上海交通大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（电子讲义）绪论、第一章 随机事件及其概率

概率论与数理统计 绪论 1.随机现象与必然现象 2.随机试验为对随机现象加以研究所进行的观察或实验，称为试验 若一个试验满足下列三个特点： (1)在相同条件下可以重复进行： (2)每次试验的可能结果不止一个，并且事先可以知道试验的所有可能结果： (3)进行一次试验之前不能确定出现的是哪个结果，则称这一试验为随机试验 例如：抛掷一枚硬币，观察正面和反面出现的情况 掷一颗筛子，观察出现的点数 对某一目标发射一发炮弹，观察弹着点到目标的距离 记录电话交换台在上午9时到10时接到的电话呼唤次数 测试某种型号的灯泡的寿命. 3.统计规律性试验结果具有不确定性，但在大量的重复试验中其结果又具有规律性的现象， 4.应用 第一章随机事件及其概率 第一节随机事件及其运算 一、随机事件 随机事件：试验的每一种可能结果为该试验的随机事件。 简称事件。记为A,B,C或A,A2,… 基本事件：试验一次有且只有一个发生称为基本事件，或称为样本点 复合事件：由若干个基本事件组合而成的事件 [例]观察两台机床生产的两件产品是否为合格品 必然事件：在每次试验中一定发生的事件称为必然事件Ω 不可能事件：在每次试验中一定不发生的事件称为不可能事件，记为Φ 注：Ω，Φ不是随机事件，但常看成特殊的随机事件 二、样本空间 样本空间：所有基本事件组成的集合成为该试验的样本空间。用Ω表示。 样本空间包含所有的样本点，每次试验它必然发生，它就是一个必然事件 有限样本空间：只含有有限个基本事件的样本空间 无限样本空间：含有无限个基本事件的样本空间。 包括：可列样本空间、不可列样本空间 样本点：样本空间中的基本事件

概率论与数理统计 概率论与数理统计 概率论与数理统计 概率论与数理统计 绪论 1. 随机现象与必然现象 2. 随机试验为对随机现象加以研究所进行的观察或实验,称为试验 若一个试验满足下列三个特点: （1）在相同条件下可以重复进行; （2）每次试验的可能结果不止一个,并且事先可以知道试验的所有可能结果; （3）进行一次试验之前不能确定出现的是哪个结果,则称这一试验为随机试验, 例如:抛掷一枚硬币,观察正面和反面出现的情况. 掷一颗筛子,观察出现的点数. 对某一目标发射一发炮弹,观察弹着点到目标的距离. 记录电话交换台在上午 9 时到 10 时接到的电话呼唤次数. 测试某种型号的灯泡的寿命． 3. 3. 统计规律性试验结果具有不确定性,但在大量的重复试验中其结果又具有规律性的现象, 4. 应用 第一章 随机事件及其概率 第一节 随机事件及其运算 一、随机事件 随机事件：试验的每一种可能结果为该试验的随机事件。 简称事件。记为 A，B，C 或 A1 , A2 , 基本事件：试验一次有且只有一个发生称为基本事件, 或称为样本点, 复合事件：由若干个基本事件组合而成的事件 [例] 观察两台机床生产的两件产品是否为合格品 必然事件：在每次试验中一定发生的事件称为必然事件  不可能事件：在每次试验中一定不发生的事件称为不可能事件, 记为 注： ， 不是随机事件，但常看成特殊的随机事件 二、样本空间 样本空间：所有基本事件组成的集合成为该试验的样本空间。用 表示。 样本空间包含所有的样本点, 每次试验它必然发生, 它就是一个必然事件 有限样本空间：只含有有限个基本事件的样本空间 无限样本空间：含有无限个基本事件的样本空间。 包括：可列样本空间、不可列样本空间 样本点：样本空间中的基本事件

