上海交通大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（电子讲义）第四章 随机变量的数字特征

第四章随机变量的数字特征 由前面的讨论知道，分布函数完整地描述了随机变量的统计规律，然而在一些实际 问题中要确定一个随机变量的分布函数却是非常困难的，而且有一些实际问题，并不要 求全面考察随机变量的统计规律，而只需知道它的某些特征，因而并不需要求出它的分 布函数，例如考察日光灯管的质量，常常关心的是日光灯管的平均寿命，即其平均寿命 是一个重要指标这就是说，随机变量的平均值，常常是一个重要的数量特征。在考察日 光灯管的质量时还不能单就平均寿命来决定其质量，还必须要考察日光灯管的寿命与平 均寿命的偏离程度，只有平均寿命较长同时偏离程度又较小的日光灯管才是质量较好 的。随机变量与其平均值偏离的程度也是一个重要的数量特征。这些与随机变量有关的 数量，虽不能完整地描述它的统计规律，但已反映出随机变量在某些方面的重要特征， 它们在理论和实践上都具有重要的意义。本章将介绍常用的随机变量的数字特征：数学 期望、方差、相关系数和矩。 4.1 随机变量的数学期望 4.1.1离散型随机变量的数学期望 例1甲、乙两射手进行射击训练，己知在100次射击中命中环数与次数记录如下： 甲： 环数 8 9 10 次数 30 10 60 环数 8 9 10 次数 20 5030 试问如何评定甲、乙射手的技术优劣？ 解从上面的成绩表很难立即看出结果，我们可以从其平均射中的环数来评定其技 术优劣。 甲平均射中的环数为 (8×30+9×10+10×60)÷100=8×0.3+9×0.1+10×0.6=9.3(环)， 乙平均射中的环数为 (8×20+9×50+10×30)÷100=8×0.2+9×0.5+10×0.3=9.1(环)， 故从平均射中的环数看，甲的技术优于乙。 本例中30=0.3,600.6,50=0.5等是事件(r=月在100次试验中发生的频率 100 100 100 (厂为命中环数)，当射击次数相当大时，这个频率接近于事件{厂=？一次试验中发生 10 的概率P,上述平均环数的计算可表示为∑仰，称之为随机变量r的数学期望或均 值.下面给出定义

第四章 第四章 随机变量的数字特征 随机变量的数字特征 随机变量的数字特征 随机变量的数字特征 由前面的讨论知道，分布函数完整地描述了随机变量的统计规律，然而在一些实际 问题中要确定一个随机变量的分布函数却是非常困难的，而且有一些实际问题，并不要 求全面考察随机变量的统计规律，而只需知道它的某些特征，因而并不需要求出它的分 布函数，例如考察日光灯管的质量，常常关心的是日光灯管的平均寿命，即其平均寿命 是一个重要指标.这就是说，随机变量的平均值，常常是一个重要的数量特征。在考察日 光灯管的质量时还不能单就平均寿命来决定其质量，还必须要考察日光灯管的寿命与平 均寿命的偏离程度，只有平均寿命较长同时偏离程度又较小的日光灯管才是质量较好 的。随机变量与其平均值偏离的程度也是一个重要的数量特征。这些与随机变量有关的 数量，虽不能完整地描述它的统计规律，但已反映出随机变量在某些方面的重要特征， 它们在理论和实践上都具有重要的意义。本章将介绍常用的随机变量的数字特征：数学 期望、方差、相关系数和矩。 4.1 随机变量的数学期望 4 4 . . 1 1 . . 1 1 离散型随机变量的数学期望 例 1 1 甲、乙两射手进行射击训练，已知在 100 次射击中命中环数与次数记录如下： 甲： 乙： 试问如何评定甲、乙射手的技术优劣？ 解 从上面的成绩表很难立即看出结果，我们可以从其平均射中的环数来评定其技 术优劣。 甲平均射中的环数为 (8 30  910  10 60) 100  8 0.3 9 0.1 10 0.6  9.3（环）, 乙平均射中的环数为 (820 9501030) 100 8 0.2 9 0.5100.3  9.1（环）， 故从平均射中的环数看，甲的技术优于乙。 本例中 0.5 等是事件 在 100 次试验中发生的频率 100 50 0.6, 100 60 0.3, 100 30   {X  k} （ X 为命中环数），当射击次数相当大时，这个频率接近于事件{X  k}一次试验中发生 的概率 pk ，上述平均环数的计算可表示为  ，称之为随机变量 的数学期望或均  10 k 8 k kp X 值.下面给出定义。 环数 8 9 10 次数 30 10 60 环数 8 9 10 次数 20 50 30

