第十六章半群与独异点 161半群与独异点 ■半群、独异点的定义与性质 半群与独异点定义 半群与独异点性质 ■半群、独异点的子代数、积代数、商代数 子半群与子独异点 半群与独异点的直积 商半群与商独异点 ■半群与独异点的同态 独异点的表示定理
1 第十六章 半群与独异点 16.1 半群与独异点 半群、独异点的定义与性质 半群与独异点定义 半群与独异点性质 半群、独异点的子代数、积代数、商代数 子半群与子独异点 半群与独异点的直积 商半群与商独异点 半群与独异点的同态 独异点的表示定理
半群与独异点的定义 广群、半群、独异点(含幺半群)的定义 广群:封闭二元运算 半群:封闭二元运算,结合律 独异点:封闭二元运算,结合律,单位元 说明:任何半群都可以扩张成独异点 表示式中可以省略运算符
2 半群与独异点的定义 广群、半群、独异点（含幺半群）的定义 广群：封闭二元运算 半群：封闭二元运算，结合律 独异点：封闭二元运算，结合律，单位元 说明：任何半群都可以扩张成独异点 表示式中可以省略运算符
半群与独异点性质 幂运算的定义 半群独异点 e 性质: (1)定理1幂运算的等式 anam= antm (an)m=anm (2)结合律
3 半群与独异点性质 幂运算的定义 半群 独异点 a 1 = a a 0 = e a n+1 = a n a 性质： (1) 定理 1 幂运算的等式 a n a m = an+m ( a n ) m = anm (2) 结合律
实例 例1v为半群,任取a,b∈S,如果a≠b,则有b≠bu, 证明 (1)V中成立幂等律 (2)Va,b∈,aba=a (3)Va,b,c∈,abe=ac 证(1)假若a≠a,则 (a)a≠a(a)→am≠aam,矛盾 (2)假若mba≠a,则 (aba)≠a(mba)→mb≠uba,矛盾 (3)假若bc≠ac,则 (abc)(ac)≠(c)(abc)→abcC≠ acaba →ab(cc)≠(aca)bc→mbc≠mbc,矛盾
4 例 1 V 为半群，任取 a,b∈S, 如果 a≠b, 则有 ab≠ba， 证明 (1) V 中成立幂等律 (2) ∀a,b∈V, aba = a (3) ∀a,b,c∈V, abc = ac 证 (1) 假若 aa ≠ a, 则 (aa)a ≠ a(aa) ⇒ aaa ≠ aaa，矛盾 (2) 假若 aba ≠ a, 则 (aba)a ≠ a(aba) ⇒ aba ≠ aba ，矛盾 (3) 假若 abc ≠ ac, 则 (abc)(ac) ≠ (ac)(abc) ⇒ abcac ≠ acabc ⇒ ab(cac) ≠ (aca)bc ⇒ abc ≠ abc ，矛盾 实例
子半群、子独异点 子半群、子独异点B的判别 非空子集B, B对于V中的运算(含0元运算)封闭 定理2若干子半群的非空交集仍为子半群; 若干子独异点的交集仍为子独异点 重要的子半群-一子集合B生成的子半群 =,BS,包含B的最小的半群 =∩{4|A是S的子半群,Bc4} <B≥=∪B",B"={b1b2…bn|b;∈B,}=1,2,,n}
5 子半群、子独异点 子半群、子独异点 B 的判别 非空子集 B， B 对于V 中的运算（含 0元运算）封闭. 定理 2 若干子半群的非空交集仍为子半群； 若干子独异点的交集仍为子独异点. 重要的子半群---子集合 B生成的子半群 V=, B ⊆ S,包含B 的最小的半群 = ∩ {A | A 是 S的子半群， B ⊆A } U+ ∈ = n Z n B B , B n={ b 1 b 2 … b n | bi ∈ B, i=1,2,…,n }
实例 例2V半群,B={4,6}, ={4计+6|i∈N,i和j不同时为0} 4,6,8,10,12,14,16,}=2z-{2} 例3∑有穷字母表,∑为非空字的集合,∑为字的集合。 u1a2.,an=b1b2bn分→a1=b1,a2=b2, 每个字可以唯一分解为Σ中的元素之积 Σ上的连接运算满足结合律,V构成半群, 称为∑上的自由半群,∑为这个自由半群的生成元集, 即<>=V 如果包含空串则∑构成自由独异点