「例写出下列随机试验的样本空间Ω： (1)同时掷出两枚骰子，记录两枚骰子点数之和： (2)10件产品中有3件次品，每次从中取1件，取出后不再放回，直到3件 次品全部取出为止，记录取出的次数： (3)生产某种产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数： (4)将一尺之棰折成三段，观察各段的长度 练习： 1.写出下列试验的样本空间： ()盒子里装有10支外形相同的笔，其中5支钢笔，5支圆珠笔，从中任取两支， 观察它们是钢笔还是圆珠笔； (2)将黑、白两只球随机地装入编号为AB,C的三个盒子中。每个盒子至多 装一球，观察装球的情况： (3)同时掷出两颗骰子，记录掷得的点数之和： (4)记录一个班一次数学考试的平均分数（百分制记分）。 三、事件间的关系与运算 1.包含关系：若事件发生必然导致事件发生B一A或AcB 2.相等关系：A一B且BA 3.事件的和(AUB):A与B至少有一个发生构成的事件 4.事件的积(A∩B,或A:A与B同时发生构成的事件 5.互不相容事件（互斥事件）：A与B不能同时发生，即AB=Φ A,A,…,An中，AA=Φ(1≠，i,j=1,2,…,川 两两互不相容事件： 记04=24，UA=∑4 6.互逆事件（对立事件)A与B中必有且仅有一个发生，即A+B=2且AB=Φ 记B=A 注：互逆一互斥，互斥白互逆 7事件的差(A-B):事件A发生而事件B不发生构成的事件 运算性质： (I)交换律：AUB=BUAAB=BA (2)结合律：(AUB)UC=AU(BUC),(ABC=ABC) (3)分配律：(AUB)C=ACU BC,(ABUC=(AUC(BUC) (4)对偶律（德摩根律）：

[例]写出下列随机试验的样本空间 ： (1)同时掷出两枚骰子，记录两枚骰子点数之和； (2)10 件产品中有 3 件次品，每次从中取 1 件，取出后不再放回，直到 3 件 次品全部取出为止，记录取出的次数； (3)生产某种产品直到得到 10 件正品，记录生产产品的总件数； (4)将一尺之棰折成三段，观察各段的长度. 练习： 三、事件间的关系与运算 1. 1. 包含关系: : 若事件发生必然导致事件发生 B  A或A  B 2. 2. 相等关系: : A  B且B  A 3. 3. 事件的和 : : (A  B) A 与 B 至少有一个发生构成的事件 4. 4. 事件的积(A B,或AB) : A与B同时发生构成的事件 5. 5. 互不相容事件（互斥事件）：A 与 B 不能同时发生，即 AB=  两两互不相容事件：               1 1 1 1 1 2 , , , , ( , , 1,2, , ) i i i i n i i n i i n i j A A A A A A A A A i j i j n     记 中， 6. 6. 互逆事件（对立事件）A 与 B 中必有且仅有一个发生，即 A+B=  且 AB=  记 B= A 注：互逆  互斥，互斥  互逆 7. 7. 事件的差(A-B) (A-B) ：事件 A 发生而事件 B 不发生构成的事件 运算性质： (1) (1) 交换律： A B  B  A, AB  BA (2) (2) 结合律：(A B) C  A (B C),(AB)C  A(BC) (3) (3) 分配律：(A B)C  AC  BC,(AB) C  (A C)(B C) (4) (4) 对偶律( ( 德摩根律)： 记录一个班一次数学考试的平均分数（百分制记分）。 同时掷出两颗骰子，记录掷得的点数之和； 装一球，观察装球的情况； 将黑、白两只球随机地装入编号为 的三个盒子中。每个盒子至多 观察它们是钢笔还是圆珠笔； 盒子里装有 支外形相同的笔，其中 支钢笔，支圆珠笔，从中任取两支， 写出下列试验的样本空间： (4) (3) (2) , , (1) 10 5 5 1. A B C

AUB=ABAB-AUB U4=∩4，∩4=U4 [例]事件D表示两个事件A与B至少有一个发生，给出D的四种不同表示式 [例设某工人连续生产了四个零件，4表示他生产的第个零件是正品， (i=1,2,3,4),试用A表示下列各事件： (1)没有一个是次品： (2)至少有一个是次品； (3)只有一个是次品： (4)至少有三个不是次品； (⑤)恰好有三个不是次品； (6)至多有一个是次品 [例下列格式说明4与之间具有何种包含关系？ (1)AB=A (2)A+B=A. 练习： 1.化简下列各式： (1(40B(BOC); (2)(AUB(U: (3(A0B(AUB(A0B 2.设ABC表示三个事件，利用从BC表示下列事件： ()发生，B屿C不发生： (2)4与跋生，C不发生： (3)AB、C都发生或都不发生： (4)ABC中至少有一个不发生： (⑤)AB、中至少有两个不发生： (6)AB中不多于一个发生

