第二 矩阵理论
§1矩阵的概念 、实际例子 例1设某物质有m个产地,n个销地,如果 以a表示由第i个产地销往第j个销地的数量,则 这类物质的调运方案,可用一个数表表示如下:
§1 矩阵的概念 一、实际例子 例1 设某物质有m个产地，n个销地，如果 以 aij表示由第 i 个产地销往第 j 个销地的数量，则 这类物质的调运方案，可用一个数表表示如下：
销量多 地 12 22 2n 2 mn
销 销量 地 产地 j n a a a a 11 12 1 1 1 2 … j … … n m i 2 1 j n a a a a 21 22 2 2 i i ij in a a a a 1 2 am1 am 2 amj amn
记 2 2n n
记 m m mj mn i i ij in j n j n a a a a a a a a a a a a a a a a 1 2 1 2 21 22 2 2 11 12 1 1
例2解线性方程组 x,+x,+x2=1 本一 脊一非 x,+x,=2 x2+x2=2 x1+x1+2x3=1一* 0 x,=0 代替: 1111 100-1 100-1 r2-r3 01 01 02 73 00 0 00 0
例2 解线性方程组 x1 x2 x3 1 x2 x3 2 x1 x2 2x3 1 x1 1 x2 x3 2 x3 0 － － － x1 1 x2 2 0 x3 代替： 1 1 2 1 0 1 1 2 1 1 1 1 r1－r2 r3－r1 0 0 1 0 0 1 1 2 1 0 0 1 r2－r3 0 0 1 0 0 1 0 2 1 0 0 1
定义1.1由m×n个数a/(i=1,2,…,m;j=1,2,…,m) 有次序地排成m行(横排)列竖排)的数表 22 2n m2 nmn 称为一个m行n列的矩阵,简记(an)mn,通常用大 写字母A,B,C,…表示,m行n列的矩阵A也记为 Amxn,构成矩阵A的每个数称为矩阵A的元素,而 ar表示矩阵第i行、第j列的元素
由m×n个数aij ( i = 1, 2, …, m ; j = 1, 2, …, n) 有次序地排成m行(横排)n列(竖排)的数表 m m mn n n a a a a a a a a a 1 2 21 22 2 11 12 1 称为一个m行n列的矩阵，简记(aij)m×n，通常用大 写字母A，B，C，…表示，m行n列的矩阵A也记为 Am×n，构成矩阵A的每个数称为矩阵A的元素，而 aij表示矩阵第 i 行、第 j 列的元素。 定义1.1
注意: (1)只有一行的矩阵A1xn=(a1a2…an)称为行矩阵 只有一列的矩阵Am1=:称为列矩阵 (2)两个矩阵A、B,若行数、列数都相等,则称 、B是同型的
注意： (1) 只有一行的矩阵 A1×n =(a1 a2 … an ) 称为行矩阵 只有一列的矩阵 m m a a a A 2 1 1 称为列矩阵 (2) 两个矩阵A、B，若行数、列数都相等，则称 A、B是同型的
(3)若A=( aimin B=(bm×是同型的,且an=bn (i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)则称A与B相等, 记作A=B。 (4)元素全为0的矩阵称为零矩阵,记作O, 不同型的零矩阵是不相等的
(3) 若 A = (aij)m×n , B = (bij)m×n是同型的，且 aij = bij (i = 1, 2, …, m ; j = 1, 2, …, n)则称A与B相等， 记作A＝B。 (4) 元素全为0的矩阵称为零矩阵，记作O， 不同型的零矩阵是不相等的
§2矩阵的运算 、矩阵的加法 1.定义2.1设A=(an)mxn,B=(b)mxn 则矩阵C=(cn)mxn=(a+b)mxn au+ 12 a1.+b c21+ 22 b 22 tb aml+bml am2+bm2 tb mn 称为矩阵A与B的和,记作C=A+B
§2 矩阵的运算 一、矩阵的加法 1. 定义2.1 设 A = ( aij)m×n , B = ( bij)m×n 则矩阵 C = ( cij) m×n = ( aij + bij) m×n m m m m mn mn n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b 1 1 2 2 21 21 22 22 2 2 11 11 12 12 1 1 称为矩阵A与B的和，记作 C = A+B
2.性质 设A,B,C,O都是m×n矩阵 (1)A+B=B+A (2)(A+B)+C=A+(B+C) (3)A+O=0+A=A
2. 性质 设 A，B，C，O 都是 m×n 矩阵 (1) A + B = B + A (2) ( A + B ) + C = A + ( B + C ) (3) A + O = O + A = A