ISSN1000-0054 清华大学学报（自然科学版）2004年第44卷第4期 19/34 CN11-2223/N J Tsinghua Univ (Sci &Tech),2004,Vol.44,No.4 511-514 基于MCMC的线性调频信号最大似然参数估计 林彦，王秀坛，彭应宁1，许稼，张堞评1，夏香根 (1.清华大学电子工程系，北京100084,2.Department of ECE,University of Delaware,Newark,DE19716,USA) 摘要：为实现合成孔径雪达对运动目标有效地成缘，番要 线性调烦(chirp)信号，其起始频率和调频率两个参数 对运动目标的线性调频(chirp)回波信号的参数进行准确地 包含着运动目标的速度和加速度等重要信息。因而能 估计，该文将马尔可夫链蒙特卡洛(Markov chain Monte 否精确地对chirp信号参数进行估计直接影响合成孔 Carlo,MCMC)方法和均值似然估计相结合，利用离散调频 径雷达能否对运动目标有效地成像。最大似然估计 图(chirpogram)作为起始点的选择方法，提出了一种实现单 (maximum likelihood estimation,MLE)已被证明是 分量chirp信号最大似然参数估计的新方法。仿真和分析表 一种渐进最优估计，且在有限样本情况下它具有最优 明这种方法的参数估计性能可以在较低信噪比时达到 的估计性能，但直接实现MLE需要在参数空间进 Cramer Rao界(CRB)。该方法结构简单，计算量适中，可以 行多维网格搜索，计算量很大。最近，Kay和Saha提 联合估计各参数，无误差传递效应，估计性能良好。 出了一种实现MLE的新思路，即均值似然估计 关键词：信号检测与估计，线性调频信号：最大似然；马尔 (mean likelihood estimation,MELE),MELE 可夫链蒙特卡洛 与重要采样结合应用于正弦信号和chirp信号的参数 中图分类号：TN911.23 文献标识码：A 估计2”.这种基于重要采样的MELE方法可将MLE 文章编号：1000-0054(2004)04-0511-04 的多维搜索转化为关于似然函数的边缘积分，使问题 得到一定简化，但在解决似然函数边缘积分时由于采 Maximum likelihood parameter estimation 样分布仍为一个多峰非标准分布，重要采样方法仍需 of chirp signals based on MCMC 要进行积分和搜索等操作，计算量仍较大。 LIN Yan:,WANG Xiutanl,PENG Yingning!, 马尔可夫链蒙特卡洛(Markov chain Monte Car-- XU Jial,ZHANG Liping!,XIA Xianggen2 lo,MCMC)近几年被引入信号处理领域，用于产生 (1.Department of Electronic Engineering, Tsinghua University,Beijing 100084.China: 后验分布的样本、计算边缘积分和计算后验分布的 2.Department of ECE,University of Delaware, 矩-。本文在Kay和Saha提出的MELE方法的基 Newark,DE 19716.USA) 础上进行改进，利用MCMC在计算复杂边缘积分方 Abstract:The imaging of moving targets by synthetic aperture radar 面的优势，将MCMC与MELE相结合，同时利用离 (SAR)needs to accurately estimate the parameters of chirp return signals of moving targets.This paper presents a new method to 散调频图(chirpogram)作为起始点的选择方法，提出 obtain the maximum likelihood estimate of mono-component chirp 一种实现单分量chirp信号参数MLE的新方法。该 parameters.The method merges the Markov chain Monte Carlo 方法计算量适中，可以联合估计各参数，无误差传递 (MCMC)technique and mean likelihood estimation (MELE)with discrete chirpogram as the initial value selection method. 效应，在较低信噪比时估计性能达到Cramer-Rao界 Simulations and analyses showed that the parameter estimation (CRB)。 performance of this method can attain the Cramer Rao bound(CRB) at low signal-to-noise ratio (SNR).The method is simple and can be 1 问题描述 implemented with modest amount of computations.The method jointly estimates the parameters with no error propegation effect. 