153代数系统的同态与同构 ■同态映射的概念 同态映射定义 同态映射分类 实例 ■同态映射的性质 同态映射的合成仍旧是同态映射 同态像是映到代数系统的子代数 同态像中保持原有代数系统的运算性质
1 15.3 代数系统的同态与同构 同态映射的概念 同态映射定义 同态映射分类 实例 同态映射的性质 同态映射的合成仍旧是同态映射 同态像是映到代数系统的子代数 同态像中保持原有代数系统的运算性质
同态映射的定义 定义设 V=与V2x 是同类型的代数系统,对于1,2,,r,0,为k,元运算,函 数f:A->B,如果对于所有的运算o与0 f(0(x1,x2”,xk,)=0(f(x1),f(x2)…,f(xk) Vx1,x2y…,xk,∈A 则称∫是代数系统V1到V2的同态映射,简称同态
2 同态映射的定义 x x x A f o x x x o f x f x f x i i i k i k i k ∀ ∈ = , ,..., ( ( , ,..., )) '( ( ), ( ),..., ( )) 1 2 1 2 1 2 V1 = 与 V2 = 定义 设 是同类型的代数系统，对于 i=1,2, …,r，oi 为 ki 元运算, 函 数 f:A → B, 如果对于所有的运算 oi 与 oi ’ 则称 f 是代数系统 V1 到 V2 的同态映射，简称同态
同态映射的定义(续) >·(x2 →·f(x) f(o, (X, 2)=
3 同态映射的定义（续）
几点说明 1.对于二元运算、一元运算、0元运算采用下述表示: f(xoy)=∫(x)p’f(y) f(4x)=A∫(x) f(a=a 2.同态映射必须对所有的运算保持等式,包括0元运算 在内,例如 06/a,b∈R ∫:A→>A 0 b 00 则厂不是的自同态,因为不保持0元运算7(0)-0
4 几点说明 1. 对于二元运算、一元运算、0元运算采用下述表示： 2. 同态映射必须对所有的运算保持等式，包括0元运算 在内，例如 则 f 不是V的自同态，因为不保持0元运算 ( ) ' ( ) ' ( ) ( ) ( ) ' ( ) f a a f x f x f x y f x f y = = = ∆ ∆ o o = → ∈ > = =< ⋅ 0 0 0 ) 0 0 : , ( | , 0 0 , 0 1 1 0 , , a b a f A A f a b R b a V A A ≠ 0 1 1 0 ) 0 1 1 0 f (
同态映射的分类 特殊的同态映射 ■按映射性质分为: 单同态 满同态v1~V2 同构V1=V2 ■按载体分:自同态 ■综合:单自同态、满自同态、自同构
5 同态映射的分类 特殊的同态映射 按映射性质分为： 单同态 满同态 V1 ∼ V2 同构 V1 ≅ V2 按载体分：自同态 综合：单自同态、满自同态、自同构
同态映射的实例 (1)V=,f:zz,f(x)=cx,c为给定整数 c=0,零同态;C=±1,自同构;其它c,单自同态 (2)=,fn:26→)26,fx)=px)mod6, p=0,1,2,3,4,5 P=0,G零同态;P=1,f恒等映射,自同构 p=2,2={0,0>,,2,4>,3,0>,4,2>,54>}, P=3,f3={0,0>,1,3>,2,0>,3,3>,4,0>,5,3 p=4,f4={0,0>,1,>,2,2>,3,0>,4,4>,5,2>} P=5,={,,2,4,3,3>,4,2>,<5,1}自同构 (3)可以推广到f:ZnZn恰好存在n个自同态 f(x⊕y)=(p(xy)modn (px)modn e (py)modn=f,()efv)
6 同态映射的实例 (1) V = , fc:Z→ Z, fc (x) = cx, c为给定整数 c = 0, 零同态; c = ± 1，自同构; 其它 c, 单自同态 (2) V = , fp:Z6 → Z6, fp (x) = (px) mod 6, p = 0,1,2,3,4,5 p = 0, f0 零同态; p = 1, f1 恒等映射，自同构 p = 2, f2 = {,,,,,}, p = 3, f3 = {,,,,,} p = 4, f4 = {,,,,,} p = 5, f5 = {,,,,,}自同构 (3) 可以推广到 fp:Zn → Zn, 恰好存在 n 个自同态 fp (x ⊕y) = (p (x ⊕y))mod n = (px)mod n ⊕ (py)mod n = fp (x ) ⊕fp (y)