6 例 2 V=半群，B={4,6}, ={ 4i+6j | i,j ∈N, i 和 j 不同时为 0 } ={ 4,6,8,10,12,14,16,…} = 2Z+−{2} 例 3 Σ有穷字母表，Σ+为非空字的集合, Σ*为字的集合。 a1a2…an = b1b2…bn ⇔ a1=b1, a2=b2, …, an=bn 每个字可以唯一分解为Σ中的元素之积 Σ+上的连接运算满足结合律，V=构成半群， 称为Σ上的自由半群，Σ为这个自由半群的生成元集， 即=V. 如果包含空串则Σ*构成自由独异点. 实例
半群独异点的直积、商代数、同态 ■半群与独异点的直积 半群的直积仍是半群 独异点的直积仍是独异点 半群与独异点的商代数 半群,商半群 独异点,商独异点 半群与独异点的同态和同构 半群f(xy)=fx)f(y) 独异点几xy)=x(y,fe)=e
7 半群独异点的直积、商代数、同态 半群与独异点的直积 半群的直积仍是半群 独异点的直积仍是独异点 半群与独异点的商代数 半群 , 商半群 独异点 ，商独异点 半群与独异点的同态和同构 半群 f(xy)=f(x )f(y ) 独异点 f(xy)=f(x )f(y), f( e)= e ’
半群的同态性质 定理3设V为半群,V=,°为合成,则V也是 半群,且存在V到v的同态 证:f:S-S,f(x)=a*x, f∈s,且{f|a∈s}sS, 令q:S-→)S,φ(a)=f, cp(a*bFfasb, op(a))fasb 为证同态只需证明fa+f6 Vx∈S, fash(x)=(a*b)*x=a*b*x fa o fb(r)=fas(x))=fa(b*)=a*(b*x)=a*b*
8 半群的同态性质 定理 3 设 V=为半群， V’=，∘为合成，则 V’也是 半群，且存在 V 到 V’ 的同态. 证： fa:S → S, fa (x)=a ∗ x, fa ∈ SS, 且 { fa | a ∈ S } ⊆ SS, 令 ϕ：S → SS, ϕ ( a)=fa, ϕ (a ∗ b)=fa ∗ b, ϕ ( a ) ∘ ϕ ( b)=fa ∘fb 为证同态只需证明 fa ∗ b =fa ∘fb ∀ x ∈ S, f f x f f x f b x a b x a b x f x a b x a b x a b a b a a b = = ∗ = ∗ ∗ = ∗ ∗ = ∗ ∗ = ∗ ∗ ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) * o
独异点的表示定理 定理4设V为独异点,则存在TgS,使得 同构于 证:令q:SS°,q(a)=f则 qp(b)=q(a)°q(b) cple)=fe φ为独异点V到圣<T,°,ls
9 定理 4 设 V=为独异点，则存在 T⊆SS, 使得 同构于 证：令 ϕ：S→SS, ϕ(a) = fa, 则 ϕ(a*b) = ϕ(a)◦ϕ(b) ϕ(e) = fe = IS, ϕ为独异点 V 到的同态 ϕ(a) = ϕ(b) ⇒ fa= fb ⇒ ∀x∈S(a*x=b*x) ⇒ a*e = b*e ⇒ a=b , ϕ为单射 令 T=ϕ(S)，则 T⊆SS, 且ϕ:S→T 为双射， ≅ 独异点的表示定理
实例 例4S=z3={0,1,2},独异点V=,1,1>,2,2>} f1={0,1>,1,2>,2,0>} 2={0,2>,, q:S→>s°,g(0)=f0,(1)=f1q(2)=f2 (S)=o,i,)css ⊕|012 0012 1120 2201 f2⑥质
10 实例 例4 S = Z3= { 0, 1, 2 }，独异点V = , SS ={ f0, f1, f2, …, f26}，其中 f0 ={,,} f1 ={,,} f2 ={,,} ϕ:S→SS, ϕ(0) = f0, ϕ(1) = f1, ϕ(2) = f2 ϕ(S) ={ f0, f1,f2 }⊆SS f0 f1 f2 f1 f2 f0 f2 f0 f1 f0 f1 f2 0 1 2 1 2 0 2 0 1 0 1 2 f0 f1 f ⊕ 0 1 2 ∘ 2
