17.6正规子群与商群 ■正规子群及判定 定义 判别定理 判别法 商群 定义及其实例 性质
17.6 正规子群与商群 正规子群及判定 定义 判别定理 判别法 商群 定义及其实例 性质
正规子群及其判定 正规子群:KG,且V∈G,aH=Ha.记为HsG 判定定理:N≤G,则下述条件等价 (1)N是G的正规子群 (2)Vg∈G,gNg (3)Vg∈G,vn∈N,gng∈N 证:(1)→(2):gN=Ng→gNg=N (2)→(3):gng∈g N (3)→(1):ng∈Ng→n∈N2g∈G→gng∈N→ng∈gN 判定方送8n∈gn∈N∈G→geN→geNg (1)判定定理 (2)N千N是G的唯一t阶子群 (3)指数为2的子群
正规子群及其判定 正规子群： H≤ G,，且 ∀ a ∈ G，aH=Ha. 记为 H ⊴ G. 判定定理： N≤ G, 则下述条件等价 (1) N 是 G 的正规子群 (2) ∀ g ∈ G, gNg− 1 = N (3) ∀ g ∈ G, ∀ n ∈ N, gng− 1 ∈ N 证：(1) ⇒(2): gN = Ng ⇒ gNg− 1 = N (2) ⇒(3): gng− 1 ∈gNg−1 = N (3) ⇒(1): ng ∈Ng⇒ n ∈ N,g− 1 ∈ G⇒g− 1 ng ∈ N ⇒ng ∈gN gn ∈gN⇒ n ∈ N,g ∈ G⇒gng− 1 ∈ N⇒gn ∈Ng 判定方法 (1) 判定定理 (2) | N|= t, N 是 G 的唯一 t 阶子群 (3) 指数为 2 的子群
证明 N是G的t阶子群,且是唯一的t阶子群,则N是 G的正规子群 证:任取g∈G, gNg<G,且gNgl=M,从而得 到gNg1=N,因此N是正规的. N是G的子群,且|G:N=2,则N是G的正规子群 证:任取g∈G,若g∈N,则gN=N=Ng;若g≤N,则 gN=G-N=Ng,因此N是正规的
证明 N是G的 t 阶子群，且是唯一的 t 阶子群，则N是 G的正规子群. 证：任取g∈G, gNg-1≤G, 且|gNg-1|=|N|，从而得 到 gNg-1=N，因此N是正规的. N是G的子群，且[G:N]=2, 则N是G的正规子群. 证：任取g∈G, 若g∈N, 则gN=N=Ng；若g∉N, 则 gN=G-N=Ng, 因此N是正规的
商群定义 商群GH={Ha|a∈G} hahb= hab 说明: 良定义性质: H=x,Hb=→Hb=Hxy 商群GH就是商代数 akb仝H=mbab∈H arb. cRd acrid aRb→a-1Rb-1
商群 G/H = { Ha | a∈G } HaHb = Hab 说明： 良定义性质： Ha=Hx, Hb=Hy ⇒ Hab=Hxy 商群 G/H 就是商代数 aRb ⇔ Ha=Hb ⇔ ab−1∈H aRb, cRd ⇒ acRbd aRb ⇒ a−1Rb−1 商群定义
商群的性质 性质:|G/H=|GH,商群的阶是G的因子 保持群G的性质ε交换性,循环性等. 例1G为Abel群,|=n,素数p整除n,则G中有p阶元. 证明思路:归纳法——商群满足条件推出原来群中性质 归纳步骤。假设m<n为真,证明对于n为真 设闻G=n,取a∈G,a≠e,寻找p阶元 ①p整除a,则ap为p阶元 ②p不整除la,令H=<m,构造G/H,GmH=m,p整除n G/H中有p阶元b,导出b与a的关系 (Hby=H→b∈H→b=d (by=e→b为p阶元(b=e→(Hb)=H→p|l)
性质：|G/H|=[G:H]，商群的阶是|G|的因子 保持群 G 的性质：交换性，循环性等. 例 1 G 为 Abel 群，|G| = n,素数 p 整除 n, 则 G 中有 p 阶元. 证明思路：归纳法——商群满足条件推出原来群中性质. 归纳步骤. 假设 m, 构造 G/H, |G/H| = m, p 整除 m. G/H 中有 p 阶元 Hb, 导出 b 与 a 的关系 (Hb)p = H ⇒ bp∈H ⇒ bp = at (b|a|)p=e⇒b|a|为 p 阶元 ( b|a|=e ⇒ (Hb)|a|=H ⇒ p | |a| ) 商群的性质