定义4.1设离散型随机变量厂的分布律为 r=x)=Pk,k=1,2,…, 若级数∑x::绝对收敛，则称其和为随机变量了的数学期望或平均值，简称期望或均 k=1 值，记为(，即 E=∑xP 随机变量X的数学期望（完全是由X的分布律确定的，而不应受X的可能取值 的排列次序的影响，因此要求级数∑P:绝对收敛。若级数∑P:不绝对收敛，则称 随机变量X的数学期望不存在。 若把x,五，…，，…看成x轴上质点的坐标，而B,P2,…,P,…看成相应质点的质 量， 质量总和xP,=1,则41)式就表示质点系的重心坐标。 =1 例2设随机变量厂的分布列为 -1 3 2 D 3 求E)。 解由(4-1)式有 11 0=-1x号+3x 33. 若将此例视为甲、乙两人“赌博”，甲赢的概率为。，输的概率为 2 但甲每赢一 次可从乙处得3元，而每输一次，要给乙1元，则)=亏是指甲平均每次可赢；元。 每个“赌徒”在参加赌博时，心中首先要盘算这个数字。这正是称)为“期望“的 原因。 例3按规定，某公交车每天8点至9点和9点至10点都恰有一辆公交车到站，各 车到站的时刻是随机的，且各车到站的时间是相互独立的，其规律为 8:10 8:30 8:50 到站时 9:10 9:30 9:50 刻 1 概率 2-5 2-5

定义 定义 4.1 4.1 设离散型随机变量 X 的分布律为 P(X  x )  p , k  1,2,, k k 若级数 绝对收敛，则称其和为随机变量 的数学期望或平均值，简称期望或均  k1 k p k x X 值,记为 E(X )，即 E(X )   .  k1 k pk x 随机变量 X 的数学期望 E(X) 完全是由 X 的分布律确定的，而不应受 X 的可能取值 的排列次序的影响，因此要求级数 绝对收敛。若级数 不绝对收敛，则称  k1 k pk x   k1 k pk x 随机变量 X 的数学期望不存在。 若把 x 1 , x 2 ,, x k ,看成 x 轴上质点的坐标，而 p1 , p2 ,, pk ,看成相应质点的质 量，质量总和 =1，则(4-1)式就表示质点系的重心坐标。  k1 k pk x 例 2 2 设随机变量 X 的分布列为 求 E(X) 。 解 由(4-1)式有 3. 1 3 1 3 3 2 E(X)  1    若将此例视为甲、乙两人“赌博”，甲赢的概率为 ，输的概率为 ，但甲每赢一 3 1 3 2 次可从乙处得 3 元，而每输一次，要给乙 1 元，则 是指甲平均每次可赢 元 。 3 1 E(X)  3 1 每个“赌徒”在参加赌博时，心中首先要盘算这个数字。这正是称 E(X)为“期望“的 原因。 例 3 按规定，某公交车每天 8 点至 9 点和 9 点至 10 点都恰有一辆公交车到站，各 车到站的时刻是随机的，且各车到站的时间是相互独立的，其规律为 X 1 3 p 3 2 3 1 到 站 时 刻 9 :10 8: 10 9: 30 8 : 30 9 : 50 8: 50 概率 5 1 5 2 5 2

其乘客820到站，求他候车时间的数学期望。 解设乘客的候车时间为（单位为分），若该乘客820到车站，而8点到9点的一 趟车已于8：10开走，第二趟车910开，则他候车的时间为50分钟，对应的概率为事件 “第一趟车8：10开走，且第二趟910开”发生的概率，即 八X=50)=5×525 111 该乘客其余候车时间对应的概率可类似得到，于是候车时间X的分布律为 10 30 50 70 90 D 2-5 2-5 11 12 12 方 行 从而该乘客候车时间的数学期望为 A1=10×2+30x2+50 1 +70x2 +902 =30.8(分) 5 5 25 5 例4 从一个装有。m个白球和n个红球的袋中取球，直到出现白球为止。若每 次取出的球仍放回袋中，试求取出红球数的数学期望 解设取出的红球数为K,则r的分布律为 RY=A- ))02 令 m+9=、 D= m+n 则 X==pg,k=0,1,2,…, 于是 =2g=92 =w2r小= (1-p)2gm 4.1.2连续型随机变量的数学期望 若X为连续型随机变量，其密度函数为f八x),则X落入(，x4+d)内的概率可 近似地表为f(x),它与离散型随机变量的p,类似，下面给出定义。 定义42设连续型随机变量r的密度函数为)。若积分广八x)绝对收敛， 称该积分值为随机变量X的数学期望或平均值，简称期望或均值，记为()，即

