习题四 在以下各题中,除题目中已有说明的外,可测函数的积分都是关于给定的测度空间 (X,,4)的 1.设F(x)= 2.x>1 F是由F导出的L-S测度.计算 dμ.其中 f(x)=alo, 0)+blm +cI2l 设A1,…,A是[O,1中的n个 Lebesgue可测集.若每个x∈[0,至少于这 个集中的q个,则必存在某个A,使得m(4)≥2 3.设∫是[0,2z]上的L可测函数并且 D(x)01+1(x)x0,则 fdA 6.证明:()设∫为可测函数若对每个可测集A,均有∫/d≥0,则 f≥0ae. (i).设∫和g是可积函数并且对任意可测集A,成立 「=J.dn则r=gae 7设()为可积函数列,∫为可测函数若imn-d=0.则∫可积 8.设f,fn(m21)为可测函数若1mJ-1=0.,则f→ 9.设∫为有限测度空间上的可测函数.则∫可积的充要条件是对任给的
134 习 题 四 在以下各题中, 除题目中已有说明的外, 可测函数的积分都是关于给定的测度空间 (X , F ,µ) 的. 1. 设 ≥ 0, 则 > 0. ∫A fdµ 6. 证 明 : (i). 设 f 为可测函数 . 若对每个可测集 A, 均 有 ≥ 0, ∫A f dx 则 f ≥ 0 a.e. (ii). 设 f 和 g 是可积函数并且对任意可测集 A , 成 立 ∫ ∫ = A A fdµ gdµ. 则 f = g a.e.. 7. 设( ) n f 为可积函数列, f 为可测函数. 若 lim − = 0. ∫ →∞ f n f dµ n 则 f 可积. 8. 设 f , f (n ≥ 1) n 为可测函数 . 若 lim − = 0, ∫ →∞ f n f dµ n 则 f f . n →µ 9. 设 f 为有限测度空间上的可测函数. 则 f 可积的充要条件是对任给的
E>0,存在k>0.,使得J/d0和a>1,使得 H(/≥A) 1>0. 证明∫可积 15.设f,Jfn(n≥1)为可积函数.若对每个可测集A均有 ∫,4≤Jmd,n21 并且imJd=J,/dm,0则1一→ 设,(n21)为可测函数f-“→若supdf.证明 ∫ fds lim∫,d 135
135 ε > 0, 存在 k > 0, 使得 . { } µ 0和α > 1, 使得 ({ ≥ }) ≤ , λ > 0. λ µ λ α M f 证明 f 可积. 15. 设 f , f (n ≥ 1) n 为可积函数 . 若对每个可测集 A 均 有 , 1, ≤ 1 ≥ ∫ f d ∫ f + d n A n A n µ µ 并且 ∫ ∫ = →+∞ A A n n lim f dµ f dµ, 则 . a.e. f f n → 16. 设 f , f (n ≥ 1) n 为可测函数. . a.e. f f n → 若 ∫ < +∞ ≥ sup , 1 f n dµ n 则 f 可积. 17. 设 f , f (n ≥ 1) n 为可测函数 , . a.e. f f n → 若存在可积函数 g , 使 得 f ≤ g a.e.(n ≥ 1), n 则 lim − = 0. ∫ →+∞ f n f dµ n 18. 设{ }n f 是可测函数列, 并且 ∑∫ ∞ = < +∞ 1 . n n f dµ 则∑ ∞ n=1 n f 可积, 并且 . 1 1 µ ∑ µ ∫∑ ∫ ∞ = ∞ = = n n n f n d f d 19. 设 f , f (n ≥1) n 为非负可测函数列, f f . n →µ 证明 ∫ ∫ →∞ f dµ ≤ lim f dµ. n n
20.设级数∑an绝对收敛证明∑an可以表示成(N,P(N,)上一个可积函数 的积分 21.设f,Jn(mn≥1)为非负可积函数,满足fn->∫, lim If, dp=」fd,证明:对任意可测集EcX,成立 lim fnd=sdu 提示注意0≤-fm+f-fn≤2f(n≥1) 22.举例说明在 Fatou引理中,不等号可能成立 23.设{A}是一列可测集并且∑(A1)0 26.设∫是[0,+∞)上的L可积函数,并且∫在[O,+∞)上一致连续.证明 f∫(x)→>0(x>+∞) 27.设∫是[0,1]上的L可积函数.若对任意c(0≤c≤1),总有 fdx=0,则∫=0ae 28.设∫在{a,b上 Riemann可积,g是R上的连续函数证明g(f(x)在[a,b] 上 Riemann可积 29.证明∫(x)=e在[0,+∞)上L可积,并且求其L积分 30.证明 Riemann函数 若 互质 x 0若x是无理数