      i i i i i i i Ai A A A A B A B AB A B     , , [例] 事件D表示两个事件A与B至少有一个发生，给出D的四种不同表示式. [ ] ( 1, 2, 3, 4), (1) (2) (3) (4) ; (5) (6) . i i A i i A  例 设某工人连续生产了四个零件， 表示他生产的第 个零件是正品， 试用 表示下列各事件： 没有一个是次品； 至少有一个是次品； 只有一个是次品； 至少有三个不是次品 恰好有三个不是次品； 至多有一个是次品 [ ] (1) ; (2) . A B AB A A B A    例 下列格式说明 与 之间具有何种包含关系？ 练习： (1)( )( ); (2)( )( ); (3)( )( )( ). A B B C A B A B A B A B A B        1.化简下列各式： (1) (2) (3) (4) (5) (6) A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C 2.设 、 、 表示三个事件，利用 、 、 表示下列事件： 发生， 与 不发生； 与 发生， 不发生； 、 、 都发生或都不发生； 、 、 中至少有一个不发生； 、 、 中至少有两个不发生； 、 、 中不多于一个发生

3.设0={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}4={2,3,4}B={3,4,5}C={5,6,7} 具体写出下列各式： (1 AB,(2)UB;(3 AB;(4)ABC:(5)A(BUC). 第二节事件的概率 一、概率的统计定义： 频率：次重复试验中，事件4发生的次数为m称4()=心为频率 定义1（概率的统计定义） 在相同条件下进行大量的重复试验。当试验次数逐渐增大时，事件A 发生的频率逐渐稳定于某数值p,则称p为事件A发生的概率，记为P八) 二、概率的古典定义： 1.古典概型： 特点：试验的所有基本事件只有有限个一 一有限性 试验中每个基本事件发生的可能性相同 等可能性 2概率的古典定义：A0= 事件A包含的基本事件数m 基本事件总数n [例1掷一颗均匀骰子，试求下列事件的概率： ()A="出现偶数点"； (2)B="出现奇数点"； (3)C="出现的点数不大于4" [例2]袋中共有100只小球，其中60只红球，40只白球，试分别按下述方法抽取3只 ()有放回抽样（即每取出一只观察后放回，然后再取下一只）； (2)无放回抽样（即每取出一只观察后不放回）； (3)一次取出， 求事件A=“所取三只球都是红球”的概率 [例3]设一批产品共W件，内含次品件，从中任取件，求事件 A=“所取件产品中恰有件(m<W)次品"的概率

3. {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9,10}, {2, 3, 4}, {3, 4, 5}, {5, 6, 7} (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) ( ). U A B C AB A B AB ABC A B C       设 具体写出下列各式： 第二节 事件的概率 一、概率的统计定义： 频率： 次重复试验中，事件 发生的次数为 称 为频率 n m n A m, (A)  定义 1( 1( 概率的统计定义) ) p p A P(A) n A 发生的频率逐渐稳定于某数值 ，则称 为事件 发生的概率，记为 在相同条件下进行大量的重复试验。当试验次数 逐渐增大时，事件 二、概率的古典定义： 1. 1. 古典概型： 特点：试验的所有基本事件只有有限个———有限性 试验中每个基本事件发生的可能性相同———等可能性 2. 2. 概率的古典定义： n A m P A 基本事件总数 事件 包含的基本事件数 ( )  [ 1] (1) " "; (2) " "; (3) " 4". A B C    例 掷一颗均匀骰子，试求下列事件的概率： 出现偶数点 出现奇数点 出现的点数不大于 [ 2] 100 60 40 3 (1) (2) (3) A  . 例 袋中共有 只小球，其中 只红球， 只白球，试分别按下述方法抽取 只 有放回抽样（即每取出一只观察后放回，然后再取下一只）； 无放回抽样（即每取出一只观察后不放回）； 一次取出， 求事件 “所取三只球都是红球”的概率 [ 3] ( ) " . N M n A n m m N   例 设一批产品共 件，内含次品 件，从中任取 件，求事件 “所取 件产品中恰有 件 次品 的概率

