表可查（见书后附表）   e k k ! 在例 4 中， np  8，由(2.1)式知 ( 0) , ( 1) 8 . 8 8 P X   e P X   e 因此 ( 2) 1 8 0.997. 8 8        P X e e 例 4 的结果告诉我们两个事实：其一，虽然每次射击的命中率很小（为 0.02），但射击次数足够大（为 400 次），则击中目标两次几乎是肯定的（概率为 0.997）。这个事实告诉我们，一个事件尽管在一次实验中发生的概率很小，但在大量的独立重复试验中这事件的发生几乎是必然的。也就是说，小概率事件在大量独立重复室验中是不可忽视的。其二，若射手在 400 次独立射击中，击中目标的次数不到两次是一件概率很小的事件，而这事件竟然在一次实验中发生了，则跟据实际推断，我们有理由怀疑“每次射击的命中率为 0.02”这一假设是否正确，即可认为射手射击的命中率达不到 0.02。例 5 5 现有同型设备 300 台，各台设备的工作是相互独立的，发生故障的概率都是 0.01. 设一台设备的故障可由一名维修工人处理，问至少需配备多少名维修工人，才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于 0.01？解设需配备 N 名工人，X 为同一时刻发生故障的设备的台数，则 X ~ B(300,0.01)。所需解决的问题是确定 N 最小值，使 P(X  N)  0.99. 因 np    3,，由泊松定理      N k k e k P X N 0 3 , ! 3 ( )

10 泊松定理表明，若 X ~ B(n, p n )(np n  ),则当 n  时， X ~ P()，这个事实也说明了泊松分布在理论上的重要性。具有泊松分布的随机变量在实际应用中是很多的。例如，在每个时段内电话交换台收到的电话的呼唤次数、某商店在一天内的顾客数、在某时段内的某放射性物质发出的经过计数器的粒子数等。泊松分布也是一种常见的重要分布。注泊松分布是作为二项分布的极限分布提出来的 7 0.05, 例设某段时间内通过一路口的汽车流量服从泊松分布，已知该时段内没有汽车通过的概率为则这段时间内至少有两辆汽车通过的概率是多少？ 4. 4. 超几何分布 ~ ( , , ). , , , , , , ( ) ( 0,1,2, , ; min{ , }) X H N M n M N n n N M N X N M n i l l n N C C C P X x X n N n i N M i M i 超几何分布，记作其中都是自然数，且则称服从参数为的设随机变量的分布列为          例设有一批产品 1000 件，其中有次品 10 件，今从中任取 2 件，求所取 2 件中恰有一件次品的概率。第三节连续型随机变量的分布连续型随机变量是一种重要的非离散型的随机变量。在这一节中我们要给出连续型随机变量的定义、性质、概率计算，并介绍一些常用的连续型随机变量的分布。一、连续型随机变量 1. 定义: : 设 F(x)是随机变量 X 的分布函数，若存在非负函数 f(X)，对任意实数 x，有 (2.2)   x F( x) f (t)dt 则称 X 为连续型随机变量连续型随机变量连续型随机变量连续型随机变量。称f(X)为 X 的概率密度函数概率密度函数或密度函数密度函数，也称为概率密度概率密度。 2. 性质:由定义可知，密度函数 f(x)有以下性质： 1.    f ( x)  0, f (t)dt  F() 1. 2.       2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 x x P x X x F x F x f t dt ( ) 1 2 x x 3．若 f(x)在点 x 处连续，则 F(x)=f(x) 由性质 3 知在 f(x)的连续点 x 处有 , ( ) lim ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 0 ' x P x X x x x F x x F x f x F x x x                   它表示了随机变量 X 在区间 (x,x+△x]上的平均概率，其与物理学中线密度的定义类似，故称 f(x)为密度函数。若不计高阶无穷小，则当 △x 很小时，由上式可得

上海交通大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（电子讲义）第二章 随机变量及其分布

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