136 20. 设级数 ∑ ∞ n=1 an 绝对收敛. 证明 ∑ ∞ n=1 an 可以表示成(N,P (N),µ) 上一个可积函数 的积分. 21. 设 f , f (n ≥ 1) n 为非负可积函数 , 满 足 , a.e. f f n → ∫ ∫ = →+∞ lim f dµ f dµ, n n . 证明: 对任意可测集 E ⊂ X , 成立 ∫ ∫ = →+∞ E E n n lim f dµ f dµ. 提示: 注意0 ≤ f − f + f − f ≤ 2 f (n ≥ 1). n n 22. 举例说明在 Fatou 引理中, 不等号可能成立. 23. 设{ } An 是一列可测集并且 ( ) . 1 ∑ < +∞ ∞ n= µ An 证明对几乎所有 x ∈ X , x 只属 于有限个 . An 24. 设 f 是有限测度空间 X 上的可测函数, c ≤ f (x) ≤ d, x ∈ X. 对任意 n ≥ 1, 设c y y y d = 0 < 1 < L < n = 将[c,d] 分成 n 个长度相等的小区间. 证明 lim ({ }). 1 ∫ ∑ 1 1 = − − →∞ = ≤ < n i i i i n fdµ y µ y f y (试将上式与 Riemann 积分的定义比较). 25. 设{ }n f 是有限测度空间(X , F ,µ) 上的可测函数列, 证明 ∫ → + 0 1 dµ f f n n 当且仅当 →0. µ n f 26. 设 f 是 [0, + ∞) 上的 L 可积函数, 并且 f 在 [0, + ∞) 上一致连续. 证明 f (x) → 0 (x → +∞). 27. 设 f 是 [0, 1] 上 的 L 可积函数 . 若对任意 c(0 ≤ c ≤ 1) , 总 有 0, [0, ] = ∫ c f dx 则 f = 0 a.e. 28. 设 f 在[a,b]上 Riemann 可积, g 是 1 R 上的连续函数. 证明 g( f (x)) 在[a,b] 上 Riemann 可积. 29. 证明 x f x e − ( ) = 在[0, + ∞) 上 L 可积, 并且求其 L 积分. 30. 证明 Riemann 函数 = = . , 0 , , 1 ( ) 若 是无理数 若 互质 x m n n m x n f x
在[0,1上是 Riemann可积的 31.当a>0为何值时,函数f(x) sIn x 在[,+∞)上是L可积的 32.设K为[0,1中的 Cantor集.当x∈K时定义f(x)=x2,当x属于[O,1]-K 中长为的开区间时定义f以)、1计算f(x)d 33.设∫和g在[a,b]上 Riemann可积,并且在[a,b]的一个稠密子集上相等.证 明∫和g在[a,b]上积分相等 34.设∫是R上的L可积函数,fO)=0,f(0)存在并且有限证明/(x) R上是L可积的 35.计算f(x)x,其中 若x为有理数 若x为无理数 36.设∫是[0,1]上的单调增加函数,E是[0,1中的L可测集并且m(E)=1.证 明f(x)xs」f(x)d 37.用 Lebesgue积分的性质证明 38.设f(x)=(-1)4n n1x≤-,n=1,2,…,f(0)=0.证明∫在[0,1 是广义 Riemann可积的,但不是 Lebesgue可积的 39.设a<c<b,F(x)=l+(x)又设∫是[a,b]上的有界实值函数证明在 [a,b]上关于FLS可积当且仅当∫在x=c连续.并且当∫在x=c连续时 f(x)dF(x)=f(c) 40.设∫在[a-h,b+是 Lebesgue可积的.证明 提示:利用定理4.5.2 41.设∫是R上的L可积函数,g是R上的有界L可测函数证明函数 I(0=L f(x+og(xdx, tE R