其乘客 8:20 到站，求他候车时间的数学期望。 解 设乘客的候车时间为 X (单位为分)，若该乘客 8:20 到车站，而 8 点到 9 点的一 趟车已于 8:10 开走，第二趟车 9:10 开，则他候车的时间为 50 分钟，对应的概率为事件 “第一趟车 8:10 开走，且第二趟 9:10 开”发生的概率，即 25. 1 5 1 5 1 P(X  50)    该乘客其余候车时间对应的概率可类似得到，于是候车时间 X 的分布律为 从而该乘客候车时间的数学期望为 30.8（分）. 25 2 90 25 2 70 25 1 50 5 2 30 5 2 E(X)  10          例 4 4 从一个装有。m 个白球和 n 个红球的袋中取球，直到出现白球为止。若每 次取出的球仍放回袋中，试求取出红球数的数学期望. 解 设取出的红球数为 X ，则 X 的分布律为 ( ) ,  0,1,2,.                k m n m m n n P X k k 令 , , m n m q m n n p     则 P(X  k)  p q, k  0,1,2,, k 于是          1 1 0 ( ) k k k k E X kp q pq kp                     p p pq p pq k k 1 ' 1 . (1 ) 2 m n q p p pq     4. 4. 1 1 . . 2 2 连续型随机变量的数学期望 若 X 为连续型随机变量，其密度函数为 f (x)，则 X 落入(x k , x k  dx) 内的概率可 近似地表为 f (x k )dx ，它与离散型随机变量的 pk 类似，下面给出定义。 定义 4.2 4.2 设连续型随机变量 X 的密度函数为 f (x) 。若积分  绝对收敛，   xf( x)dx 称该积分值为随机变量 X 的数学期望或平均值，简称期望或均值，记为 E(X ) ，即 X 10 30 50 70 90 p 5 2 5 2 5 1 5 1  5 2 5 1  5 2 5 1 

(=讥)在 若积分八x)k不绝对收敛，则称随机变量X的数学期望不存在。 设在x轴上连续分布着质量，其线密度为八x),则由 LMa-EnDa 可知x)的物理意义是质量密度为f(x)的一维连续质点系的质量中心的坐标。 例5设随机变量r服从柯西(Cauchy)分布，其密度函数为 1 f(x) π(1+)2,00. 0,x<0 若将这5个电子装置串联组成整机，求整机寿命N的数学期望； (1)若将这5个电子装置串联组成整机，求整机寿命M的数学期望。 (2)若将这5个电子装置并联组成整机，求整机寿命M的数学期望。 解由随机变量函数的分布可知 (1)W=min(X,X2,X3,X4,X)的分布函数为

( ) ( ) .    E X  xf x dx 若积分  ( ) .不绝对收敛，则称随机变量 X 的数学期望不存在。   xf x dx 设在 x 轴上连续分布着质量，其线密度为 f ( x) ，则由 , ( ) ( ) ( ) .           f x dx xf x dx xf x dx 可知 E( x) 的物理意义是质量密度为 f (x) 的一维连续质点系的质量中心的坐标。 例 5 5 设随机变量 X 服从柯西(Cauchy)分布,其密度函数为       x x f x , (1 ) 1 ( ) 2  试证 X 的数学期望不存在。 证 因为         dx x x x f x dx (1 ) | | | | ( ) 2      0 2 (1 ) 2 dx x x  0 ln(1 ) 1 2     x   , 即  不绝对收敛，所以 不存在。   xf (x)dx E( x) 例 6 6 有 5 个相互独立工作的电子装置，其寿命 X k ( k  1,2,3,4,5) 服从同一指 数分布，分布函数为          0, 0 1 , 0, 0. ( ) x e x F x x   若将这 5 个电子装置串联组成整机，求整机寿命 N 的数学期望； (1) 若将这 5 个电子装置串联组成整机，求整机寿命 M 的数学期望。 (2) 若将这 5 个电子装置并联组成整机，求整机寿命 M 的数学期望。 解 由随机变量函数的分布可知 (1) N  min(X1 , X 2 , X3 , X4 , X5)的分布函数为

