答案：本科概率论与数理统计作业卷（二） 一、填空题 1解由题设4、B湘互独立，即P(4)=PB且)=) P(AB)=P(AB),即有 P(AB)=P(A+B)=1-P(A+B)=g P(A)-P(AB)=P(B)-P(AB) 也即 ()()+(( 91-2P0+P0=g P(A)=P(B) 解得P-1=±兮八)-或P代利=号 由于P(A)≤1，故P(A) 2-3 2.解设一次投掷中正面朝上的概率为p,则由题意 P(A)=CSp(1-p)"=-80 即-p= 2 81 ,得p= 3解设A表示事件{第一次抽取的是正品}B表示事件{第二次抽取的是次品) 则 A0-8 A团=g 且 a10=品PBID= 且全概率公式知 A=0RI利+A081利=名品+若品店 放应颈君 4.解设B表示事件{n次独立实验中，事件A至少发生一次，C表示事件{n次独立 实验中，事件A至多发生一次}，D表示事件{n次独立实验中，事件A仅在第i次实 验发生，i=1,2,3.n,则 B=4A...A.C=B+D, n次 其中B,A分别为B,A的逆事件由于n次实验是独立的，故P(B)=[P(A)]”=(I-p)” PD,)=P(D)=P(A44.A)=p1-p)-,(i=1,2,.nm n-1个 从而 P(B)=1-P(B)=1-(1-p) PC)=P(B)+∑P(D,)=I-p)”+pI-p)- 所以应分别填1-1-p)”和1-p)”+p1-p)-1 注：直接代公式比较简单
答案：本科概率论与数理统计作业卷(二) 一、填空题 3 2 . ( ) 1, ( ) 3 2 ( ) 3 4 , ( ) 3 1 ( ) 1 9 1 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 9 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ), , 9 1 1. ( ) ( ) ( ), ( ) 2 − = ± = = ≤ = ⇒ − + = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − − + = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = − = + = − + = = = = P A P A P A P A P A P A P A P A P B P A P B P A P B P A P AB P B P AB P AB P A B P A B P AB P AB A B P AB P A P B P AB 解得 或 由于 故 也即 即有 解 由题设 、 相互独立，即 且 . 3 2 , 81 1 , (1 ) 81 80 ( ) (1 ) 2. , 0 0 4 4 P A = C4 p − p = − − p = p = p 即 得 解 设一次投掷中正面朝上的概率为 则由题意 . 6 1 6 1 11 1 · 6 1 11 2 · 6 5 ( ) ( )· ( | ) ( ) ( | ) 11 1 , ( | ) 11 2 ( | ) 6 1 , ( ) 6 5 ( ) 3. { } { } 故应填 且全概率公式知 且 则 解 设 表示事件 第一次抽取的是正品 表示事件 第二次抽取的是次品 = + = + = = = = = P B P A P B A P A P B A P B A P B A P A P A A B 14243 U n i i n i i n B AA A C B D A D n A i B n A C n 1 } 1,2,3 , , } { 4. { } { = = … = … = + 次 验发生 ， 则 实验中，事件 至多发生一次 ， 表示事件 次独立实验中，事件 仅在第 次实 解 设 表示事件 次独立实验中，事件 至少发生一次 ， 表示事件 次独立 . 1 (1 ) (1 ) (1 ) ( ) ( ) ( ) (1 ) (1 ) ( ) 1 ( ) 1 (1 ) ( ) ( ) ( ) (1 ) , ( 1,2, ) , , . , ( ) [ ( )] (1 ) 1 1 1 1 1 1 注：直接代公式比较简单 所以应分别填 和 从而 其中 分别为 的逆事件由于 次实验是独立的 故 个 − − = − − − − − + − = + = − + − = − = − − = = … = − = … = = − ∑ n n n n n n i i n n n i n n p p np p P C P B P D p np p P B P B p P D P D P AAA A p p i n B A B A n P B P A p 14243
二、选择题 1.解事件A有三种情况：4,6：5,5,6,4.事件B只有一种情况：6,4故应选(A) 2.解应选(D) 3.解：由P(AB)=P(A)·P(B),P(AC)=P(A)·P(C),P(BC)=PB)·P(C) 知A,B,C互相独立一P(ABC)=P(A)·P(B)·P(C)一P(ABC)=P(A)·P(BC) 一A与BC独立。故应选(A) 4.解(A)A,A,A,分别表示抽得灯管来自甲乙丙三厂，C表示抽得灯管为次品，于是 P(C|A)=0.02,P(C1A)=0.03,P(C1A3)=0.04 PA=石4-后4)=君 由贝叶斯公式得 P(A)P(CIA) P(A IC)=P(A)P(CIA)+P()P(C)+P(4)P(CIA) 0.1 三、计算、证明题 1.解设事件B=“能活20年以上”，A=“能活25年以上”. 按题意，P(B)=0.8,由于ACB,所以BA=A,因此P(AB)=P(A)=0.4, 由概率的定义，得 P4B)=PL4B-04=0.5 P(B)0.8 2.解设B=“飞机坠毁”，A=“i门炮射中飞机"”(i=1,2,3).显然，A, A,A构成完备事件组.三门高射炮各自射击飞机，射中与否相互独立， 按加法公式及乘法公式，得 P(A)=0.4×(1-0.5)×(1-0.7)+(1-0.4)×0.5×(1-0.7) +(1-0.4)×(1-0.5)×0.7=0.36 P(A2)=0.4×0.5×(1-0.7)+0.4×(1-0.5)×0.7+(1-0.4)×0.5×0.7=0.41 P(A3)=0.4×0.5×0.7=0.14 再由题意知 P(B|A)=0.2P(B|A)=0.6,P(B|A)=1 利用全概率公式，得P(B)=∑P(4,)P(B|4)=0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1=0.458
