第十七章群 群的定义与性质 子群 ■循环群 变换群和置换群 群的分解 ■正规子群和商群 ■群的同态与同构 ■群的直积
1 第十七章 群 群的定义与性质 子群 循环群 变换群和置换群 群的分解 正规子群和商群 群的同态与同构 群的直积
171群的定义与性质 群的定义 定义与实例 等价定义 相关术语 群的性质 幂运算规则 群方程有唯一解 消去律 运算表的置换性质 元素的阶的性质 习题分析
2 17.1 群的定义与性质 群的定义 定义与实例 等价定义 相关术语 群的性质 幂运算规则 群方程有唯一解 消去律 运算表的置换性质 元素的阶的性质 习题分析
半群与群 广群 二元运算 封闭性 结合律 交换律 半群 交换半群 单位元 独异点一交律交换独异点 每个元 实例 Kein四元群 可逆 生成元 群 交换律 Abel群 循环群 有限个元素 有限群_实例 n元置换群
3 半群与群 半群 群 独异点 Abel群 循环群 n元置换群 广群 二元运算 封闭性 结合律 单位元 每个元 可逆 交换半群 交换律 交换律 交换独异点 交换律 生成元 有限个元素 有限群 实例 Klein四元群 实例
群的定义 可以将群看成代数系统 定理1(等价定义),可结合,若存在右单位元 e,且每个元素a相对于e存在右逆元d,则G是群 证明证e为左单位元∈G e=e(e为右单位元) →(a)=(an)→(ea)d=ar →C=a(右乘的右逆元) 证d为a的左逆元,即a=(a)=d” a=ea a)(- a(a'a) -e=(
4 群的定义 可以将群看成代数系统 定理1 (等价定义) , ∘可结合，若存在右单位元 e，且每个元素 a 相对于e 存在右逆元a’，则G是群 证明 证e为左单位元. ∀a∈G, ee = e (e为右单位元) ⇒ e(aa’) = (aa’) ⇒ (ea)a’ = aa’ ⇒ ea = a (右乘a’的右逆元) 证 a’为 a 的左逆元，即 a = (a’)’ = a’’ a’’ = ea’’ = (aa’)a’’ = a(a’a’’) = ae = a
群的术语 平凡群只含单位元的群{e 交换群Abel群 有限群与无限群 群G的阶G的基数,通常有限群记为 元素a的n次幂 n=0 a"saa n>0 (a2 m=-n,n<0 元素a的阶a使得d=e成立的最小正整数k 说明:有限群的元素都是有限阶,为群的阶的因子; 反之,元素都是有限阶的群不一定是有限群
5 平凡群 只含单位元的群 {e} 交换群 Abel 群 有限群与无限群 群 G 的阶 G 的基数，通常有限群记为|G| 元素 a 的 n 次幂 ⎪⎩ ⎪⎨⎧ = − = = − − ( ) , 0 0 0 1 1 a m n n a a n e n a m n n 元素 a 的阶 |a|：使得 ak=e 成立的最小正整数 k 说明：有限群的元素都是有限阶，为群的阶的因子； 反之，元素都是有限阶的群不一定是有限群. 群的术语
群的性质1 定理2幂运算规则 (ab)=ba Salt im nm 若G为Abel群,则(ab)y=bn 说明: 等式1和2证明用到逆元定义和唯一性 等式3和4的证明使用归纳法并加以讨论 等式2可以推广到有限个元素之积
6 定理 2 幂运算规则 (a-1)-1=a (ab)-1=b-1a-1 a n a m =a n+m (an)m=anm 若 G 为 Abel 群，则(ab)n=anbn 说明： 等式 1 和 2 证明用到逆元定义和唯一性 等式 3 和 4 的证明使用归纳法并加以讨论 等式 2 可以推广到有限个元素之积. 群的性质 1