137 在[0, 1]上是 Riemann 可积的. 31. 当α > 0 为何值时, 函数 α x x f x sin ( ) = 在[1, + ∞) 上是 L 可积的. 32. 设 K 为[0, 1]中的 Cantor 集. 当 x ∈ K 时定义 ( ) , 2 f x = x 当 x 属于[0, 1] − K 中长为 n 3 1 的开区间时定义 . 2 1 ( ) n f x = 计算 ( ) . 1 ∫0 f x dx 33. 设 f 和 g 在[a,b]上 Riemann 可积, 并且在[a,b]的一个稠密子集上相等. 证 明 f 和 g 在[a,b]上积分相等. 34. 设 f 是 1 R 上的 L 可积函数, f (0) = 0, f ′(0)存在并且有限. 证明 x f (x) 在 1 R 上是 L 可积的. 35. 计算 ( ) , 1 0 f x dx ∫ 其中 = . , 1 ( ) 3 若 为无理数 若 为有理数 x x x x f x 36. 设 f 是[0, 1]上的单调增加函数, E 是[0, 1]中的 L 可测集并且 m(E) = t. 证 明 ( ) ( ) . ∫0 ∫ ≤ E t f x dx f x dx 37. 用 Lebesgue 积分的性质证明 ∫ ∑ ∞ = − = − 1 0 1 2 . (2 1) 1 ( 1) arctg n n n dx x x 38. 设 ( ) ( 1) , 1 f x n n+ = − , 1, 2, , 1 1 1 < ≤ = L + n n x n f (0) = 0. 证明 f 在[0, 1] 上是广义 Riemann 可积的, 但不是 Lebesgue 可积的. 39. 设 a < c < b, ( ) ( ). [ , ) F x I x = c +∞ 又设 f 是[a,b]上的有界实值函数. 证明在 [a,b] 上关于 F L-S 可积当且仅当 f 在 x = c 连续. 并且当 f 在 x = c 连续时, ∫ = b a f (x)dF(x) f (c). 40. 设 f 在[a − h, b + h] 是 Lebesgue 可积的. 证明 lim ( ) ( ) 0. 0 + − = → ∫ b t a f x t f x dx 提示:利用定理 4.5.2. 41. 设 f 是 1 R 上的 L 可积函数, g 是 1 R 上的有界 L 可测函数. 证明函数 ( ) ( ) ( ) , ∫ 1 = + R I t f x t g x dx t ∈ . 1 R
是R上的连续函数 42.设∫是R上的可积函数,并且对任意具有紧支集的连续函数g,有 f(x)g(x)dx=0.证明∫=0ae 43.设E,F,En∈X×Y,n≥1,x∈X.证明 (1)(UEn)2=U(En)2 (2)(E-F)r=Er-F 44.设(X,A)和(F,B)是两个可测空间,f(x)和g(y)分别是(X,)和 (Y,)上的可测函数.证明h(x,y)=f(x)g(y)是(X×Y,A×)上的可测函数 45.设(Xx,T,)是一完备的a-有限的测度空间,(R,M(R),m)是一维 L测度空间,f(x,1)是(X×R,Mm,xm)上的可测函数.若对几乎所有t∈R f(,1)是-ae.有限的,则对几乎所有x∈X,f(x,)是m-ae.有限的 提示:令A={(x,1):|(x,1)=+},则{t:/(,x)=+}=A1考虑 (m×)A) 46.设(X,A)和(Y,B)是两个可测空间,4是(X×,n×)上的测度令 H1(A)=(A×Y),A∈A 证明:(1)41是(X,)上的测度.(2)若f(x)是(X,)上的可积函数,则 「f(x)d4=J(x) 提示:(2)先考虑特征函数 47.设f(x)和g(y)分别是a-有限测度空间(X,A,p)和 (,,4)上的可积函数证明h(x,y)=f(x)g()是(X×Y,4×B,pxv上的可积函 数,并且 hd(×2)= du,gdp2 48.用Fub定理证明当am≥0或者∑∑|m1|<+∞时,成立 ∑∑am=∑∑ nel nel mmel nme 49.证明 +)A0+x)(1+y)1+x2y)2 计算/=。( dx(0<a<b