[例4有个人，每人都有等同的机会被分配到W(n≤W)间房中的任一间去， 试求下列各事件的概率 ()A="某指定的间房中各有一人"； (2)B="恰有间房各有一人”； (3)某指定的一间房中恰有Mm≤)人 [例5考虑一元二次方程x2+Bx+c=0,其中BC分别是将一枚骰子接连掷 两次先后出现的点数，求该方程有实根的概率p和有重根的概率？ 练习： 1.把10本书随意放在书架上，求其中指定的本书放在一起的概率 2.从0,1,2，…，9等十个数字中任意选出三个不同的数字，试求下列事件的概率： A={三个数字中不含0和5： A={三个数字中不含0或5： 4={三个数字中含0，但不含5} 三几何概率 几何随机试验：1.试验的结果是无限且不可列的： 2每个结果出现的可能性是均匀的 概率的几何定义： 设E为几何型的随机试验，其基本事件空间中所有基本事件可以用一个 有界区域来描述，而其中一部分区域可以表示事件A所包含的基本事件， 则事件A发生的概率为： R0=LA,其中(2与(0分别为2与的几何度量 L(2) [例6某地铁每隔五分钟有一列车通过，在乘客对列车通过该站时间完全不 知道的情况下，求每一个乘客到站等车时间不多于2分钟的概率 [例7从区间(0,1)内任取两个数，求这两个数的积小于二的概率 四、概率的基本性质与公理化定义： 1.对任意的事件A,有0≤八)≤1. 2.P2)=1 3.若4，A,…,4是两两互斥的事件，则P∑4)=∑A4)

[ 4] ( ) . (1) " "; (2) " "; (3) ( ) . n N n N A n B n m m n     例 有 个人，每人都有等同的机会被分配到 间房中的任一间去， 试求下列各事件的概率 某指定的 间房中各有一人 恰有 间房各有一人 某指定的一间房中恰有 人 2 [ 5] 0 , . x Bx c B C p q 例 考虑一元二次方程    ，其中 分别是将一枚骰子接连掷 两次先后出现的点数，求该方程有实根的概率 和有重根的概率 练习： 1.把10本书随意放在书架上，求其中指定的5本书放在一起的概率. 1 2 3 2. 0,1, 2, , 9 { 0 5} { 0 5} { 0 5} A A A    从  等十个数字中任意选出三个不同的数字，试求下列事件的概率： 三个数字中不含 和 ； 三个数字中不含 或 ； 三个数字中含 ，但不含 三. . 几何概率 几何随机试验：1.试验的结果是无限且不可列的； 2.每个结果出现的可能性是均匀的. 概率的几何定义： 设 E 为几何型的随机试验，其基本事件空间中所有基本事件可以用一个 有界区域来描述，而其中一部分区域可以表示事件 A 所包含的基本事件， 则事件 A 发生的概率为 ： , ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) 其中L 与L A 分别为 与A的几何度量 L L A P A     [ 6] 2 . 例 某地铁每隔五分钟有一列车通过，在乘客对列车通过该站时间完全不 知道的情况下，求每一个乘客到站等车时间不多于 分钟的概率 1 [ 7] (0,1) . 4 例 从区间 内任取两个数，求这两个数的积小于 的概率 四、概率的基本性质与公理化定义： 1. 1. 对任意的事件A,有0  P(A)  1. 2. 2. P()  1 3. 3.      n i n i A A An P Ai P Ai 1 1 1 2 若 , ,, 是两两互斥的事件，则 ( ) ( )

第三节概率的基本运算法则 一.运算法则 1,加法公式若44，，4是两两互斥的事件，则24)=立八4) 2逆：对任意事件A,有P)=1-P) 3.减法性质：设AB为两事件，且AcB,则P(B-)=PB)-) 4.单调性：设AB为两事件，且AcB,则P代)≤P(B) 5广义加法：设A,B为任意两事件，则P氏UB)=P)+PB)-AB 例1设有20件产品，其中有4件不合格品，从中任取3件，求下列事件的概率： ()A="三件中至少有一件是合格品"； (2)B="三件全为不合格品" 例2.一条电路上安装有甲、乙两根保险丝，当电流强度超过一定值时，它们单独 烧断的概率分别为0.8和0.9，同时烧断的概率为0.72，求电流强度超过这一定值 时，至少有一根保险丝被烧断的概率 例3.一批产品共有100件，其中90件是合格品，10件是次品，从这批产品中任取 3件，求其中有次品的概率 例4设A④=A=O=A1B=0,A4O=ABO=。 则事件AB,C都不发生的概率为 例5.设随机事件AB及其和事件U的概率分别是0.4,0.3和0.6若表示的 对立事件，那么积事件A的概率P八4B)=一 二，条件概率 在实际问题中，常常需要计算在某个事件B己发生的条件下，另一个事件A发生的概率。 在概率论中，称此概率为事件B己发生的条件下事件A发生的条件概率，记为氏A|B)。 一般地，因为增加了“事件B已发生”的条件，所以AB)≠P(④