考虑噪声中的单分量chirp序列x(n),n=0, Key words:signal detection and estimation,chirp signal maximum 收稿日期：2003-04-10 likelihood (ML):Markov chain Monte Carlo (MCMC) 基金项目：国家自然科学基金资助项目(60128102) 作者简介：林意(1979-)，男（汉），北京，硕士研究生， 通讯联系人：王秀坛，教授， 在合成孔径雷达成像过程中，运动目标的回波为 E-mail:wangxt@sdp.ee.tsinghua.edu.cn 万方数据
!璺墨丛!!Q!二Q!§4 清华大学学报(自然科学版)2004年第44卷第4期 CN 11—2223／N J Tsinghua Univ(Sci＆Tech)，2004，V01．44，No．4 基于MCMC的线性调频信号最大似然参数估计 林 彦1， 王秀坛1， 彭应宁1， 许稼1， 张璨拜1， 夏香根2 (1．清华大学电子工程系，北京100084；2．Department of EcE，university of Delaware，Newark，DE 19716，usA) 摘要：为实现合成孔径雷达对运动目标有效地成像，需要 对运动目标的线性调频(chirp)回波信号的参数进行准确地 估计。该文将马尔可夫链蒙特卡洛(Markov chain Monte Carlo，McMC)方法和均值似然估计相结合，利用离散调频 图(chirpogram)作为起始点的选择方法，提出了一种实现单 分量chirp信号最大似然参数估计的新方法。仿真和分析表 明这种方法的参数估计性能可以在较低信噪比时达到 Cramer Rao界(CRB)。该方法结构简单，计算量适中，可以 联合估计各参数，无误差传递效应，估计性能良好。 关键词：信号检测与估计；线性调频信号；最大似然；马尔 可夫链蒙特卡洛 中图分类号：TN 911．23 文献标识码：A 文章编号：1000—0054(2004)04一051l—04 Maximum likelihood parameter estimation of chirp signals based on MCMC LIN Yanl，WANG Xiutanl，PENG Yingnin91， XU JIal，ZHANG Lipin91。XIA×ianggen2 (1．Department of Electronic Engineering， Tsinghun UntVersny，Beijtng 100084。Chhla； 2．Depnrtment of ECE，University of DeIaware， Newark，DE 19716，USA) Abstract：The imaging of moving targets by synthetic aperture radar (SAR)needs to accurately estimate the parameters of chirp return signals of moving targets． This paper presents a new method to obtain the maximum likelihood estimate of mono—component chirp paraHleters． The method merges the Markov chain Monte Carlo (MCMC)technique and mean likelihood estimation(MELE)with discrete chirpogram as the initial value selection method． Simulations and analyses showed that the parameter estimation Derformance of this method can attain the Cramer Rao bound(CRB) at low sign8l—to—noise ratio(SNR)．The method is simple and can be impIemented with modest amount of computations． The method jointly estim8tes the parameters with no error propagation effect． Key words：signal detection ard estimation'chirp signal'mBximum 1ikel-hood(ML)l Markov chain Monte Carlo(MCMC) 在合成孔径雷达成像过程中，运动目标的回波为 19／34 51l一514 线性调频(chirp)信号，其起始频率和调频率两个参数 包含着运动目标的速度和加速度等重要信息。因而能 否精确地对chirp信号参数进行估计直接影响合成孔 径雷达能否对运动目标有效地成像。