答案：本科概率论与数理统计作业卷（六） 一、填空题 1.解因为X服从参数为的指数分布，X的密度函数为 e-,x≥0 fx(x)= 0,x<0 故E(X+e2")=x+e2)fx)=∫(x+e2ed=4所以应填4 2解0-2，)-22子=4 k=1 3解本题要求读者熟悉泊松分布的有关性质，并会利用数学期望的性质求 随机变量线性函数的数学期望 由于X服从参数为2的泊松分布，则EX=2,所以 EZ=E(3X-2)=3EX-2=4 故应填4 4解A表示“取到白球”，则 0-含Ar-m=封-点r-含=对-安-片 故应境行 5.解若令Z=X-Y,则由独立随机变量的性质及正态分布的性质，Z服从标准 正态分布N(0,),则☑的数学期望为 g=的e=层。et-层 所以应填 二、选择题 1解B)00-02=1a-35 或a-3-5 2 2 PX=m=a,m=12）六0sa≤1sa=3-5 2
答案：本科概率论与数理统计作业卷(六) 一、填空题 ⎩ ⎨ ⎧ < ≥ = − 0 0 e 0 ( ) 1. 1 x x f x X X z X ， ， 解 因为 服从参数为 的指数分布， 的密度函数为 . 3 4 . 3 4 ( e ) ( e ) ( )d ( e )e d 0 故 + 2 = ∫ + 2 = ∫ + 2 = 所以应填 +∞ − − +∞ −∞ − − E X x f x x x x X x x x ∑ ∑ ∞ = = = ⋅ = 1 4. 3 2 2. ( ) ( ) 2 k k k k k 解 E X x p x 4. (3 2) 3 2 4 2 2, . 3. 故应填 由于 服从参数为 的泊松分布，则 所以 随机变量线性函数的数学期望 解 本题要求读者熟悉泊松分布的有关性质，并会利用数学期望的性质求 = − = − = = EZ E X EX X EX . . 1 { } 1 ( ) { | } { } · { } 4. 1 1 1 N n N n EX N kP X k N P X k N k P A P A X k P X k A N k N k N k 故应填 解 表示“取到白球”，则 = ∑ = = = ∑ = = ∑ = = = = = = . 2 2 z e d 2 z e d 2 1 (0,1) 5. 0 2 2 2 2 π π π π 所以应填 正态分布 ，则 的数学期望为 解 若令 ，则由独立随机变量的性质及正态分布的性质， 服从标准 － － = = ⋅ = = − ∫ ∫ +∞ +∞ −∞ E Z z z N Z Z X Y Z z z 二、选择题 2 3 5 ( ) , ( 1,2, ) 0 1 2 3 5 2 3 5 1 (1 ) 1. (B) ( ) 2 − = = = ∴ ≤ ≤ ⇒ = − = + = ⇒ = − = P X n a n a a a a a a E X Q n L 解 或
2.解(D)X的密度函数为f(x)={ e",x>0 0,x≤0 所以E(X)=∫0xek=「4)=3， e2)=e=3 故 EY1=Rr+Be)-号 3.解DX=E(X2)-(EX)2 0-0+h+心-h-日+兮+6-写=0 故应选(A) 三、计算证明题 1.解由连续型随机变量的数学期望定义知： E-xr= x·500zdr+∫0x.30800dx=150(分钟 2.解(1)X的可能取值为1,2，…，n 则易知：PX=i}=”-×n-2 …x11 n n-1 n-i+l n 故X的分布律为 X 12.n nn n 所以B(X)）=+x2+…+上xn=n+1 .1 n n 1 2 (2)引进随机变量X1,X2,…,Xn,令X,= ,若第次把门打开，则X=乏X, 0,其他 又P=-日Px=0=1X-放E0F2x)-2-”型