同态性质 ■同态的合成仍旧是同态 ■同态像是映到的代数系统的子代数 ■满同态映射(在同态像中)保持原代数系 统的下述性质: 交换、结合、幂等、分配、吸收 单位元、零元、逆元 消去律不一定保持
7 同态性质 同态的合成仍旧是同态 同态像是映到的代数系统的子代数 满同态映射（在同态像中）保持原代数系 统的下述性质： 交换、结合、幂等、分配、吸收 单位元、零元、逆元 消去律不一定保持
同态的合成仍旧是同态 命题若fV1→>V2,g:V2→>V3为同态映射,则gf:V1》V3也 为同态映射. 证根据集合论的定理,g%V1→V3为映射 任取V1,V2,3中一组对应的运算01,02,o3,设为k元运算 Vx 19~2 xk∈1, gf(01(x1,x2,…,x)=g(f(01(x1,x2,…,x1)) g(02(fx1),f(x2),,fxk))) 03(g((x1),g((x2),…,((xk)) 03(g(x1),g°f(x2) (x)) 由于运算的任意性,命题得证 推论代数系统的同构具有自反、对称、传递的性质
8 同态的合成仍旧是同态 命题 若 f:V1 → V2, g:V2 → V3为同态映射，则 g ∘f:V1 → V3 也 为同态映射. 证 根据集合论的定理， g ∘f: V1 → V3为映射. 任取 V1,V2,V3中一组对应的运算 o 1,o 2,o 3, 设为 k 元运算. ∀ x 1, x 2, … , xk ∈ V1, g ∘f ( o 1 (x 1, x 2, …, xk)) = g ( f( o 1 (x 1, x 2, …, xk) ) ) = g (o 2( f(x 1), f(x 2), …, f(xk) ) ) = o 3( g (f(x 1)), g (f(x 2)), …, g (f(xk)) ) = o 3( g ∘f(x 1), g ∘f(x 2), …, g ∘f(xk) ) 由于运算的任意性，命题得证. 推论 代数系统的同构具有自反、对称、传递的性质
同态像是映到代数系统的子代数 定理1设xA,01,02,…,0>与V2= 是同类型的代数系统,对于,2,…,0与0;是k;元运算, fA->B是V1到V2的同态,则f(4)关于V2中的运算构成代 数系统,且是V2的子代数,称为V1在∫下的同态像 证f4)是B的非空子集证明八4)对v2中的所有运算封闭 若V中有0元运算n,则v存在0元运算a,fa)=a.因此 d'∈几A).考虑V2中任意非0元运算o(k元运算任取几4)中 元素y12…2存在x1x2…x使得fx)=p12…,k,那么 0(V1y2…yk)=0((x1),f(x2)…,f(xk)=f((x1,x2…xk) 显然上述结果属于八4)
9 同态像是映到代数系统的子代数 是同类型的代数系统，对于 i=1,2,…, r，oi 与 oi ′是 ki 元运算, f:A → B 是 V1 到 V2的同态，则 f(A )关于 V2中的运算构成代 数系统，且是 V2的子代数，称为 V1 在 f 下的同态像. 证 f(A ) 是 B 的非空子集.证明 f(A) 对 V2中的所有运算封闭. 若 V2中有 0元运算 a ′ , 则 V1存在 0元运算 a, f( a)= a′. 因此 a′∈f(A). 考虑 V2中任意非 0元运算 o′( k元运算). 任取 f(A ) 中 元素 y 1,y 2,…,y k,存在 x 1,x 2,…,xk使得 f(xi)=yi, i=1,2,…, k, 那么 '( , ,..., ) '( ( ), ( ),..., ( )) ( ( , ,..., )) 1 2 k 1 2 k o x1 x2 xk o y y y = o f x f x f x = f 显然上述结果属于f(A). 定理 1 设 V1 = 与 V2 =
满同态保持原代数性质 定理2设 V≤与V2= 是同类型的代数系统,函数FA-→B是V到V2的满同态, (1)V中运算保持v中相应运算的下述性质: 交换、结合、幂等、分配、吸收 (2)V2中保持V中的单位元、零元、逆元,即 fe)是v2中单位元,c为v中相应运算单位元 f的是V2中零元,的为V中相应运算零元 fa4)是fa)的逆元
10 满同态保持原代数性质 定理 2 设 V1 = 与 V2 = 是同类型的代数系统，函数 f:A → B 是 V1 到 V2的满同态， (1) V2中运算保持 V1中相应运算的下述性质： 交换、结合、幂等、分配、吸收 (2) V2中保持 V1中的 单位元、零元、逆元，即 f( e ) 是 V2中单位元， e 为 V1中相应运算单位元 f( θ) 是 V2中零元， θ为 V1中相应运算零元 f( a-1 ) 是 f( a )的逆元