第五章 欧氏空间
第五章 欧氏空间
本章目的 1.在R"中引进内积运算,建立n维欧氏空间概念 2讨论欧氏空间的正交基的概念及求法; 3.讨论三维欧氏空间R3中向量积,直线及平面方 程等内容 4.建立一般内积空间的概念
本章目的 1. 在R 中引进内积运算，建立n维欧氏空间概念; n 2.讨论欧氏空间的正交基的概念及求法； ; 3. 3 程等内容 讨论三维欧氏空间R 中向量积，直线及平面方 4.建立一般内积空间的概念
§1内积、欧氏空间Rn R3中向量的内积 三维向量空间中向量的内积来源于物理和 几何背景。考虑物理问题:
§1 内积、欧氏空间 Rn 一 、R3中向量的内积 三维向量空间中向量的内积来源于物理和 几何背景。考虑物理问题：
例1.1 F 解: 所做功W=fi:s cOS
例1.1 解: 所做功 W = f1 ·s S F s F1 = |F| ·|S|cos (F, S) = F S
定义1.1 设ab为R3中两个向量,记a与b的夹角为 a,b),称数 ab cos(a, b) 为向量ab的内积(数量积或点积),记为 a·b,即 a b=albl cos(a, b) (1.1) 或记为(a,b)
定义 1.1 ，称数 设 ， 为 中两个向量，记 与 的夹角为 a b a b a b , 3 R a b cos a，b ，即 为向量 ， 的内积（数量积或点积），记为 a b a b = cos , . (1.1) a b a b a b 或记为 (a, b)
下面推导内积的具体计算公式 如果α,β都不为0向量,且a,B不平行(即a β线性无关),则在空间直角坐标系中,由原点O和a β的终点A和B可确定a,β所在平面上的一个三 角形OAB
下面推导内积的具体计算公式. 如果 , 都不为 0 向量, 且 , 不平行 (即 , 线性无关), 则在空间直角坐标系中, 由原点 O 和 , 的终点 A 和 B 可确定 , 所在平面上的一个三 角形 OAB. A B O
B 由余弦定理,知 2a·B 2a. B cos A =|a2+B2-|y O (xi +yi +人2++分 (x2-x1)2+(y2-n12+(=2-=1) 2(x1x2+y1y2+2122) 因此,a·B=(x1x2+y1y2+212) (1.2)称为向量内积的坐标表示
由余弦定理, 知 = 2| | ·| |cos = | | 2+| | 2 −| | 2 ( ) 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x y y z z x y z x y z − − + − + − = + + + + + =2 (x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 ) 2 · . 因此， · =(x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 ). (1.2) A B O (1.2) 称为向量内积的坐标表示
特例1:向量的长度 Ya=(x1,y1,=1)∈R a|·|a|=(a,a)=x1x1+y1y1+x11 a|=Va,a)=√x2+y2+z
特例1： 向量的长度 = (x1 , y1 , z1 ) R3 , | | ·| | =（, ）= x1 x1 + y1 y1 + z1 z1 ， | | ( , ) . 2 1 2 1 2 1 = = x + y + z
特例2:向量的垂直美系: 两向量垂直的充要条件是它们的内积等于零 va=(x1,y1,=1),B=(x2,y2,=2)∈R3, a垂直于B的充要条件为 cos=0 也即a·B=x1x2+yy2+=12=0
特例2： 向量的垂直关系: 两向量垂直的充要条件是它们的内积等于零。 = (x1 , y1 , z1 ), = (x2 , y2 , z2 ) R 3 ， 垂直于 的充要条件为 cos=0. 也即 =x1 x2 + y1 y2 + z1 z2=0
特例3:向量的平行关系: 两非零向量平行的充要条件是名们的夹 角余弦等于1或-1 若a∥B,则有A≠0,使a=2B a·B=(aB)=4(B,B)=BP2 (a)=2(B,B)=21B|2 1>0 cos(a, B) (B3,B) 叫B||B
特例3： 向量的平行关系: 两非零向量平行的充要条件是它们的夹 角余弦等于 1 或 －1。 若 //, 则有 0，使 = . =(, ) (, )= 2 (, ) | | | | , cos( , ) = （ ） = (, ) = 2 | | 2 . = 1 >0, −1 <0. = | | 2