1-e5,r≥0 F=1-1-F驴= 0,x<0 其密度函数为 5e5r,x≥0 0,x<0 故 5(w)=:(h=5eu=写克 (2)M=min(X,X2,X3,4,X)的分布函数 F=[Fj=JI-e5,r≥0 0,x<0 其密度函数为 52(1-er)4,x≥0 f={ 0,x<0 故 E(M)=/w()=jx51-e)e“d=3 60元 由 EM_137/602≈114 E(N)1/5 可知，同样5个电子装置，并联组成整机的平均寿命是串联组成整机的平均寿命的11.4 倍。 4.1.3随机变量函数的数学期望 在实际问题中常常需要求出随机变量的函数的数学期望，例如'=g(门，要求 (门。我们可以不必求出P的密度函数，而直接由厂的密度函数来求E(门。 定理41设随机变量”是随机变量P的函数P=g(门(g为连续函数)。 (1)设为离散型变量，其分布律为P(X=x)=P,k=1,2… 若级数∑gx)P绝对收敛，则有 E(月=Ag(]=∑g(x)P4

           0, 0 1 , 0 ( ) 1 [1 ( )] 5 5 x e x F x F x x N  其密度函数为        0, 0 5 , 0 ( ) 5 x e x f x x N   故    5 1 ( ) ( ) 5 0 5              E N xf x dx x e dx x N (2) M  min( X1 , X 2 , X 3 , X 4 , X 5 ) 的分布函数          0, 0 (1 ) , 0 ( ) [ ( )] 5 5 x e x F x F x x M  其密度函数为         0, 0 5 (1 ) , 0 ( ) 4 x e x f x x M   故                0 4 60 137 ( ) ( ) 5 (1 )     E M xf x dx x e e dx x x M 由 11.4 1 5 137 60 ( ) ( )     E N E M 可知，同样 5 个电子装置，并联组成整机的平均寿命是串联组成整机的平均寿命的 11.4 倍。 4.1.3 4.1.3 随机变量函数的数学期望 在实际问题中常常需要求出随机变量的函数的数学期望，例如 Y  g(X ) ，要求 E(Y ) 。我们可以不必求出Y 的密度函数，而直接由 X 的密度函数来求 E(Y ) 。 定理 4.1 4.1 设随机变量Y 是随机变量 X 的函数Y  g(X ) ( g 为连续函数)。 (1) 设 X 为离散型变量，其分布律为 P(X  x )  p ,k 1,2,... k k 若级数 绝对收敛，则有  1 ( ) k k pk g x ( ) [ ( )] ( ) . 1      k k k E Y E g X g x p

(2)设r为连续型变量，其密度函数为f八x)。若积分g(r)f八x)r绝对收敛，则 有 E(P)=ELg(】=∫g(x)f(x)k 这个定理说明，在求'=g()的数学期望时，不必知道Y的分布而只需知道X 的分布即可。定理的证明超出了本书的范围，此处从略。 这个定理还可以推广到两个或多个随机变量的函数的情况。 设Z是随机变量X,尸的函数Z=gX,)(8为连续函数)，则Z也是一个随机变 量 若(X,门为离散型随机变量，且其联合分布律为 PX=x,'=y)=P,,j=1,2, 则有 E(Z)=ag(X.=g(x.)p 若(X,门为连续型随机变量，且其联合密度函数为八x,),则有 E(Z)=(r=(.drdv. 这里要求等式右端的级数或积分都是绝对收敛的。 例7 设随机变量X服从参数为n,p的二项分布，P=e2r,求E(P)。 解因为X~n,P),分布律为 PX=)=Cpq★，k=0,l,2,,n, 所以 an-)-cg-cipi-(p+or 其中p+q=1 例8设二维随机变量(X,门的密度函数为 x+5,0≤x≤1,0≤y≤1 x=0， 其他 求) 解E(X,月=w/x,川h=6y(x+)h=3