群的同态与同构 定义∫为G1到G2的同态当且仅当 G1-G2,且xy∈G1,fxy)=fx)/() 实例:(1)整数加群的自同态: f(x)=cx,c为给定整数 (2)模n加群的自同态 fp(x =(px)modn, p=0,1,., i (3)G1=,G2=,G1到G2的满同态 f: ZZn,f(=(x)modn 说明:将群看成代数系统,则同态∫满足: fe1)=e2,fx)=(x)-1
定义 f 为 G1到 G2 的同态当且仅当 f:G1→G2, 且∀x,y∈G1，f(xy)=f(x)f(y) 实例: (1) 整数加群的自同态： fc(x)=cx，c 为给定整数 (2) 模 n 加群的自同态： fp(x)=(px)modn, p=0,1,…,n−1 (3) G1=,G2=,G1到 G2的满同态 f:Z→Zn, f(x)=(x)modn 说明：将群看成代数系统，则同态 f 满足： f(e1)=e2 ，f(x−1)=f(x)−1 群的同态与同构
同态映射的性质 同态保持元素的性质 fe1)=e2,八x)=jx),∫将生成元映到生成元 f(a)整除{a,同构条件下f(a)=| 同态保持子代数的性质 压G1→f(H≤G2 HsG,∫为满同态,f(H)sG2 同态核的性质,kerf={x|xe∈G,(x)=e2} kef={en}分∫为单同态 kerfaG1,Vab∈G1,f(a)f(b)分 aker= kerf 同态基本定理 (1)H为G的正规子群,则Gm是G的同态像 (2)若G为G的同态像(fO)=G”),则G/ kerf=G
同态保持元素的性质 f(e1)=e2，f(x−1)=f(x)−1，f 将生成元映到生成元 |f(a)| 整除 |a|，同构条件下|f(a)| = |a| 同态保持子代数的性质 H≤ G1 ⇒ f(H)≤ G2 H⊴G1, f 为满同态，f(H)⊴G2 同态核的性质, kerf = { x | x∈G, f(x)=e2 } kerf={e1} ⇔ f 为单同态 kerf⊴G1，∀a,b∈G1, f(a)=f(b) ⇔ akerf = bkerf 同态基本定理 (1) H 为 G 的正规子群，则 G/H 是 G 的同态像 (2) 若 G’为 G 的同态像（f(G)=G’），则 G/kerf ≅G’. 同态映射的性质
同态性质的证明 证明 (1)kerf< G1 (2)Va,b∈G1,fa)=f(b)分 kerf=bker 证: (1)显然kerf非空.Va,b∈kerf, fab)=f(afb)=e2e2=e2=ab Eker kerf为G1的子群,下面证明正规性 !g∈G1,va∈kerf, fgag)=fof(af(o)=f(gf(o)f(e1=e2 (2)fa)=f(b)分fa)(b)=e2分fab)=e2 冷ab∈kerf< aker= kerf
证明 (1) kerf⊴ G1 (2) ∀a,b∈G1, f(a)=f(b) ⇔ akerf = bkerf 证： (1) 显然 kerf 非空. ∀a,b∈kerf, f(ab−1) = f(a)f(b)−1 = e2e2−1=e2 ⇒ ab−1∈kerf kerf 为 G1 的子群，下面证明正规性. ∀g∈G1, ∀a∈kerf, f(gag−1) = f(g)f(a)f(g−1)= f(g)f(g−1) = f(e1)=e2 (2) f(a)=f(b) ⇔ f(a)–1f(b)=e2 ⇔ f(a−1b)=e2 ⇔ a −1b∈kerf ⇔ akerf=bkerf 同态性质的证明
自同态与自同构 EndG:G的自同态的集合 AutG:G的自同构的集合 InnG:G的内自同构的集合 f:G→G,fa)=xax1 关系: EndG为独异点 AutG为群 InnG为AutG的正规子群 I属于InG
EndG：G 的自同态的集合 AutG：G 的自同构的集合 InnG：G 的内自同构的集合 fx：G→G, fx(a)=xax−1 关系： EndG 为独异点 AutG 为群 InnG 为 AutG 的正规子群 IG=fe 属于 InnG 自同态与自同构