第三节 概率的基本运算法则 一. . 运算法则 1. 1. 加法公式: :      n i n i A A An P Ai P Ai 1 1 1 2 若 , ,, 是两两互斥的事件，则 ( ) ( ) 2. 2. 逆: : 对任意事件A，有P(A)  1 P(A) 3. 3. 减法性质: : 设A,B为两事件，且A  B，则P(B  A)  P(B)  P(A) 4. 4. 单调性: : 设A,B为两事件，且A  B，则P(A)  P(B) 5. 5. 广义加法: : 设A,B为任意两事件，则P(A B)  P(A)  P(B)  P(AB) 1. 20 4 3 : (1) " "; (2) " ". A B   例 设有 件产品，其中有 件不合格品，从中任取 件，求下列事件的概率 三件中至少有一件是合格品 三件全为不合格品 2. 0.8 0.9 0.72 . 例 一条电路上安装有甲、乙两根保险丝，当电流强度超过一定值时，它们单独 烧断的概率分别为 和 ，同时烧断的概率为 ，求电流强度超过这一定值 时，至少有一根保险丝被烧断的概率 3. 100 90 10 3 . 例 一批产品共有 件，其中 件是合格品， 件是次品，从这批产品中任取 件，求其中有次品的概率 1 1 4. ( ) ( ) ( ) , ( ) 0, ( ) ( ) , 4 8 , , ______ . P A P B P C P AB P AC P BC A B C 例 设       则事件 都不发生的概率为 5. , 0.4, 0.3 0.6. ( ) ____ . A B A B B B AB P AB  例 设随机事件 及其和事件  的概率分别是 和 若 表示 的 对立事件，那么积事件 的概率 二. . 条件概率 在实际问题中，常常需要计算在某个事件 B 已发生的条件下,，另一个事件 A发生的概率 。 在概率论中，称此概率为事件 B 已发生的条件下事件 A发生的条件概率，记为 P(A | B) 。 一般地，因为增加了“事件 B 已发生”的条件，所以 P(A | B)  P(A)

下面举例引出条件概率的定义. 例1某工厂有职工500人，男女各占一半，男女职工中技术优秀的分别为40人与10人。 现从中人选一名职工，试问： (1)该职工为技术优秀的概率是多少？ (2)已知选出的是女职工，她为技术优秀的概率是多少？ 解设A表示选出的职工为技术优秀的事件，B表示选出的是女职工的事件。 (1)0= 40+101 50010 101 (2)PA|B)= 250-25 显然，R)≠RA。这是因为限制在B已发生的条件下求A的概率的缘故。 10/ 另外，可由AA)= 10 500-P\AB) 250250/ 7500 B 推得一般情况下条件概率的定义 设实验的基本事件总数为，事件B所包含的基本事件数为mg, 事件AB所包含的基本事件数为me,则有 m AB PAB)= m4三 /n PAB mg ma/ PB) 由此可得条件概率的定义。 定义： AAIA)=A☑ (PB)>0时) 一一在B发生条件下的概率 PB) 根据条件概率定义，不难验证它符合概率定义中的三个条件，即 性质： 1.0≤PA|B)≤1 2.P(2|B=1 3若4，A,…两两互不相容，则PU4|B)=∑P(41B) 注：条件概率也可利用“缩减样本空间”的方法来计算。如求AB,可把事件B所包含的 基本事件作为样本空间2。，在这个“小”的样本空间中求事件A发生的概率。 例2甲、乙两车间各生产50件产品，其中分别含有次品3件与5件。现从这100件产品中 任取1件，在己知取到家车间产品的条件下，求取得次品的概率。 解设A为取得次品的事件，B为取得甲车间产品的事件，则由B己发生即己知抽得甲车间 产品，可得缩减的样本空间2。中由50件产品(100件产品去掉乙车间的产品之后的产品数)， 于是用“缩减样本空间”的方法，得

