答案：本科概率论与数理统计作业卷（七） 一、填空题 1解由1=x)dr=Ja+br2dr=a+b得3a+b=3 群由g0=er=可a+mt=0+b得2a+6=号 解得a=b=,代入 D(X)=E)-(EX)fd-( -02名-站8-君 2.解根据独立随机变量和性质以及服从参数为入的泊松分布的数学期望和方 差均为入知 E)=EX+EX,+EX,)=元，D)=Dx+Dx,+DX,)= 0 故V)=(+D)=+,所以应填+ 3.解由题意得到X~B(10,0.4)于是 EX=10×0.4=4DX=10×0.4×(1-0.4)=2.4 由DX=E(X2)-[E(X)]2推得 E(X2)=DX+[E(X)]=2.4+42=18.4 所以应填18.4. 4解本题最简便的方法是利用均值为山，方差为σ2的正态分布的密度函数 1(x-42 为1eg,由于fx)=e= 1 ,所以X的数学 0√2π √π 1 √2π·- 2 期望是1方差是) 令外也可由数学期望和方差的定义直接求EX和DX, 5解由切比雪大不等式PX-B(X≥G)≤DC”,把0)=26=2代入得 PK-X≥2ys是- 所以应填)
答案：本科概率论与数理统计作业卷(七) 一、 填空题 5 12 2 4 1 2 1 ( ) ( )d ( )d 5 3 3 3 3 1 1. 1 ( )d ( )d 1 0 2 1 0 2 = = + = + + = = + = + + = ∫ ∫ ∫ ∫ +∞ −∞ +∞ −∞ E X xf x x a bx x a b a b f x x a bx x a b a b 再由 ＝ 得 解 由 ＝ 得 . 25 2 25 9 25 11 25 9 (1 2 )d 5 3 ) 5 3 ( ) ( ) ( ) ( )d ( , ( ) 5 6 , 5 3 (1) (2) 1 0 2 2 2 2 2 2 = + − = − = = − = − = = ∫ ∫ +∞ −∞ x x x D X E X EX x f x x 联立 、 两式解得 a b 代入 f x 表达式中即得 . 3 1 3 1 ( ) ( ) ( ) , 3 1 ( ) 9 1 ( ) , ( ) 3 1 ( ) 2. 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 λ λ λ λ λ λ λ λ = + = + + = + + = = + + = 故 ，所以应填 差均为 知 解 根据独立随机变量和性质以及服从参数为 的泊松分布的数学期望和方 E Y EY D Y E Y EX EX EX D Y DX DX DX 18.4. ( ) [ ( )] 2.4 4 18.4 ( ) [ ( )] 10 0.4 4 10 0.4 (1 0.4) 2.4 3. ~ (10,0.4) 2 2 2 2 2 所以应填 ＝ 由 推得 解 由题意得到 于是 + = + = = − = × = = × × − = E X DX E X DX E X E X EX DX X B . . 2 1 1 , 2 1 2 · 1 1 , ( ) 2 1 4. 2 1 1 · 2 1 2 1 ( ) 2 1 2 2 2 2 2 EX DX e f x e e X x x x x 令外也可由数学期望和方差的定义直接求 和 期望是 ，方差是 为 由于 所以 的数学 解 本题最简便的方法是利用均值为 ，方差为 的正态分布的密度函数 （ − ） − − + − − − = = π σ π π μ σ σ μ . 2 1 . 2 1 2 2 { ( ) 2} , ( ) 2, 2 ( ) 5. { ( ) } 2 2 所以应填 解 由切比雪夫不等式 把 代入得 − ≥ ≤ = − ≥ ≤ = = P X E X D X D X P X E X ε ε ε
二、选择题 1.解因为p(x)d=1所以(axr2+bx+cr=1 于是写0+b+c=1 1 2 又6)=ox=ar++eldr故a+写b+5c=05 1 3 再由D(X)=E(X2)-(EX)2,0.15=E(X2)-0.52 2.解(D)E(X)=1-p,E(X2)=1-p→D(X)=E(X2)-[E(X)=-p-p2 对p求导得D'(X)=1-2p=0→驻点：p=2又D"(X)=-2<0, 所以当p时，D)有极大值{，也是最大值 3.解(B)由己知条件可得E(X)=3,D(X)=2.1,E(Y)=4,D(Y)=2.4 所以E(2X-Y)2=[E(2X-Y)]2+D(2X-Y) =[2E(X)-E(Y)]2+4D(X)+DY)=14.8 三、计算、证明题 1-4x44 1x-22 1.解(1)由于 P)=6元e √2π万 e 2x3 所以，X~N(2,3),从而，知E(X)=2,D(X)=3 a百程国女借 5√2π 所以，得 从而，知3)=-2-0 )=25 所以，c=2. 也可：因为PX<e)=PX≥0=7所以c=H=2 2.解E[(x-1(x-2]=E(x2-3x+2)=Ex2-3Ex+2=Dx+(Ex)2-3Ex+2=1 由Dx=Ex=知1+2-31十2=1三(1-1)2=0三1=1 3证：因为 DX=E (X-EX)2=E(E-C)+(C-EX) =E (X-C)2+E (C-EX)2+2E(X-C)(C-EX)] =E(X-C)2-E(C-EX)2<E(X-C)2
