商群的性质 性质:|G/H=|GH,商群的阶是G的因子 保持群G的性质ε交换性,循环性等. 例1G为Abel群,|=n,素数p整除n,则G中有p阶元. 证明思路:归纳法——商群满足条件推出原来群中性质 归纳步骤。假设m<n为真,证明对于n为真 设闻G=n,取a∈G,a≠e,寻找p阶元 ①p整除a,则ap为p阶元 ②p不整除la,令H=<m,构造G/H,GmH=m,p整除n G/H中有p阶元b,导出b与a的关系 (Hby=H→b∈H→b=d (by=e→b为p阶元(b=e→(Hb)=H→p|l)性质：|G/H|=[G:H]，商群的阶是|G|的因子 保持群 G 的性质：交换性，循环性等. 例 1 G 为 Abel 群，|G| = n,素数 p 整除 n, 则 G 中有 p 阶元. 证明思路：归纳法——商群满足条件推出原来群中性质. 归纳步骤. 假设 m<n 为真，证明对于 n 为真. 设|G| = n, 取 a∈G, a ≠ e, 寻找 p 阶元. ① p 整除 |a|, 则 a p a| |/ 为 p 阶元. ② p 不整除 |a|, 令 H = <a>, 构造 G/H, |G/H| = m, p 整除 m. G/H 中有 p 阶元 Hb, 导出 b 与 a 的关系 (Hb)p = H ⇒ bp∈H ⇒ bp = at (b|a|)p=e⇒b|a|为 p 阶元 ( b|a|=e ⇒ (Hb)|a|=H ⇒ p | |a| ) 商群的性质