最大似然估计 (maximum likelihood estimation，MLE)已被证明是 一种渐进最优估计，且在有限样本情况下它具有最优 的估计性能口3，但直接实现MLE需要在参数空间进 行多维网格搜索，计算量很大。最近，Kay和saha提 出了一种实现MLE的新思路，即均值似然估计 (mean likelihOOd estimation，MELE)，并将MELE 与重要采样结合应用于正弦信号和chirp信号的参数 估计乜’33。这种基于重要采样的MELE方法可将MLE 的多维搜索转化为关于似然函数的边缘积分，使问题 得到一定简化，但在解决似然函数边缘积分时由于采 样分布仍为一个多峰非标准分布，重要采样方法仍需 要进行积分和搜索等操作，计算量仍较大。 马尔可夫链蒙特卡洛(Markov chain Monte Car_ lo，MCMC)近几年被引入信号处理领域，用于产生 后验分布的样本、计算边缘积分和计算后验分布的 矩[4“]。本文在Kay和saha提出的MELE方法的基 础上进行改进，利用MCMc在计算复杂边缘积分方 面的优势，将MCMC与MELE相结合，同时利用离 散调频图(chirpogram)作为起始点的选择方法，提出 一种实现单分量chirp信号参数MLE的新方法。该 方法计算量适中，可以联合估计各参数，无误差传递 效应，在较低信噪比时估计性能达到Cramer—Rao界 (CRB)。 l问题描述 · 考虑噪声中的单分量chirp序列z(咒)，咒一o， 收稿日期：2003一04—10 基金项目：国家自然科学基金资助项目(60128102) 作者简介：林彦(1979一)，男(汉)，北京，硕士研究生。 通讯联系人：王秀坛，教授， E—mail：wangxt@sdp．ee．tsinghua．edu．cn 万方数据
512 清华大学学报（自然科学版） 2004,44(4) ,W一1，如 a=lim aP(x:0)dfda (7) x(n)=Aexp[j2n(fn an2)]w(n),(1) 式中：N表示样本个数，A、f、a为未知参数，A 其中 表示chirp信号的复幅度，f(0≤f≤1)表示chirp 信号的起始频率，a(0≤a≤I)表示chirp信号的调 P(x:8)= ,(8) 频率，w(n),n=0,…,N一1为一零均值复Gauss expdfda 白噪声序列，噪声方差为。 P是一个引入的中间参数。根据式(8)，P(x:8)可看 将序列x(n)和w(n)分别表示成向量形式： 成一个关于∫和a的概率密度函数。通过式(6)和 x=[x(0),…,x(N-1)]T, (7),chirp信号的MLE就转化为求P(x;)的一阶 w=[w(0),…,w(N-1)]T. 矩，当p很大时，P(x:)的一阶矩就是∫和a的 令b=[A],8=[f,a], MLE。这种估计方法被称为均值似然估计(MELE)。 exp[j2π(f(0)+a(o)2)] 从另外的角度来理解，当p很大时，P(x;)是一个主 H()= 要能量集中于全局最大值点附近的分布函数，这样P exp[G2x(f(N-1)+a(N-1)2)]- (x;)的均值就近似为全局最大值点。 (2) 式(6)和(7)的复杂多维积分问题最常用的方法 则式(1)可用矩阵形式表示 是通过数值解法来解决，文[2,3]采用了重要采样方 x=H(8)b+w. (3) 法，而本文将MCMC方法应用到该问题上。 可以看出，参数向量b线性依赖于观测序列x(n), MCMC方法可以直接产生关于目标函数分布的随 而参数向量日则是通过矩阵H()非线性依赖于观 机数，不需要像重要采样中所进行的积分和搜索等 测序列x(n)。本文的目的就是从观测序列x(n)(观 额外操作，计算复杂度变小，具有很好的估计性能。 测向量x)中得到起始频率f和调频率a的MLE。 3 MCMC 2均值似然估计 本文提出的基于MCMC的MELE方法的基本 根据最大似然准测，可得b和日的MLE为 思想是产生一条Markov链，使Markov链的稳态 B,0]-arg min[(x-H()b)"(x-H()], 分布为P(x;),在链达到稳态后采样R个样本 (4) [f,a],之后采用样本的循环均值来估计f和a, 其中：上标H表示复转置。由上一节得到的参数关 以减小计算误差[]。f和a的估计值分别为： 于观测数据的依赖关系，可以将两种参数的联合 了△1a 「1 exp(j2mf:), (9) MLE解藕，分为两步进行：首先求非线性依赖参数 向量日的MLE,之后利用参数向量日的估计值再求 exp(j2ma) (10) 线性依赖参数向量b的MLE,可以证明分两步的 其中arg[·]表示求[0,2π]的角度。 MLE和联合MLE是等价的。同时由式(2)可知 H()H(a)=N,这样f和a的MLE就转化为 3.1起始点的选择 起始点的选择对于MCMC方法十分重要，因 [7,a]=arg max为iH(9x] (5) 为一般来讲MCMC方法的目标分布是一个具有多 由于式(5)的右端为一个关于f和α的多峰函 个局部极值的函数，若起始点选择不适当，MCMC 数，存在着很多局部极大值点，如果要通过精细的网 方法产生的Markov链就会收敛到局部极值点，对 格搜索来找到似然函数的全局最大值点，计算量会 估计性能造成不良影响。本文通过离散chirpogram 很大，因而必须寻找其他简单的方法来得到多维似 方法将其最大幅度点作为MCMC方法的起始点。 然函数的全局最大值点，以降低计算复杂度。 离散chirpogram定义为 文[3]给出了关于多维函数全局最大值点的闭 Q(l,m）= 式解定理，将其应用到chirp参数估计问题，可得： r+0r+ 字aep[-+], 亨=lim]rp(x9dfda, (6) (11) 万方数据