138 是 1 R 上的连续函数. 42. 设 f 是 1 R 上的可积函数, 并且对任意具有紧支集的连续函数 g , 有 ( ) ( ) 0. ∫ 1 = R f x g x dx 证明 f = 0 a.e.. 43. 设 E, F, E X Y, n 1, x X. n ∈ × ≥ ∈ 证明 (2) ( ) . (1) ( ) ( ) . 1 1 x x x n x n x n n E F E F E E − = − = ∞ = ∞ = U U 44. 设 (X , A) 和 (Y, B) 是两个可测空间, f (x) 和 g( y) 分别是 (X , A) 和 (Y, B) 上的可测函数. 证明 h(x, y) = f (x)g( y) 是(X ×Y, A ×B) 上的可测函数. 45. 设 (X , F ,µ) 是一完备的 σ − 有限的测度空间, ( , ( ), ) 1 1 R M R m 是一维 L 测度空间, f (x,t) 是 , , ) 1 ( X × R Mµ×m µ × m 上的可测函数. 若对几乎所有 t ∈ 1 R , f (⋅,t) 是 µ − a.e.有 限的, 则对几乎所有 x ∈ X , f (x,⋅) 是m − a.e.有限的. 提 示 : 令 A = {(x,t) : f (x,t) = +∞}, 则 { : ( , ) } . Ax t f t x = +∞ = 考 虑 (m× µ)(A). 46. 设(X , A) 和(Y, B) 是两个可测空间, µ 是(X ×Y, A ×B) 上的测度.令 ( ) ( ), . µ1 A = µ A×Y A∈ A 证明: (1) µ1是(X , A) 上的测度. (2) 若 f (x) 是(X , A) 上的可积函数, 则 ( ) ( ) . ∫ 1 ∫ × = X X Y f x dµ f x dµ 提示: (2)先考虑特征函数. 47. 设 f (x) 和 g( y) 分别是 σ − 有限测度空间 (X , A,µ) 和 (Y, B,µ) 上的可积函数.证明 h(x, y) = f (x)g( y) 是 (X ×Y, A ×B,µ ×ν ) 上的可积函 数, 并且 ∫ ∫ ∫ × = ⋅ × . 1 2 1 2 ( ) X Y X Y hd µ µ f dµ gdµ . 48. 用 Fubini 定理证明当 ≥ 0 mn a 或者∑∑ ∞ = ∞ = < +∞ n m 1 1 mn a 时,成立 . 1 1 1 1 ∑∑ ∑∑ ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = = m n mn n m mn a a 49. 证明 . (1 )(1 ) 2 2 [0, ) [0, ) 2 π = + + ∫ +∞ × +∞ y x y dxdy 50. 计算 (0 ). 1 ( ) 0 2 2 dx a b x I e e ax bx = − < < ∫ +∞ − −
51设(x)=x2-y2,(xy)≠(0,(00=0.证明 (/rex, d dy+5('f(x, )ld adr 52.计算积分/=C”ye-x) )y dxdy,并且由此证明 53.设f(x,y)在[0,1×[0上L可积.证明 ∫df(x,y=小(xy 54.设∫在Oa上L可积,8()=f∥证明「gdt=h 提示8(x)=°f(u1.(0)d 55.设E是R”上的L可测集,∫是E上有界的L可测函数,并且存在M>0和 04})0.证明一。f(mx)→0ae 提示:先证明 f(nx + 57.设(X,A)和(Y,⑧)是两个可测空间,∫是X到Y的映射.使得对任意 B∈B,都有f(B)∈(称f是(X,4)到(Y,B)的可测映射)又设若H是(X,) 上的测度.证明 ().(逆像测度)集函数 v(B)=A(f-(B),B∈B 是(H,Z)上的测度(称之为关于∫的逆像测度) (i).(积分的变量代换公式)若g是(Y,)上的可测函数,则成立 「g()d= 上式表示当等式一边的积分存在时,等式另一边的积分也存在,并且两边相等 提示:先对g=l是特征函数证明 58.设{fn}是可测函数列称{fn}是一致可积的,若