下面举例引出条件概率的定义. 例 1 1 某工厂有职工 500 人，男女各占一半，男女职工中技术优秀的分别为 40 人与 10 人。 现从中人选一名职工，试问： (1) 该职工为技术优秀的概率是多少? (2) 已知选出的是女职工,她为技术优秀的概率是多少? 解 设 A表示选出的职工为技术优秀的事件， B 表示选出的是女职工的事件。 (1) 10 1 500 40 10 ( )   P A  (2) 25 1 250 10 P(A | B)   显然， P(A)  P(A | B)。这是因为限制在 B已发生的条件下求 A的概率的缘故。 另外，可由 ( ) ( ) 500 250 500 10 250 10 ( | ) P B P AB P A B    推得一般情况下条件概率的定义. 设实验的基本事件总数为n ，事件 B 所包含的基本事件数为 mB， 事件 AB 所包含的基本事件数为mB，则有 ( ) ( ) ( | ) P B P AB n m n m m m P A B B AB B AB    由此可得条件概率的定义。 定义： P B 时 — —在B发生条件下的概率 P B P AB P A B ( ( ) 0 ) ( ) ( ) ( | )   根据条件概率定义，不难验证它符合概率定义中的三个条件，即 性质：             1 1 1 2 3. , , ( | ) ( | ) 2. ( | ) 1; 1.0 ( | ) 1; i i A A P Ai B P Ai B P B P A B 若 两两互不相容，则 注: 条件概率也可利用“缩减样本空间”的方法来计算。如求 P(A | B) ，可把事件 B所包含的 基本事件作为样本空间B，在这个“小”的样本空间中求事件 A发生的概率。 例 2 2 甲、乙两车间各生产 50 件产品，其中分别含有次品 3 件与 5 件。现从这 100 件产品中 任取 1 件，在已知取到家车间产品的条件下，求取得次品的概率。 解 设 A为取得次品的事件， B 为取得甲车间产品的事件，则由 B 已发生即已知抽得甲车间 产品，可得缩减的样本空间 B中由 50 件产品(100 件产品去掉乙车间的产品之后的产品数)， 于是用“缩减样本空间”的方法，得

4A1B)=3=0.06 50 若用条件概率定义计算，则为 AB 3 RAB=- 00=3 RB) 50/ =0.06 50 /100 例3某种动物出生之后活到20岁的概率为0.7，活到25岁的概率为0.56，求现年为20岁 的这种动物活到25岁的概率。 解设A表示这种动物活到20岁以上的事件，B表示这种动物活到25岁以下的事件，则由 题设 P)=0.7,B)=0.56,且BcA 得41=P--056=0.8 B))0.7 练习： 1.设随机事件B是A的子事件，已知)=1/4，P(B)=1/6, 求B|) 2.在100个圆柱形零件中有95件长度合格，有93件直径合格，有90件两个指标 都合格。从中任取一件，讨论在长度合格的前提下，直径也合格的概率。 3.设事件A与B事件互不相容，且P()>0,P(B)>0,则下列结论正确的是 (AP氏AB)=A(BPAB=O (C)PAB)=P④A(DRA>0 三、乘法公式 定理1设有事件A和B,若代)>0，或B>0,则由条件概率定义，得 R氏AB=P)P(B|), 或 P AB)=P(BP(A B). 推论： 当A4,…An)>0时， F氏4A…An)=A)A2|A)P(4|AA…P八An|AA…An) 例4一批零件共100件，其中有10件次品，采用不放回抽样依次抽取3次， 求第3次才抽到合格品的概率。 解设A(=1,2,3)为第次抽到合格品的事件，则由题意得所求概率