. 3 19 ( ) ( ) ( ) , 3 1 ( ) (4) 3!, ( ) 0, 0 , 0 2. (D) ( ) 3 2 0 2 3 0 3 3 = + = = = Γ = = = ⎩ ⎨ ⎧ ≤ > = − +∞ − − +∞ − − ∫ ∫ X x X x x E Y E X E e E X x e dx E e e dx x e x X f x 故 所以 解 的密度函数为 (A). 0 3 1 2 1 3 1 2 1 ( ) (1 ) (1 ) 3. ( ) ( ) 1 0 2 3 0 1 2 3 1 0 0 1 2 2 故应选 解 = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = + + − = + = − − ∫ − ∫ E X x x dx x x dx x x x x DX E X EX 三、计算证明题 d 1500( ) (1500) 3000 d (1500) ( )d 1. 3000 1500 2 1500 0 2 分钟 解 由连续型随机变量的数学期望定义知： = − = = ⋅ + ⋅ ∫ ∫ ∫ +∞ −∞ x x x x x EX xf x x x 2 1 1 2 1 1 ( ) 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 { } 2. (1) 1 2 , + = + × + + × = = − + × × − − × − = = n n n n n E X n n n P X n X n n i n n n n P X i X n k L L L L L 所以 故 的分布律为 则易知： 解 的可能取值为 ，， 2 1 , ( ) ( ) 1 ( ) 1 { 0} 1 1 { } , 0 (2) , , , , 1 1 1 1 2 + = = = = = = = = ⎩ ⎨ ⎧ = ∑ ∑ ∑ ∞ = ∞ = ∞ = n n i E X E X n E X n P X n P X i X X i i X X X X i i i i i i i n i i 又 ， － ， 故 ＝ 则 ， ，其他 ，若第 次把门打开 引进随机变量 L 令
3.解引进随机变量 0, 第i站没有人下车； 1,第i站没有人下车 则X=X1+X2+…+X0 根据题意任意一旅客在第i站不下车的概率为 因此20位旅客在第i站不下车 的概率为品户，在第站有人下车的概率为1-（合” 即 PX=0明=（名，PX==1-(02 (i=1,2,…,10) 因tX)-0x(2+1-(合P1=1-(合 故 AW)-∑A=i01-(合1 4解以圆的圆心为原点， 以P点所在的直线为x轴建立坐标系，设P点的 横坐标为X,则X服从[-1，上的均匀分布，且PQ=V1-X2,因此X的分布 -1≤x≤1 密度为 p(x)= 0, 其他 于是 EPQ=i--子 (PO Pp=Pg-(Pgf-号-6
) ]. 10 9 ( ) ( ) 10[1 ( ) 10 9 ) ] 1 ( 10 9 ) 1 [1 ( 10 9 ( ) 0 ( ) ( 1,2, ,10) 10 9 ) , { 1} 1 ( 10 9 { 0} ( ) . 10 9 ) 1 ( 10 9 ( 20 10 9 . 1 . 0 ; 3. 20 20 20 20 20 20 20 20 1 2 10 − = × + × − = − = = = = − = − = + + + ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 故 ＝∑ ＝ 因此 即 的概率为 ，在第 站有人下车的概率为 根据题意任意一旅客在第 站不下车的概率为 ，因此 位旅客在第 站不下车 则 ，第 站没有人下车 ，第 站没有人下车 解 引进随机变量 ＝ i i i i i E X E X E X P X P X i i i i X X X X i i X L L [ ] [ ] 3 16 2 ( ) ( ) ( ) ; 3 2 2 1 ; ( ) (1 ) · 2 4 1 ( ) 1 · 0, , 1 1 2 1 ( ) , 1,1 1 , 4. 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 π π = − = − = − = = − = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − ≤ ≤ = − = − ∫− ∫− D PQ E PQ E PQ E PQ x dx E PQ x dx x p x X X PQ X X P x P 于是 其他 密度为 横坐标为 则 服从 上的均匀分布，且 因此 的分布 解 以圆的圆心为原点，以 点所在的直线为 轴建立坐标系，设 点的