二、选择题 2 2 2 2 1 0 2 1 0 2 ( ) ( ) ( ) , 0.15 ( ) 0.5 0.5 2 1 3 1 4 1 ( ) ( )d ( )d 1 2 1 3 1 1. ( )d 1 ( )d 1 = − = − = = + + + + = + + = = + + = ∫ ∫ ∫ ∫ +∞ −∞ +∞ −∞ D X E X EX E X E X x x x ax bx c x a b c a b c x x ax bx c x 再由 又 故 于是 解 因为 所以 ϕ ϕ , . 4 1 ( ) 2 1 . ' '( ) 2 0, 2 1 '( ) 1 2 0 : 2. (D) ( ) 1 , ( ) 1 ( ) ( ) [ ( )] 2 2 2 2 所以当 时， 有极大值 也是最大值 对 求导得 驻点 又 解 p D X p D X p p D X E X p E X p D X E X E X p p = = − = ⇒ = = − < = − = − ⇒ = − = − [2 ( ) ( )] 4 ( ) ( ) 14.8 (2 ) [ (2 )] (2 ) 3. (B) ( ) 3, ( ) 2.1, ( ) 4, ( ) 2.4 2 2 2 = − + + = − = − + − = = = = E X E Y D X D Y E X Y E X Y D X Y E X D X E Y D Y 所以 解 由已知条件可得 三、计算、证明题 2. 2 1 ( ) ( ) 2. 0 3 2 2 1 ) 3 2 ) ( 3 2 ) 1 ( 3 2 ( ) 3 2 1 ( 2 1 3 2 2 3 1 ( ) ) 3 2 ( 2 1 3 2 2 3 1 (2) ( ) ~ (2,3), ( ) 2, ( ) 3 2 3 1 6 1 1. (1) ( ) 3 2 2 3 2 ( 2) 3 2 2 2 3 ( 2) 2 3 ( 2) 6 4 4 2 2 2 2 2 2 < = ≥ = = = = = − = − Φ − = − Φ − Φ − = − Φ − = = − = Φ − = = = = = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ +∞ − +∞ − × − +∞ − − − −∞ −∞ × − − −∞ × − − − + − μ π π π π π π P X c P X c c c c c c c c e dt x P x dx e dx t c e dt x P x dx e dx t X N E X D X P x e e c t c x c c t c x c x x x 也可：因为 ，所以 所以， 所以，得 从而，知 ， 所以， 从而，知 解 由于 [ ] D E 3 2 1 1 0 1 2. E ( 1)( 2) E( 3 2) E 3E 2 D (E ) 3E 2 1 2 2 2 2 2 由 知 ＋ － ＋ ＝ （ －）＝ ＝ 解 = = λ λ λ λ ⇒ λ ⇒ λ − − = − + = − + = + − + = x x x x x x x x x x x [ ] [ ] 2 2 2 2 2 2 2 E X C E C EX E X C E X C E C EX 2E X C C EX DX E X EX E E C C EX 3. ＝ （ － ）－ （ － ） （ － ） ＝ （ － ）＋ （ － ）＋ （ － ）（ － ） ＝ （ － ）＝ （ － ）＋（ － ） 证：因为 <
4.解E(X)=1,D(X)=1,代入独立同分布的中心极限定理，即得 2X,-n lim P
∫ ∑ −∞ − = →∞ = ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ − = = x t n i i n i i x t n X n P E X D X e d 2 1 lim 4. ( ) , ( ) , 1 2 2 λ π λ 解 λ λ 代入独立同分布的中心极限定理，即得