(2) 设 X 为连续型变量,其密度函数为 f (x) 。若积分  绝对收敛，则   g( x) f ( x)dx 有 E (Y )  E[ g ( X )]      g ( x ) f ( x ) dx 这个定理说明，在求 Y  g(X ) 的数学期望时，不必知道Y 的分布而只需知道 X 的分布即可。定理的证明超出了本书的范围，此处从略。 这个定理还可以推广到两个或多个随机变量的函数的情况。 设 Z 是随机变量 X ,Y 的函数 Z  g(X ,Y ) ( g 为连续函数)，则 Z 也是一个随机变 量. 若(X ,Y ) 为离散型随机变量，且其联合分布律为 P(X  x ,Y  y )  p ,i, j 1,2..., i i ij 则有 ( ) [ ( , )] ( , ) . 1 1         i j i i p ij E Z E g X Y g x y 若(X ,Y ) 为连续型随机变量，且其联合密度函数为 f ( x, y)，则有 ( ) [ ( , )] ( , ) ( , ) .       E Z  E g X Y  g x y f x y dxdy 这里要求等式右端的级数或积分都是绝对收敛的。 例 7 7 设随机变量 X 服从参数为n, p 的二项分布,Y  e 2 X ,求 E(Y )。 解 因为 X ~ B(n, p) ，分布律为 P(X k ) C p q , k 0,1,2,...,n, k k n k   n   所以 k k n k n k n k X E Y E e e C p q      2 0 2 ( ) ( ) k k n k n n k C p e q     ( ) 2 0 n ( pe q) 2   其中 p  q 1 例 8 8 设二维随机变量(X ,Y ) 的密度函数为          0, 其他 , 0 1, 0 1 ( , ) x y x y f x y 求 E(XY). 解       E( X ,Y )  xyf ( x , y )dxdy      1 0 1 0 3 1 xy ( x y ) dxdy

例9设二维随机变量（广，门的密度函数为 x= 1+32),0<x<2,0<y<1 0, 其他 求AE)(和E( 解 =r…41+3y)dd=46r6+3r)=手 -…1+3)-xa1+3r)- n)=…+3)=号6r1+3r)=音 女)=生1+32)=41+3r)=§ 例10设国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量是随机变量X(单位：吨)，它 服从[2000,4000]上的均匀分布。若售出这种商品1吨，可赚3万元，但销售不出去， 则每吨需付仓库保管费1万元，问该商品应出口多少吨才可的得到最大利益？ 解设每年出口该种商品y吨(2000≤y≤4000)，则收益 y=g(= 3y, X≥y「3y,r≥y 3X-(y-),r<y4r-5,r<y 于是由 3八，x≥y g(r)= 4x-八，x<y f八x)= ,2000≤x≤4000 2000 0 得 5U）=g·00本=004-本+，3达 =2000-2+7000y-4×106) 当y=3500时，E(月取到最大值，故出口此种商品3500吨长可得到最大收益

例 9 9 设二维随机变量(X ,Y ) 的密度函数为            0, 其他 (1 3 ), 0 2, 0 1 4 1 ( , ) 2 x y x y f x y 求 E( X)、E(Y )、E(XY) 和/ ( ). X Y E 解      1 0 2 0 2 (1 3 ) 4 1 E ( X ) x x y dxdy . 3 4 (1 3 ) 4 1 2 0 2 1 0 2    x dx  y dy       1 0 2 0 2 (1 3 ) 4 1 E (Y ) y x y dxdy . 8 5 (1 3 ) 4 1 2 0 2 1  0  x dx y  y dy       1 0 2 0 2 (1 3 ) 4 1 E ( XY ) xy x y dxdy . 6 5 (1 3 ) 4 1 2 0 2 1 0 2    x dx y  y dy       1 0 2 0 2 (1 3 ) 4 1 ( ) x y dxdy x y X Y E . 8 5 (1 3 ) 4 1 2 0 2 1  0  dx y  y dy  例 10 10 设国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量是随机变量 X (单位:吨)，它 服从[2000，4000]上的均匀分布。若售出这种商品 1 吨，可赚 3 万元，但销售不出去， 则每吨需付仓库保管费 1 万元，问该商品应出口多少吨才可的得到最大利益? 解 设每年出口该种商品 y 吨(2000  y  4000) ，则收益                 X y X y y X y X y X X y y X y Y g X 4 , 3 , 3 ( ), 3 , ( ) 于是由        x y x y y x y g x 4 , 3 , ( ) , 0 ,2000 4000 2000 1 ( )         x f x 得    4000 2000 2000 1 E (Y ) g ( x ) dx      y y x y dx ydx 2000 4000 [ ( 4 ) 3 2000 1 ( 7000 4 10 ). 2000 1 2 6   y  y   当 y = 3500 时， E(Y ) 取到最大值，故出口此种商品 3500 吨长可得到最大收益