0.06. 50 3 P(A | B)   若用条件概率定义计算，则为 0.06. 50 3 100 50 100 3 ( ) ( ) ( | )     P B P AB P A B 例 3 3 某种动物出生之后活到 20 岁的概率为 0.7，活到 25 岁的概率为 0.56，求现年为 20 岁 的这种动物活到 25 岁的概率。 解 设 A表示这种动物活到 20 岁以上的事件， B 表示这种动物活到 25 岁以下的事件，则由 题设 P(A)  0.7,P(B)  0.56,且 B  A 得 0.8 0.7 0.56 ( ) ( ) ( ) ( ) ( | )     P A P B P B P AB P A B 练习： ( | ). 1. ( ) 1/ 4 ( ) 1/ 6, P B A B A P A P B 求 设随机事件 是 的子事件，已知  ，  都合格。从中任取一件，讨论在长度合格的前提下，直径也合格的概率。 2.在100个圆柱形零件中有95件长度合格，有93件直径合格，有90件两个指标 3. ( ) 0, ( ) 0 ( ) ( | ) ( ) ( ) ( | ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( | ) 0 A B P A P B A P A B P A B P A B C P AB P A P B D P B A       设事件 与 事件互不相容，且 ，则下列结论正确的是 三、乘法公式 定理 1 1 设有事件 A和 B，若 P(A)  0，或 P(B)  0，则由条件概率定义，得 P(AB)  P(A)P(B | A), 或 P(AB)  P(B)P(A| B).. 推论： ( ) ( ) ( | ) ( | ) ( | ) ( ) 0 1 2 1 2 1 3 1 2 1 2 1 1 2 1     n n n n P A A A P A P A A P A A A P A A A A P A A A    当  时， 例 4 4 一批零件共 100 件，其中有 10 件次品，采用不放回抽样依次抽取 3 次， 求第 3 次才抽到合格品的概率。 解 设 Ai(i  1,2,3) 为第i 次抽到合格品的事件，则由题意得所求概率

P=PAAA)=PA)RAA)P(A44) =10.990 =0.0083 1009998 若视抽取3次为一事件，则本题可用古典概型计算所求概率，得 P=B:90-109:90=0.083 100.99.98 本题若改为“求第3次抽到合格品的概率”，则由1.2.4例4可得此概率为 P=90=0.9 100 例5甲、乙、丙3人参加面试抽签，每人的试题通过不放回抽签的方式确定。假设被抽的 10个试题签中有4个难题签，按甲先、乙次、丙最后的次序抽签。试求甲抽到难题签、甲和 乙都抽到难题签、甲没抽到难题签而乙抽到难题签及甲、乙、丙都抽到难题签的概率。 解设ABC分别表示甲、乙、丙各抽到难题签的事件，则有 42 P(AB)=P(A)P(BA)= 4×3=2 -× 10915 A调=Aa列=0-高号言 AABO)=A④AB10ACAB=10×)×8=30 练习： 1设一批产品的次品率为5%，正品中的一级品率为80%，从中任取一件， 求它是一级品率的概率 2.在100件产品中有5件是不合格的，无放回地抽取两件，问第一次取到正品 而第二次取到次品的概率是多少？ 3.(抓阄问题)五个人抓一个有物之阄，求第二个人抓到的概率 第四节全概率公式与贝叶斯公式 一.全概率公式 在概率中，我们经常利用己知的简单事件的概率，推算出未知的复杂事件的概率。为此， 常需把一个复杂事件分解为若干各互不相容的简单事件的和，再由简单事件的概率求得最后 结果。 在1.3.2例5中，若把甲、乙、丙抽到难题签的事件作为上述的复杂事件，则可用分解的方法