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林彦，等：基于MCMC的线性调颜信号最大似然参数估计 513 其中：l和m为整数，O≤l≤M/,0≤m≤M,Mr和 +1=1 M。为选定的正整数。可以证明，一个chirp信号的 10)k=k十1，如果k>M,执行11)，否则返回 连续chirpogram在(f,a),0≤f,a≤0.5和(f+ 2),M为总循环次数。 0.5,a十0.5)具有相同的幅度，因而为了避免模糊， 11)选择最后R个样本[f,a],k=M-R+1, 本文方法的参数取值范围应为0≤∫≤1,0≤a≤ …,M,根据式(9)和(10)计算∫和a的估值。 0.5[3.1。具体到离散chirpogram,l和m的取值范 在这里，建议分布采用Gauss分布，即 围分别为0≤l≤M/,0≤m≤M./2。 q(yi-fila)oc N(f,), 3.2 Metropolis--Hastings算法 g(yi-alf+1)oc N(a,2), Metropolis-Hastings(MH)算法是目前常用的 其中：r和a。为可调谐参数。σr和o。的取值对接 Markov链构造方法之一[4，，其转移核定义为 收概率和Markov链所覆盖区域都有影响，如果ar TM(z,dy)=QM(z,dy)AMH(z,y)+ 和a。过大，接收概率会很小，Markov链会很少出 I(z E dy)[1-AMn(z,)]Qm(z,do),(12) 现转移，如果和0，过小，则每次转移步长很小， Markov链需要很多次循环后才能收敛。根据文 其中：z、y、甲为状态空间中的随机向量，I(·)为指 [6],对于1~2维的Markov链，随机移动MH算 示函数（取值为0或1），式(12)的右半部分表示 法的接收概率设置在0.5左右比较适当，由这个条 Markov链仍保持在z的概率，AMH(z,y)称为接收 件可以在实验中设置a和a。的值。 概率，表示以多大的概率由z转移到y,其定义为 A(y)QMmi(y,z) 4仿真结果和分析 Ax(z,y)=min1,()Qm(y) (13) 考虑一淹没在Gauss白噪声中的单分量chirp 其中：()为目标分布，Q(·,)为建议分布，取具 信号，起始频率f=0.305,调频率a=0.101,幅度 有可调谐尺度参数和位置参数的可采样分布。本文采 A=1,观测序列长度N=31,定义信噪比为4= 用随机移动MH算法，其建议分布为对称分布。 101g(|A/o2)。使用基于MCMC的MELE方法 当目标分布为多维分布时，可以采用单元素采 进行参数估计，Mr=128,M.=256,每一次估计实 样方法，即在每个循环不一次直接采样出整个向量， 验Markov链的长度M=3000,用于估计起始频率 而是在已知其他分量上一循环采样值的情况下对该 和调频率的样本数量R=2000,这样认为Markov 向量的各个分量进行逐一采样，完成一次循环。可证 链前1000数据为达到稳态之前的数据，称为burn 明单元素采样的MH算法仍收敛于目标分布，且有 in。在实际仿真过程中，发现当p在某个特定值使 助于加速Markov链的收敛，)。 式(6)和(7)取到最优值时，P大于这个特定值时式 3.3实现算法描述 (6)和(7)也同样达到了最优值。在本实验中选择 根据上述的讨论，将单元素随机移动MH算法 p=15。选取0r=1.30×10-3,a.=4.33×15-5,使 和离散chirpogram应用到MELE上，得到本文提 Markov链的接收概率保持在0.5左右。 出的基于MCMC的MELE算法： 利用本文估计方法对信噪比4=5dB的单分量 1)k=0,利用离散调频图找到起始点[f。,a]; chirp信号进行一次仿真，图1给出了起始频率和调 2)从建议分布g(y一fau)采样得到y4: 频率Markov链的变化情况。可看到当收敛后（即 3)从均匀分布U[0,1]中采样得到： 1000次循环以后)f的估计样本值基本在0.305附 [，P(xy,a]) 近变化，a的估计样本值基本在0.101附近变化，这 4)计算A(f,)=min1,px,,a4J5 说明对这些样本计算循环均值后可有效地估计∫ 5)如果d≤A(f,y),则f+1=y:否则， 和a,从而说明本文估计方法在低信噪比下可很好 f+1=f: 地估计chirp信号各参数。 6)从建议分布q(y一a:f+1)采样得到y: 在不同信噪比下，使用本文的估计方法做多次 7)从均匀分布U[0,1]中采样得到： 仿真实验，可得该方法的估计性能曲线。本文选择0 [，P(x;[f+] ~20dB的信噪比范围，每隔1dB做一次实验，每个 8)计算A,(@y)=min1,p(x+1,o4jJ 信噪比作100次实验。图2给出了不同信嗓比下的 9)如果i≤A(,y),则a+1=y;否则， 均方误差E2曲线，同时也给出了CRB进行比较，可 万方数据