群的性质2 定理3方程a=b和y=b在群G中有解且有唯一解 证a1b是ac=b的解 假设c为解,则 c=ec=(ara)c=a()=a'b 定理4(逆命题)设G是半群,如果对任意a,b∈G,方程 a=b和y=b在G中有解,则G为群 证找右单位元和任意元素的右逆元 任取beG,方程bx=b的解记为e ⅤeG,yb=a的解记为c,即cb=a ae=(cbe=c(be=cb e为右单位元 Ⅴa∈G,方程axc=e有解,得到a的右逆元
7 群的性质 2 定理3 方程 ax=b 和 ya=b 在群 G 中有解且有唯一解. 证 a-1b 是 ax=b 的解. 假设 c 为解，则 c = ec = (a-1a)c =a-1(ac) = a-1b 定理4 (逆命题) 设G是半群，如果对任意 a,b∈G，方程 ax=b 和 ya=b 在 G 中有解，则 G 为群. 证 找右单位元和任意元素的右逆元. 任取 b∈G,方程 bx=b 的解记为 e. ∀a∈G, yb=a 的解记为 c, 即cb = a. ae = (cb)e = c(be) = cb =a e为右单位元. ∀a∈G, 方程 ax=e 有解，得到 a 的右逆元
群的性质3 定理5消去律mb=ac→b=c,b=ca→b=n 定理6设G是有限半群,且不含零元若G中成立消去律, 则G是群 证设G={a1a2…,an,任取a∈G, aG={j=1,2,…,叶 由封闭性,aGcG,假设a不是群,因为有0;也不是群,无限
8 群的性质 3 定理5 消去律 ab= ac ⇒ b=c, ba = ca ⇒b=a 定理6 设G是有限半群，且不含零元. 若G中成立消去律， 则G是群. 证 设 G={a1, a2, … , an}，任取ai∈G， aiG ={ aiaj | j =1, 2, … , n} 由封闭性, aiG⊆G, 假设 |aiG|不是群，因为有0；也不是群，无限
群的性质4 定理7有限群G的运算表中每行、每列都是G的置换 aG=G和G=G 说明运算表的行列构成置换的不一定是群,反例 012 0120 1012 2201 思考: 3元集上的不同的二元运算有多少个? 3元集上二元运算表有多少个,使得每行每列能够构成置换? 3元集上有多少个不同的运算表代表群? 3元集上同构的群有多少个?
9 定理 7 有限群 G 的运算表中每行、每列都是 G 的置换. aG=G 和 Ga=G 说明 运算表的行列构成置换的不一定是群，反例： 思考： 3 元集上的不同的二元运算有多少个？ 3 元集上二元运算表有多少个，使得每行每列能够构成置换？ 3 元集上有多少个不同的运算表代表群？ 3 元集上同构的群有多少个？ 群的性质 4 1 2 0 0 1 2 2 0 1 0 1 2 0 1 2
群的性质5 定理8G为群,a∈G,且l=r,则 (1)a=e台r|k (2)a=a! (3)若G=n2则r 证(1)充分性.ark=n7=()=e=e 必要性.k=r+i,l∈Z,i∈{0,1,,r-1 →=m=h=m→=0→r|k (2)a)=e→(l存在令l则t:同理r|t (3)假设pn,令G"={,m2,…,n(},则G中元素两两不 同,否则与=r矛盾.从而G">n,与G≌G矛盾
10 群的性质 5 定理8 G为群，a∈G, 且|a|=r, 则 (1) ak =e ⇔ r | k (2) |a|=|a-1| (3) 若|G| = n, 则 r≤n. 证 (1) 充分性. ak = arl =(ar)l=el = e 必要性. k=rl+i, l∈Z, i∈{0,1,…,r-1} ⇒ e = ak = arl+i = ai ⇒ i=0 ⇒ r | k (2) (a-1)r=e ⇒ |a-1| 存在, 令|a-1|=t, 则 t | r. 同理 r | t. (3) 假设 r>n, 令G’={e,a,a2, …, ar-1}, 则G’中元素两两不 同，否则与|a|=r矛盾. 从而|G’|>n，与G’⊆G矛盾