第七章 二次型与二次曲面
第七章 二次型与二次曲面
§1二次型的矩阵表示 考虑一个简单的几何问题:方程 1310 x-+—xy+ 72 在平面上代表什么曲线?
§1 二次型的矩阵表示 考虑一个简单的几何问题：方程 1 (1.1) 72 13 72 10 72 13 2 2 x + x y+ y = 在平面上代表什么曲线？
将坐标系(O,xy)逆时针旋转45度即令 X u+ (1.2) u+ 则得曲线在坐标系(O,,)中的方程 从而曲线为一椭圆
将坐标系（O,x,y) 逆时针旋转45度,即令 = + , 2 2 2 2 x u v 则得曲线在坐标系(O,u,v)中的方程： (1.2) , 2 2 2 2 y = − u + v 1. (1.3) 9 4 2 2 + = u v 从而曲线为一椭圆。 x y u v
上述例子中,我们通过坐标变换(1,2), 将曲线方程(1.1)化为形如(1.3)的标准形 坐标变换(1.2)可以解释为满秩的线性变换。 应用此变换到(1.1)的左边,便说满秩变换 (1.2)将方程(1.1)的左边化为方程(1.3)的左 边。从代数的观点看,即一个二次多项式 通过变量的满秩线性变换化为标准型。下 面我们讨论更一般情形
上述例子中，我们通过坐标变换(1,2), 将曲线方程(1.1)化为形如(1.3)的标准形式。 坐标变换(1.2)可以解释为满秩的线性变换。 应用此变换到(1.1)的左边，便说满秩变换 (1.2)将方程(1.1)的左边化为方程(1.3)的左 边。从代数的观点看，即一个二次多项式 通过变量的满秩线性变换化为标准型。下 面我们讨论更一般情形
定义1.1 将n元二次齐次式 f(x1,x2,…xn)=a1x1+a2x2+…+amxm+ 212x1x2+2013xx3+…+2an21mx21x 称为n元二次型。 二次型依其系数是实数或复数而分别称为 实二次型或复二次型。我们仅讨论实二次型
定义 1.1 将 n 元二次齐次式 f (x1 , x2 , xn ) = + 2 11 1 a x + 2 22 2 a x + + 2 nn n a x 2a12x1 x2 +2a13x1 x3 + n n n n a x x +2 −1 −1 称为 n 元二次型。 二次型依其系数是实数或复数而分别称为 实二次型或复二次型。我们仅讨论实二次型
矩阵A的秩就是二次型的秩, 设有二次型记为r=r(A f(x,x2,…xn)=a1x1+a2x2+…+amxn+ 212x1x2+2a3x1x3+…+2 则称矩阵A为二次型的矩阵:对称矩阵 12 13 21 22 3 2n 31 32 33 3n n2 n 3
设有二次型 f (x1 , x2 , xn ) = + 2 11 1 a x + 2 22 2 a x + + 2 nn n a x 2a12x1 x2 +2a13x1 x3 ++ n n n n a x x 2 −1 −1 则称矩阵A 为二次型的矩阵： = n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a 1 2 3 3 1 3 2 3 3 3 2 1 2 2 2 3 2 1 1 1 2 1 3 1 A ( ) aij = aji 对称矩阵 矩阵 A 的秩就是二次型的秩， 记为 r = r(A)
令X=(x,x2…,x),则二次型的矩阵形式为 f(x,x2,…xn)=XAx aXX 12C =(x1,x2…,xn) 32 3n nn
令 ( , , , ) , T 1 2 n X = x x x 则二次型的矩阵形式为 f (x1 , x2 , xn ) = X A X T ( , , , ) 1 2 n = x x x n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a 1 2 3 3 1 3 2 3 3 3 2 1 2 2 2 3 2 1 1 1 2 1 3 1 n x x x 2 1 ( ) , 1 i j j i n i j =ai jxi xj a = a =
例1.1写出二次型的矩阵及其矩阵表示式 f(x1,x2,x2,x4)=x1+2x2-3x4+2x1x2 +6x 4x 解 00具体的表示 1230 A 030 00-2-3 令X=(x,x2,x3,x),则f(x1,x2,x3,x)=XAX
例1.1 写出二次型的矩阵及其矩阵表示式： 1 2 2 4 2 2 2 f (x1 , x2 , x3 , x4 ) = x1 + 2x −3x + 2x x 6 2 3 4 3 4 + x x − x x 解 A = 1 1 0 0 1 0 0 2 3 0 3 0 0 − 2 − 2 −3 令 ( , , , ) , T 1 2 3 4 X = x x x x 则 f (x , x , x , x ) X A X T 1 2 3 4 =
例1.2写出二次型的矩阵和矩阵表示式 2 15 )=x1+2x2-3x 解 2 0|矩库是对角矩阵 A 3 令X=(x,x2,x3,x),则f(x1,x2,x3,x)=XAX
例1.2 写出二次型的矩阵和矩阵表示式： 2 4 2 2 2 f (x1 , x2 , x3 , x4 ) = x1 + 2x −3x 解 A = 1 2 0 −3 0 0 矩阵是对角矩阵 令 ( , , , ) , T 1 2 3 4 X = x x x x 则 f (x , x , x , x ) X A X T 1 2 3 4 =
类似我们所考虑过的几何问题,我 们讨论在矩阵为Q的线性变换,即 x1=41+q12y2+…+q1m1yn x2=q2+q22+…+q2nyn,(1.7) xn=qny1+qn2y2+…+qmy 的作用下,二次型f=XAX会变成什么样子。 (17用矩阵形式表示为: X=Qr (18) 其中X=(x1x2…,xn)},Y=(y、y2…,yn)
类似我们所考虑过的几何问题，我 们讨论在矩阵为Q的线性变换，即 , 1 11 1 12 2 1n n x = q y + q y ++ q y , 2 21 1 22 2 2n n x = q y + q y ++ q y n n n nn n x = q y + q y ++ q y 1 1 2 2 的作用下，二次型 f = X T AX 会变成什么样子。 (1.7) (1.7)用矩阵形式表示为： X = QY, (1.8) X , ) ,Y , ) . 1, 2, 1, 2, T n T n 其中 =（x x x =（y y y