第六章线性变换
第六章 线性变换
§1线性变换的定义 例11设R是实数城。考虑最简单而又最基 本的线性函数 y=f(x)=ax, 其定义域和值域都是实数城R,即对R中每 个实数x,线性函数f使其对应一个函数值ax, 并且具有如下性质 (1)f(x1+x2)=f(x)+f(x2) (2) f(kx)=kf(x)
§1 线性变换的定义 例 1.1 设 R 是实数域。考虑最简单而又最基 本的线性函数： y = f (x) = ax, 其定义域和值域都是实数域 R，即对 R 中每一 个实数 x，线性函数 f 使其对应一个函数值 ax， 并且具有如下性质： (1) ( ) ( ) ( ), 1 2 1 2 f x + x = f x + f x (2) f (kx) = kf(x)
例1.2考虑二维向量空间R,R2的变换 o:a=(x,y)I(xcos0-ysin 8, x cos 0+ysin 8), 其中θ∈R是任意一个角度 σ也具有线性函数的两个性质(1),(2) (1)o(a+B)=0(a)+0(B) (2)0(ko)=ko(a) σ称为旋转变换
例 1.2 考虑二维向量空间 R2 ，R2 的变换： (x cos − y sin , x cos + y sin )， 其中 R 是任意一个角度。 (1) σ ( + ) =σ () +σ (), 也具有线性函数的两个性质(1)，(2)： (2) σ (k) = kσ (). 称为旋转变换。 σ ： = (x, y) |→
例13考虑Rxn,即R上nxn维矩阵 构成的n2维向量空间。它的转置 变换 t:A|A,VA∈R" 同样具有线性函数的两个性质(1)和(2) (1)τ(A4+B)=τ(4)+τ(B) (2)(kA)=k(A)
例 1.3 考虑 Rn×n ，即 R 上 n×n 维矩阵 构成的 n 2 维向量空间。它的转置 变换： n n A A A R τ ： |→ ' ， (1) τ(A+ B) =τ(A)+τ(B), 同样具有线性函数的两个性质(1) 和 (2)： (2) τ(kA) = kτ(A)
定义11设是R上任向量空间, σ是V的一个变换,如果满足 (1)0(a+B)=0(a)+0(6), (2)(ka)=ko(a),Va,B∈V,k∈R 则称σ是V的一个线性变换。 注:我们通常用希了母o,τ,p, 表示线性变换
定义1.1 设 V 是 R 上任一向量空间， 是 V 的一个变换，如果满足 则称 是 V 的一个线性变换。 注：我们通常用希了母 ，，ρ，… 表示线性变换。 (1) σ ( + ) =σ () +σ (), (2) σ (k) = kσ (), , V, k R
例1.4设V是任一向量空间,考虑V的如 下变换 o:a|>0,零变换简记为0 τ:C|→>C. 恒等变换简记为I 可以看出σ,τ是V的线性变换
例 1.4 设 V 是任一向量空间，考虑 V 的如 下变换： |→ 0, |→. 可以看出 ， 是 V 的线性变换. : : 零变换 简记为 恒等变换 简记为 l
命题11设是向量空间v的一个变换, σ为线性变换,当且仅当 0(k11+k2a2)=kq()+k2o(ax2) 对任何a1,a2∈V,k,k2∈R成立
σ( ) σ( ) σ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 k +k = k +k 命题1.1 设 是向量空间 V 的一个变换， 为线性变换，当且仅当 对任何1 ,2 V，k1 ,k2 R成立
证:必要性的证明很显然,这里仅证充分性 根据定义,只需证(1),(2)式成立。 1)取k1=k2=1,则 0(ax1+a2)=0(a1)+o(a2) (2)取k1=0,k2=k任意,有 0(ka2)=0(0a1+ka2) 0(a1)+0(a2)=ko(a2) 因此σ是线性变换
证：必要性的证明很显然，这里仅证充分性， 根据定义，只需证 (1)，(2) 式成立。 (1) 取 k1 = k2 = 1，则 σ( ) σ( ) σ( ); 1 +2 = 1 + 2 (2) 取 k1 =0， k2 = k 任意，有 σ( ) 2 k 因此 是线性变换。 0σ( ) σ( ) 1 2 = + k σ( ). 2 = k σ(0 ) 1 2 = + k
§2线性变换的表示与运算 在向量空间,我们试图将每个线性变换用 组数具体地表示出来,这样,就使得n维向量空 间上的线性变换与n阶矩阵联系起来,进而使得 线性方程组的理论成为讨论有限维向量空间的线 性变换问题的有力代数方法,同时,线性变换和 矩阵一样具有相应的代数运算
在向量空间，我们试图将每个线性变换用一 组数具体地表示出来，这样，就使得 n 维向量空 间上的线性变换与 n 阶矩阵联系起来，进而使得 线性方程组的理论成为讨论有限维向量空间的线 性变换问题的有力代数方法，同时，线性变换和 矩阵一样具有相应的代数运算。 §2 线性变换的表示与运算
例2.1在二维空间中,绕原点的旋转变换 0: (x,D(xcosa-ysin a, x cos a+ ysin a), 其中σ(x,y)=(x,y)A, cos a -SIn C 0() sin a cos a 2=(x,y) 6 记5=(rcos,rsn⊙ o(5=(rcos(a+0), rsin(a+0)
x y o 例2.1 在二维空间中，绕原点的旋转变换： 其中 . A = ：(x, y) |→ (xcos − ysin, xcos + ysin)， σ ((x, y)) = (x, y)A' ， α = (x, y) σ() sin cos −sin cos θ 记 = (r cos,rsin ), σ ( ) = (r cos( + ),rsin( + ))