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514 清华大学学报（自然科学版） 2004,44(4) 0.32 的MELE方法相比，不需要进行额外的积分和搜索 操作，不需要对样本进行变换后再计算估计值，计算 0.30 量适中。另外，该算法是联合估计参数，从而避免了 0.286 像顺序估计方法所存在的误差传递效应。 2 仿真循环次数kX103 5结论 (a)起始频率仿其 0.102 本文在基于重要采样的MELE方法的基础上 进行一定的改进，提出了一种实现淹没在Gauss白 察0101 噪声中的单分量chirp信号的最大似然参数估计的 0.10 新方法。该方法将MCMC和MELE相结合，并且利 0 2 仿真循环次数kX10 用离散chirpogram作为起始点的选择方法。本文对 )调频率仿真 该方法进行了详细的描述和分析，并进行了算法的 图1用基于MCMC的MELE方法对噪声中单分量 仿真和性能分析。该方法具有很好的估计性能，不会 chirp信号参数估计的一次仿真结果 收敛到似然函数的局部极大值点，可以联合估计各 参数，无误差传递效应，在较低信噪比时估计性能达 10r -CRB +++e2 到CRB,并且与基于重要采样的MELE相比具有 方法简单，计算量适中的优势。此外，该方法扩展到 调须率 对多分量chirp信号和杂波中chirp信号的参数估 计将在后续研究中进行讨论。 起效频率 参考文献(References) 4 8 12 1620 [1]Kay S M.Modern Spectral Estimation:Theory and u/dB Application [M].Englewood Cliffs,NJ,Prentice-Hall, 图2基于MCMC的MELE方法对噪声中单分量 1988. chirp信号的估计性能曲线 [2]Kay S M,Saha S.Mean likelihood frequency estimation [J]. IEEE Trans on Signal Processing,2000,48(7):1937- 看到该估计方法在大于2B的情况下f和&的均 1946. 方误差都达到了CRB,在低于2dB的情况下，估计 [3]Saha S,Kay S M.Maximum likelihood parameter estimation 方法的性能下降很快，不再能达到CRB。这说明本 of superimposed chirps using Monte Carlo importance sampling [J].IEEE Trans on Signal Processing,2002, 文估计方法在较低信嗓比时估计性能可以达到 50(2):224-230. CRB,因而具有很好的估计性能。 [4]O'Ruanaidh JJ K,Fitzgerald W J.Numerical Bayesian 从计算量考虑，起始点选择可采用FDQPT Methods Applied to Signal Processing [M].New York: (fast discrete quadratic phase transform)计算离 Springer-Verlag.1996. [5]Lin CC,Djuric P M.Estimation of chirp signals by MCMC 散chirpogram以进一步减少运算量，FDQPT只需 [A].Proceedings of ICASSP [C].Piscataway NJ.USA: 满足M和M,为2的正整数次方的条件，它充分利 IEEE Press5,2000.265-268. 用chirpogram在结构上的一些性质和FFT来减小 [6]Theys C,Vieira M,Ferrari A.Bayesian estimation of the 计算量，完成一次chirpogram计算共需Mr(M。-l) parameters of a polynomial phase signal using MCMC 次复乘。在MH算法中，主要计算量是接收概率的 methods [A].Proceedings of ICASSP [C].Los Alamitos. CA.USA:IEEE Press,1997.3553-3556. 计算，可对其进行化简 7]Kay S M.Fundamentals of Statistical Signal Processing: P8=exp[(a(8,)x-1H(,)x]. Estimation Theory [M].Englewood Cliffs,NJ: P(x:82) Prentice-Hall,1993. (14) [8]Ikram M Z.Abed-Meraim K,Hua Y.Fast discrete quadratic 此步需要4M(N+1)次复乘和2M次指数运算。因 phase transform for estimating the parameters of chirp signals [A].Conference Record of Thirtieth Asilomar 而该算法共需Mr(M。一1)+4M(N+1)次复乘和 Conference on Signals,Systems and Computers [C].Los 2M次指数运算。本文提出的算法与基于重要采样 Alamitos,CA.USA:IEEE Press,1997.798-802. 万方数据