( ) ( ) ( | ) ( | ) P  P A1 A2 A3  P A1 P A2 A1 P A3 A1 A2 0.0083. 98 90 99 9 100 10     若视抽取 3 次为一事件，则本题可用古典概型计算所求概率，得 0.0083. 100 99 98 90 10 9 90 3 100 2 10         P P P 本题若改为“求第 3 次抽到合格品的概率”，则由 1.2.4 例 4 可得此概率为 0.9. 100 90 P   例 5 5 甲、乙、丙 3 人参加面试抽签，每人的试题通过不放回抽签的方式确定。假设被抽的 10 个试题签中有 4 个难题签，按甲先、乙次、丙最后的次序抽签。试求甲抽到难题签、甲和 乙都抽到难题签、甲没抽到难题签而乙抽到难题签及甲、乙、丙都抽到难题签的概率。 解 设 A,B,C分别表示甲、乙、丙各抽到难题签的事件，则有 5 2 10 4 P(A)   , 15 2 9 3 10 4 P ( AB )  P ( A) P ( B | A)    , 15 4 9 3 ) 10 4 P(AB)  P(A)P(B | A)  (1   P(ABC)  P(A)P(B | A)P(C | AB) 30. 1 8 2 9 3 10 4     练习： 而第二次取到次品的概率是多少？ 2.在100件产品中有5件是不合格的，无放回地抽取两件，问第一次取到正品 3.(抓阄问题) 五个人抓一个有物之阄，求第二个人抓到的概率. 第四节 全概率公式与贝叶斯公式 一. . 全概率公式 在概率中，我们经常利用已知的简单事件的概率，推算出未知的复杂事件的概率。为此， 常需把一个复杂事件分解为若干各互不相容的简单事件的和，再由简单事件的概率求得最后 结果。 在 1.3.2 例 5 中，若把甲、乙、丙抽到难题签的事件作为上述的复杂事件，则可用分解的方法 1. 5% 80% . 设一批产品的次品率为 ，正品中的一级品率为 ，从中任取一件， 求它是一级品率的概率

计算如下： 4)=10 4 PB)=PAB)+PAB) -RARBIA+RARBIA =4x3+6x44 10910910 PC)=PABC)+PABC)+PABC)+PABC) =+6x4x3+4x6x36544 一×一×一十 3010981098109810 为了将此类问题推广到一般情况，下面介绍样本空间的划分的定义。 1.定义： 设Q为试验的样本空间，B,B2,…,Bn为试验的一族事件，若有 (1)B,B=φ(1≠，1j=1,2,…,m (2UB,=2 则称B,B2,…,Bn为2的一个分划或完备事件组 2.定理： 设事件B,B2,…,Bn是样本空间2的一个分划，B)>0 (1=1,2,,),A是试验的任一事件，则有 A0-288 证 因为由划分的定义，有 A=A0=A(UB)=UAB, i=1 -1 再由PB,)>01=1,2,…m)与AB与AB1≠)互不相容，所以便得 A0=A店B)=∑AA)=∑PB)AA1) =PB)P(AB)+P(B2)P(AB2)+...+PB)P(AB). 这一公式称为全概率公式. 全概率公式表明，在很多实际问题中若事件A发生的概率的计算比较困难，则可利用全 概率公式转为寻求划分B,B2…B,及计算P(B)和P八AB)的问题。 [例1]一批产品共有10个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后 不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为

计算如下： . 10 4 P(A )  P(B)  P(AB)  P(AB)  P(A)P(B | A)  P(A)P(B | A) . 10 4 9 4 10 6 9 3 10 4      P(C)  P(ABC)  P(ABC)  P(ABC)  P(ABC) . 10 4 8 4 9 5 10 6 8 3 9 6 10 4 8 3 9 4 10 6 30 1            为了将此类问题推广到一般情况，下面介绍样本空间的划分的定义。 1. 1. 定义: : , , , . (2) (1) ( , , 1,2, , ) , , , 1 2 1 1 2 则称 为 的一个分划或完备事件组 设 为试验的样本空间， 为试验的一族事件，若有         n n i i i j n B B B B B B i j i j n B B B      2. 2. 定理: : ( ) ( ) ( | ). ( 1,2, , ), , , , ( ) 0 1 1 2 i i n i n i P A P B P A B i n A B B B P B       是试验的任一事件，则有 设事件 是样本空间 的一个分划，   证 因为由划分的定义，有 . i n i i n i A A A U B U AB 1 1 ( )       再由 P(Bi)  0(i  1,2,n) 与 ABi与 ABj(i  j) 互不相容,所以便得 ( ) ( ) ( ) 1 1 i n i i n i P A P U B P AB     ( ) ( | ) 1 i i n iP B P A B   ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ).  P B1 P A B1  P B2 P A B2  P Bn P A Bn 这一公式称为全概率公式. 全概率公式表明，在很多实际问题中若事件 A发生的概率的计算比较困难，则可利用全 概率公式转为寻求划分 B1 , B 2 ,... B n 及计算 P(Bi) 和 P(A| Bi) 的问题。 [ 1] 10 2 ______ . 例 一批产品共有 个正品和 个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后 不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为