二、选择题 1.解 事件A有三种情况：4,6; 5,5; 6,4. 事件B只有一种情况： 6,4 故应选(A) 2.解 应选(D) A BC (A) A B C P(ABC) P(A) P(B) P(C) P(ABC) P(A) P(BC) 3. P(AB) P(A) P(B) P(AC) P(A) P(C) P(BC) P(B) P(C) 与 独立。故应选 知 ， ， 互相独立 ＝ ＝ 解：由 ＝ ， ＝ ， ＝ ⇔ ⇔ ⋅ ⋅ ⇔ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 6 3 , ( ) 6 2 , ( ) 6 1 ( ) ( | ) 0.02, ( | ) 0.03, ( | ) 0.04 4. (A) , , , 1 2 3 1 2 3 1 2 3 = = = = = = P A P A P A P C A P C A P C A 解 A A A 分别表示抽得灯管来自甲乙丙三厂，C表示抽得灯管为次品 于是 0.1 ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( | ) 1 1 2 2 3 3 1 1 1 = + + = P A P C A P A P C A P A P C A P A P C A P A C 由贝叶斯公式得 三、计算、证明题 ( ) 0.5. 0.8 0.4 ( ) ( ) | ( ) 0.8, , , ( ) ( ) 0.4, 1. 20 25 . = = = = ⊂ = = = = = P B P AB P A B P B A B BA A P AB P A B A 由概率的定义，得 按题意， 由于 所以 因此 解 设事件 “能活 年以上”， “能活 年以上” ( ) ( ) ( | ) 0.36 0.2 0.41 0.6 0.14 1 0.458 ( | ) 0.2 ( | ) 0.6, ( | ) 1 ( ) 0.4 0.5 0.7 0.14 ( ) 0.4 0.5 (1 0.7) 0.4 (1 0.5) 0.7 (1 0.4) 0.5 0.7 0.41 (1 0.4) (1 0.5) 0.7 0.36 ( ) 0.4 (1 0.5) (1 0.7) (1 0.4) 0.5 (1 0.7) , . 2. ( 1,2,3). , 3 0 1 2 3 3 2 1 2 3 1 = = × + × + × = = = = = × × = = × × − + × − × + − × × = + − × − × = = × − × − + − × × − = = = ∑ i= i i i P B P A P B A P B A P B A P B A P A P A P A A A B A i i A 利用全概率公式，得 再由题意知 按加法公式及乘法公式，得 构成完备事件组 三门高射炮各自射击飞机，射中与否相互独立， 解 设 “飞机坠毁”， “ 门炮射中飞机” 显然
3解(1)采用三局两胜制设A=“甲净胜二局”，A=“前两局甲、乙各胜一局， 第三局甲胜”，A=“甲胜”，则A=A+A2,而 P(A)=0.62=0.36 P(A)=(0.62×0.4)×2=0.288 所以，有P(A)=P(A+A2)=P(A)+P(A) (A与A2互斥) =0.36+0.288=0.648 (2)采用五局三胜制，设B=“甲胜”，B,=“前三局甲胜”，B,=“前三局中甲胜 两局，乙胜一局，第四局甲胜”，B,=“前四局中甲、乙各胜两局，第五局甲胜”， 则B1,B2,B3互不相容，且B=B1+B2+B,由题设知 P(B)=0.63=0.216 P(B2)=C×0.62×0.4×0.6=0.259 P(B3)=C×0.62×0.42×0.6=0.207 所以，甲胜的概率为 P(B)=P(B1+B2+B3)=P(B)+P(B2)+P(B3) =0.216+0.259+0.207=0.682 由于P(B)=0.682>P(A)=0.648,也就是说，采用五局三胜制时甲胜的概率，要大于 采用三局两胜制时甲胜的概率，所以，采用五局三胜制时对甲更有利
0.36 0.288 0.648 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (0.6 0.4) 2 0.288 ( ) 0.6 0.36 , 3. (1) . 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 2 = + = = + = + = × × = = = = = + = = 所以，有 与 互斥 第三局甲胜”， “甲胜”，则 而 解 采用三局两胜制设 “甲净胜二局”， “前两局甲、乙各胜一局， P A P A A P A P A A A P A P A A A A A A A . ( ) 0.682 ( ) 0.648, 0.216 0.259 0.207 0.682 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0.6 0.4 0.6 0.207 ( ) 0.6 0.4 0.6 0.259 ( ) 0.6 0.216 , , . (2) 1 2 3 1 2 3 2 2 2 3 4 2 2 2 3 3 1 1 2 3 1 2 3 3 1 2 采用三局两胜制时甲胜的概率，所以，采用五局三胜制时对甲更有利 由于 也就是说，采用五局三胜制时甲胜的概率，要大于 所以，甲胜的概率为 则 互不相容，且 由题设知 两局，乙胜一局，第四局甲胜”， “前四局中甲、乙各胜两局，第五局甲胜”， 采用五局三胜制，设 “甲胜”， “前三局甲胜”， “前三局中甲胜 = > = = + + = = + + = + + = × × × = = × × × = = = = + + = = = = P B P A P B P B B B P B P B P B P B C P B C P B B B B B B B B B B B B