4.1.4数学期望的性质 现在给出数学期望的几个常用性质。在下面的讨论中，所遇到的随机变量的数学期 望均假设存在，且只对连续型随机变量给予证明，至于对离散型随机变量的证明只需 将积分换为类似的求和即可。 1.设C为常数，则有（○=C 证可将C看成离散型随机变量，分布律为P代厂==1.故由定义即得 E○=C 2.设C为常数，r为随机变量，则有C月=C) 证设X的密度函数为f(x),则有 E(Cr)=cvf(x)dr=c(x)d =CE(Y 3.设X,Y为任意两个随机变量，则有X+门=E(门+E() 证设二维随机变量(X,门的密度函数为(x,),边缘密度函数分别为 r(x八f(y),则 E(X+=[(x+y)f (x,y)drdy =」」f(x,y)d+」rf(x,)dd =∫frx)k+∫fy) =E()+E() 这一性质可以推广到任意有限多个随机变量之和的情形，即 X+X,+…+Xn)=EX)+)+.+E(Xn) 一般地，随机变量线性组合的数学期望，等于随机变量数学期望的线性组合，即 E(aY+ar,+...+ar)=aE(Y )+aE(Y)+...+a (Y) 其中a1,a2,…an为常数。 4.设X,Y为相互独立的随机变量，则有)=门E(月 证因为厂与'相互独立，其联合密度函数与边缘密度函数满足

4.1.4 4.1.4 数学期望的性质 现在给出数学期望的几个常用性质。在下面的讨论中，所遇到的随机变量的数学期 望均假设存在，且只对连续型随机变量给予证明，至于对离散型随机变量的证明只需 将积分换为类似的求和即可。 1. 1. 设C为常数，则有 E(C)  C. 证 可将 C 看成 离散 型随 机变 量， 分布 律为 P(X  C) 1. 故由 定义 即得 E(C)  C. 2. 2. 设C为常数， X 为随机变量，则有 E(CX)  CE(X). 证 设 X 的密度函数为 f (x) ，则有        E (CX )  Cxf ( x )dx  C xf ( x )dx  CE(X ) 3. 3. 设 X,Y 为任意两个随机变量，则有 E( X Y )  E(X )  E(Y ). 证 设二维 随机 变 量 (X ,Y ) 的密度 函数 为 f (x, y) ，边缘 密度 函 数分 别为 f X (x)、f（Y y），,则       E（X  Y） （x  y）f（x，y）dxdy        xf（x，y）dxdy         yf（x，y）dxdy     xf x dx （X ）      yf y dx （Y ）  E（X） E（Y）. 这一性质可以推广到任意有限多个随机变量之和的情形,即 ( ... ) ( ) ( ) ... ( ). E X1  X 2   X n  E X1  E X 2   E X n 一般地，随机变量线性组合的数学期望，等于随机变量数学期望的线性组合，即 ( ... ) = 1 1 2 2 nX n E a X  a X   a ( ) ( ) ... ( ). 1 1 2 2 nE X n a E X  a E X   a 其中a 1 ,a 2 ,...a n为常数。 4. 4. 设 X ,Y 为相互独立的随机变量，则有 E( XY)  E(X )E(Y ). 证 因 为 X 与 Y 相 互 独 立 ， 其 联 合 密 度 函 数 与 边 缘 密 度 函 数 满 足

(x,)=r()(),所以 E(=∫」xf(x,=∫」frx)()d (x)](x)])). 这一性质可以推广到任意有限多个相互独立的随机变量之积的情形，即若 ,2,,X,为相互独立的随机变量，则有 E(YY...Y)=E(Y)E(Y2)..E(Y). 例11一民航机场的送客班车载有20位旅客，自机场开出，沿途旅客有10个车站可以 下车。如到达一个车站没有旅客下车班车就不停。设每位旅客在各个车站下车是等可能 的。且各旅客是否下车相互独立，以X表示停车的次数，求（门 解设随机变量 〔0，第个车站无人下车(1,210) X,=山，第个车站有人下车 则有X=X+X2+…+Xo 由题意，任一旅客在第个车站不下车的概率为 0士=0表示第/站没有旅客下 0 20 车，故20位旅客都不在第1站下车的概率为 ,在第1站有人下车的概率为 0 20 -10 于是得X的分布律如下： X 0 1 P (9/10)20 1-(9/10)20 从而 E(=EX+2+.+Xo)=E(X)+E(2)+.+E(ro) -o-(8 这表明班车平均停车约9次