清华大学学报(自然科学版) ＼ 释 爨 彀 测 毽 褂 骚 照 仿真循环次数女×1旷3 (a)起始频率仿真 仿真循环次数t×l 0_3 (b)调频率仿真 图l 用基于MCMC的MELE方法对噪声中单分量 chirp信号参数估计的一次仿真结果 图2基于MCMC的MELE方法对噪声中单分量 chirp信号的估计性能曲线 看到该估计方法在大于2dB的情况下厂和a的均 方误差都达到了CRB，在低于2 dB的情况下，估计 方法的性能下降很快，不再能达到CRB。这说明本 文估计方法在较低信噪比时估计性能可以达到 CRB，因而具有很好的估计性能。 从计算量考虑，起始点选择可采用FDQPT (fast discrete quadratic phase transform)[8]计算离 散chirpogram以进一步减少运算量，FDQPT只需 满足地和眠为2的正整数次方的条件，它充分利 用chirpogram在结构上的一些性质和FFT来减小 计算量，完成一次chirpogram计算共需地(眠一1) 次复乘。在MH算法中，主要计算量是接收概率的 计算，可对其进行化简 参罢岩S—exp[寿(f日H(9。)工f z—f日H(吼)zf 2)]． (14) 此步需要4M(Ⅳ+1)次复乘和2M次指数运算。因 而该算法共需M，(M。一1)十4M(N+1)次复乘和 2M次指数运算。本文提出的算法与基于重要采样 的MELE方法相比，不需要进行额外的积分和搜索 操作，不需要对样本进行变换后再计算估计值，计算 量适中。另外，该算法是联合估计参数，从而避免了 像顺序估计方法所存在的误差传递效应。 5结 论 本文在基于重要采样的MELE方法的基础上 进行一定的改进，提出了一种实现淹没在Gauss白 噪声中的单分量chirp信号的最大似然参数估计的 新方法。该方法将McMC和MELE相结合，并且利 用离散chirpogram作为起始点的选择方法。本文对 该方法进行了详细的描述和分析，并进行了算法的 仿真和性能分析。该方法具有很好的估计性能，不会 收敛到似然函数的局部极大值点，可以联合估计各 参数，无误差传递效应，在较低信噪比时估计性能达 到CRB，并且与基于重要采样的MELE相比具有 方法简单，计算量适中的优势。此外，该方法扩展到 对多分量chirp信号和杂波中chirp信号的参数估 计将在后续研究中进行讨论。 参考文献 (References) [1] Kay S M． Modern Spectral Estimation： Theory and Application [M]． Englewood cliffs， NJ： Prentice—Hall， 1988． [2] Kay s M，saha s．Mean 1ikelihood frequency estimation[J]． JEEE丁r们t5 o”5ig”口Z Proc舌ssi”g，2000，48(7)：1937— 1946． [3] saha s，Kay s M．Maximum likelihood parameter estjmatjon of superimposed chirps usingⅣ【onte Carlo importance sampling[J]． JEEE Tr4”s on 5ig”“ProfP5si”g， 2002， 50(2)：224—230． [4] o’Ruanaidh J J K，Fitzgerald w J． Numerical Bayesian Methods Applied to signal Processing [M]． New York： Springer—VerIag，1996． [5] Lin c c，Djuric P M．Estimation of chirp signals by McMc [A]． Proceedings of IcAssP[c]． Piscataway NJ，UsA： IEEE Press，2000．265—268． [6] Theys c，Vieira M，Ferrari A．Bayesian estimation of the parameters of a p01ynomial phase signal using MCMC methods[A]．Proceedings of ICAsSP[C]．Los A1amitos， CA，USA：IEEE Press，1997．3553—3556． [7] Kay s M． Fundamentals of statistical signal Processing： Estimation Theory [M]． En91ewood Cliffs， NJ： Prentice—Hall．1993． [8] Ikram M Z，Abed—Meraim K，Hua Y．Fast discrete quadratic phase transform for estimating the parameters of chirp signals [A]． conference Record of Thirtieth Asilomar conference on signals， systems and computers[c]． Los Alamitos，CA，USA：IEEE Press，1997．798—802． 万方数据
