§5 可逆矩阵 逆矩阵的概念与性质 1.定义5.1设A是一个n阶方阵,若存在n阶方阵B 使 AB= BA=E 则称B为A的逆矩阵,并称A可逆
§5 可 逆 矩 阵 一、逆矩阵的概念与性质 1. 定义5.1 AB = BA = E 则称 B 为 A 的逆矩阵，并称 A 可逆。 设A是一个n阶方阵，若存在n阶方阵B 使
例如:A= 2 B 522 有 12/5-2 25八-21 21八25)(01 所以B是A的逆阵,同时A也是B的逆阵
例如： , 2 5 1 2 A = − − = 2 1 5 2 B 有 − − 2 1 5 2 2 5 1 2 = − − = 0 1 1 0 2 5 1 2 2 1 5 2 所以 B 是 A 的逆阵，同时 A 也是 B 的逆阵
例5.1设a1a2…amn≠0, 由于 d22 0 0 0 nn nn 所以 0 22 0 nn
例5.1 设 a11 a22 … ann 0, nn a a a 22 11 0 0 n n n E a a a = − − − 1 1 2 2 1 1 1 0 0 由于： 1 22 11 − n n a a a 0 0 = − − − 1 1 22 1 11 n n a a a 0 0 所以
例52若方阵A1A2…Am均可逆,可证 0 0
例5.2 若方阵 A1 A2 … Am 均可逆，可证 1 2 1 − Am A A 0 0 = − − − 1 1 2 1 1 Am A A 0 0
定理5.(唯一性) 若方阵A的逆矩阵存在,则唯一,用A-1表示 证:设B、C均是A的逆矩阵,则 B=BE =B(AC)=BAC =EC =C 所以A的逆矩阵唯
定理5.1 (唯一性) 若方阵 A 的逆矩阵存在，则唯一，用 A－1表示 证：设B、C均是A的逆矩阵，则 B 所以A的逆矩阵唯一。 = BE = B(AC) = (BA)C = EC = C
2.逆矩阵的求法之一: 定义52:设A=(anxn,A是|中元素an的 代数余子式(i,j=1,2,…,n); AA 矩阵A1A2:A n2称为A的伴随矩阵 ,A. 2n nn
2. 逆矩阵的求法之一： 矩阵 = n n n n n n A A A A A A A A A A 1 2 12 22 2 11 21 1 * 称为 A 的伴随矩阵 定义5.2: 设 A = (aij)n×n , Aij是 |A | 中元素 aij的 代数余子式 ( i, j = 1, 2, …, n );
可得: A|0 0 Aa =4 * A 00 =4|E 定理52方阵A是满秩矩阵A存在逆矩阵 且A A
可得： A A* = A* A = 0 0 | | 0 | | 0 | | 0 0 A A A = |A | E 定理5.2 1 * | | 1 A A A = 且 − 方阵 A 是满秩矩阵 A 存在逆矩阵
例5.3求矩阵A 的逆矩阵 2 解: 2525 1≠0 2 故A可逆,又A1=5, 12 =-2,A21=-2, 22 21 所以 A
例5.3 求矩阵 = 2 5 1 2 A 的逆矩阵 解： 1 0 2 5 1 2 | A|= = 故 A 可逆，又 A11＝5， A12＝－2，A21＝－2，A22＝1 则 − − = 2 1 5 2 * A 所以 1 * | | 1 A A A = − − − = 2 1 5 2
例54设A是可逆阵,证明 (1)若AX=AY→X=Y (2)若AB=0→B=0 证:(1)由AX=AY A-1(AX)=A-1(4Y) (4-14)X=(4-14)Y EX=EY所以 Ⅹ=y (2)由AB=0,有A-1(4B)=A-10 (A-14)B=0所以B=0
例5.4 设 A 是可逆阵，证明： (1) 若 A X = A Y X = Y (2) 若 A B = 0 B = 0 证： A－1 ( A X ) = A－1 ( A Y ) ( A－1 A ) X = ( A－1 A ) Y EX = EY X = Y (1) 由 A X = A Y 所以 (2) 由 AB =0，有A－1 (AB) = A－1 0 ( A－ 所以 B =0 1A ) B = 0
3.逆矩阵的性质 若A,B均为n阶方阵,且AB=E(或BA=E 则B=A-1 证:设AB=E 4|B|=||=1 4|≠0 A-1存在,且A-1=A-1E=A-1(4B) (AAB=EB =B 同理可证BA=E的情形
3. 逆矩阵的性质 (1) 若A，B均为n阶方阵，且 A B = E (或 B A =E )， 则 B＝A－1 证： |A| |B| = |E| = 1 |A| 0 A－1存在，且A－1 = A－1E = A－1 (AB) = (A－1A) B = EB = B 设 A B = E 同理可证 B A =E 的情形