f (x, y)  f X (x) f Y ( y) ，所以       E（XY） xyf（x，y）dxdy        xyf x f y dxdy X Y （ ） ( )     [ xf x dx ]  （X ）     [ yf x dx ] （Y ）  E(X )E(Y ). 这一 性 质 可 以 推广到 任 意 有 限 多 个 相 互 独 立 的 随 机 变量 之 积 的 情 形 ， 即 若 X1 , X 2 ,...,X n为相互独立的随机变量，则有 ( ... ) ( ) ( )... ( ). E X1X 2 X n E X 1 E X 2 E X n  例 11 11 一民航机场的送客班车载有 20 位旅客，自机场开出，沿途旅客有 10 个车站可以 下车。如到达一个车站没有旅客下车班车就不停。设每位旅客在各个车站下车是等可能 的。且各旅客是否下车相互独立，以 表示停车的次数，求 。 X E(X ) 解 设随机变量 (i=1,2,...10)     第 个车站有人下车 第 个车站无人下车 1, i 0, i X i 则有 1 2 10 X  X  X  ...  X 由题意，任一旅客在第 i 个车站不下车的概率为 , 0 表示第 i 站没有旅客下 10 9 X i  车，故 20 位旅客都不在第 i 站下车的概率为 ，在第 i 站有人下车的概率为 20 10 9       ，于是得 的分布律如下： 20 10 9 1        X i 因此                          20 20 10 9 1 1 10 9 E(Xi) 0 , 1,2,...10, 10 9 1 20          i 从而 ( ) ( ... ) E X E X 1 X 2 X 10     ( ) ( ) ... ( ). E X 1 E X 2 E X 10     8.8 10 9 10 1 20                   这表明班车平均停车约 9 次。 Xi 0 1 P (9/10) 20 1-(9/10) 20

类似本例将厂分解为若干个随机变量的和，然后利用数学期望的性质再求厂的数 学期望的方法，具有一定的普遍意义，使用得当，可使复杂问题简单化。 例12设二维随机变量(X,门的密度函数为八x,) r+s1 0 试验证E()=E(门，但r和P是不独立的. 解因为风=…=h层w=0, x2+2≤1 A=j∬x-dhd=0, π =j∬y…dd=0, 2+2≤1 所以E)=E(n门. 厂的边缘密度函数 m-x-层}-名-子1srL π 即f()= 2-F,-1≤x≤1 π 0 同理可得P的边缘密度函数，(y)= 2-,-1≤1 0 因为，所以八x,)≠千(x)(U),r和P是不独立的。 本例说明由()=()门.是不能得出X和Y是相互独立的结论的

类似本例将 X 分解为若干个随机变量的和，然后利用数学期望的性质再求 X 的数 学期望的方法，具有一定的普遍意义，使用得当，可使复杂问题简单化。 例 1 1 2 2 设二维随机变量(X ,Y ) 的密度函数为         0, , 1 1 ( , ) 2 2 x y f x y  试验证 E(XY)  E(X)E(Y ),但 X 和Y 是不独立的. 解 因为 E XY xy dxdy x y      1 2 2 1 ( )          2 2 1 1 1 1 0, 1 x x xdx ydy  0, 1 ( ) 1 2 2       E X x dxdy x y  0, 1 ( ) 1 2 2       E Y y dxdy x y  所以 E(XY)  E(X )E(Y ). X 的边缘密度函数          2 2 1 1 1 ( ) ( , ) x x f X x f x y dy dy  1 , 1 1, 2 2   x   x   即           0 1 , 1 1 2 ( ) 2 x x f x X  同理可得Y 的边缘密度函数           0 1 , 1 1 2 ( ) 2 y y f Y y  因为，所以 f (x, y)  f X (x) f Y (y), X 和Y 是不独立的。 本例说明由 E(XY)  E(X )E(Y ).是不能得出 X 和Y 是相互独立的结论的