41 第四章 线性方程组
线性方程组 第四章
本节讨论线性方程 a1x1+a12x2+…+a1xn=b12 asIx + as2x2 +.. asrn =bs 的消元法
§1 线性方程组的Gauss消元法 本节讨论线性方程 a11x1 + a12x2 + …+ a1nxn =b1 , a21x1 + a22x2 + …+ a2nxn =b2 , as1x1 + as2x2 + …+ asnxn =bs 的消元法. (1.1) ………………
先看例子 2x1-x2+3x3=1, 例11解方程组:14x1+2x2+5x5 2x1+2x3=6 解:第二个方程减去第一个方程的2倍,第三 个方程减去第一个方程,得 2x1-x+3x2=1 4x2-x3=2,同解方程组 x2-x3=5;
先看例子 例1.1 解方程组： 2x1−x2+3x3=1, 4x1+2x2+5x3=4, 2x1 +2x3=6. 解：第二个方程减去第一个方程的2倍，第三 个方程减去第一个方程，得 2x1− x2 + 3x3=1, 4x2 − x3=2， x2 − x3=5; 同解方程组
交换第二、三个方程 2x1-x2+3x3=1 4x 第三个方程减去第二个方程的4倍 2x1-x2+3x2=1 18
交换第二、三个方程 2x1−x2+3x3=1, x2 − x3=5, 4x2 − x3=2; 第三个方程减去第二个方程的4倍 2x1−x2+3x3= 1, x2 − x3= 5, 3 x = −18; 3
第三个方程乘以 2x1-x2+3x2=1 第二个方程加第三个方程 2x1-x2+3x3=1, 6
第三个方程乘以 3 1 2x1−x2+3x3= 1, x2 − x3= 5, x3= −6; 第二个方程加第三个方程 2x1−x2+3x3= 1, x2 = − 1, x3= −6;
第一个方程加第二个方程再减第三个方程的3倍 2x 18 2x1-x2+3x3=1 X 第一个方程乘以
第一个方程加第二个方程再减第三个方程的3倍 2x1 = 18, x2 = − 1, x3= −6; 第一个方程乘以 2 1 x1 = 9, x2 = − 1, x3 = −6. 2x1−x2+3x3= 1, x2 = − 1, x3= −6;
在上述求解过程中,不难看出,我们实际上 反复对方程组进行如下三个基本变换: 1.用一非零数乘某一方程, 2.把一个方程的倍数加到另一个方程, 3.互换两个方程的位置 定义1.1上述三种变换称为线性方程组的初等变换 定理11方程组经初等变换变成同解方程组
在上述求解过程中，不难看出，我们实际上 反复对方程组进行如下三个基本变换： 1. 用一非零数乘某一方程， 2. 把一个方程的倍数加到另一个方程， 3. 互换两个方程的位置. 定义1.1 上述三种变换称为线性方程组的初等变换. 定理1.1 方程组经初等变换变成同解方程组
下面考虑一般线性方程组(11) 先检查x1的系数如果全为零则(11)对x1没有 限制x可任意取值即(1.1)可看作x2x3…,xn 的n-1元线性方程组否则,x的系数不全为零 则可用初等变换3,使(1.1)变成第一个方程中x1系 数不为零的同解方程组故可不妨令a1≠0 利用变换2.将第i个方程加上第一个方程的 (--)倍,于是(1.1)变为
下面考虑一般线性方程组(1.1): 先检查 x1 的系数，如果全为零，则 (1.1) 对 x1 没有 限制. x1 可任意取值. 即 (1.1) 可看作 x2 , x3 , …, xn 的 n−1 元线性方程组. 否则， x1的系数不全为零， 则可用初等变换3，使 (1.1) 变成第一个方程中 x1 系 数不为零的同解方程组. 故可不妨令a110. 利用变换2. 将第 i 个方程加上第一个方程的 ( ) , 11 1 倍 a ai − 于是(1.1)变为
x1taix,.. .+alx=b a122x2+…+a2xxn=b2, as2x2+.ta srn=b 其中al=an+ay(-)=an-an1a1/a1 6=6, +6
a11x1+a12x2+…+a1nxn =b1 , a 1 22 x2+…+a 1 2nxn =b 1 2 , a 1 s2x2+…+a 1 snxn =b 1 s . (1.2) 其中 a 1 ij =aij +a1j ( ) 11 1 a ai − = aij−ai1 a1j /a11, b 1 i =bi +b1 ( ) 11 1 a ai − = bi−ai1 b1 /a11
因此解方程组(1.1)就归结于解n1元方程组 a'ox2..tamm=b 2 (1.3) X2+.+a b 也即(1.1)有解一→(1.2)有解←→(1.3)有解 再对(1.3)作类似变换,易知,最后方程组变成 同解的阶梯形方程组,为方便起见,不妨设所 得方程组为
因此解方程组 (1.1) 就归结于解n−1元方程组 a' 22x2+…+a' 2nxn =b' 2 a' s2x2+…+a' snxn =b' s (1.3) 也即 (1.1) 有解 再对 (1.3) 作类似变换，易知，最后方程组变成 同解的阶梯形方程组，为方便起见，不妨设所 得方程组为 (1.2) 有解 (1.3) 有解