139 51. 设 f (x, y) = , ( ) 2 2 2 2 2 x y x y + − (x, y) ≠ (0,0), f (0,0) = 0. 证明 ( , ) ( , ) . 1 0 1 0 1 0 1 ∫ ∫0 ∫ ∫ ≠ f x y dx dy f x y dy dx 52. 计算积分 ∫ ∫ +∞ +∞ − + = 0 0 (1 ) 2 2 I ye dxdy x y , 并且由此证明 . 0 2 2 π = ∫ +∞ − e dx x 53. 设 f (x, y) 在[0,1]×[0,1]上 L 可积. 证明 ( , ) ( , ) . 1 0 1 1 0 0 dx f x y dy dy f x y dx y x ∫ ∫ ∫ ∫ = 54. 设 f 在 [0, a] 上 L 可 积 , . ( ) ( ) dt t f t g x a ∫x = 证 明 ∫ ∫ = a a gdx fdx 0 0 . . 提示: ( ) . ( ) ( ) [ , ] 0 I t dt t f t g x x a a ∫ = 55. 设 E 是 n R 上的 L 可测集, f 是 E 上有界的 L 可测函数, 并且存在 M > 0和 0 0. 证明 f 在 E 上 L 可积. 56. 设 f 是 1 R 上的 L 可积函数, α > 0. 证明 ( ) 0 a.e.. 1 f nx → nα 提示: 先证明 ( ) . 1 1 1 ∫ ∑ ∞ = < +∞ R n f nx dx nα 57. 设 (X , A) 和 (Y, B) 是两个可测空间, f 是 X 到 Y 的映射. 使得对任意 B ∈B, 都有 ∈ A − ( ) 1 f B (称 f 是(X , A) 到(Y, B) 的可测映射). 又设若 µ 是(X , A) 上的测度. 证明: (i).(逆像测度)集函数 = ∈B − (B) ( f (B)), B 1 ν µ 是(Y, B) 上的测度(称之为 µ 关于 f 的逆像测度). (ii).(积分的变量代换公式) 若 g 是(Y, B) 上的可测函数, 则成立 ( ) . ∫ ∫ = X Y g f dµ gdν 上式表示当等式一边的积分存在时, 等式另一边的积分也存在, 并且两边相等. 提示: 先对 B g = I 是特征函数证明. 58. 设{ }n f 是可测函数列. 称{ }n f 是一致可积的, 若
du= 证明:{n}是一致可积的当且仅当{fn}满足 ().{fn}是一致积分绝对连续的,即对任意E>0,存在δ>0,使得当A∈, A(4)1使得s4∫,则∫是可积的并且 limIVa-fldu=0 )若f可积并且im∫-fd=0,则}是一致可积的并且fn一→f (i)利用这个结果,给出当p(X)<+∞时控制收敛定理的另一个证明 提示:利用定理325, Fatou引理和等式 JVn-fldus Lin-fldu+e ldu+ Irdu 61.叙述并且证明关于复值可测函数积分的控制收敛定理
140 limsup 0. { } 1 = ∫ > ≥ →∞ f k n n k n f dµ 证明: { }n f 是一致可积的当且仅当{ }n f 满足 (i). { }n f 是一致积分绝对连续的, 即对任意 ε > 0, 存在 δ > 0, 使得当 A∈F , µ(A) 1使得 ∫ < +∞ ≥ sup . 1 f dµ p n n 则{ }n f 是一致可积的. 60. 设 µ(X ) < +∞, { }n f 是可积函数列, f 为可测函数. 证明: (i). 若 { }n f 是一致可积的并且 f f , n →µ 则 f 是可积的并且 ∫ − = →∞ lim f f dµ 0. n n (ii).若 f 可积并且 ∫ − = →∞ lim f f dµ 0, n n 则{ }n f 是一致可积的并且 f f . n →µ (iii).利用这个结果, 给出当 µ(X ) < +∞时控制收敛定理的另一个证明. 提示: 利用定理 3.2.5, Fatou 引理和等式 . ∫ ∫ ∫ ∫ − ≤ − + + c c A A n A f n f dµ f n f dµ f dµ f dµ 61. 叙述并且证明关于复值可测函数积分的控制收敛定理
