十七章习题课—群的证明 规范证明的主要内容 集合和二元运算构成群 群G的给定子集H构成子群 群G的给定子群是正规的 ∫是群G1到G2的同态映射 证明群G1同构于G2 证明群G1不同构于G2 比较灵活的证明 群的基本性质的证明 元素相等的证明 与数的相等或者整除相关的证明 子集相等
规范证明的主要内容： 集合和二元运算构成群 群 G 的给定子集 H 构成子群 群 G 的给定子群是正规的 f 是群 G 1 到 G2的同态映射 证明群 G 1同构于 G2 证明群 G 1不同构于 G2 比较灵活的证明 群的基本性质的证明 元素相等的证明 与数的相等或者整除相关的证明 子集相等 十七章习题课——群的证明
证明群或者子群 证明群:验证下述条件之 (1)封闭性、结合律、单位元、每个元素有逆 (2)封闭性、结合律、右单位元、每个元素有右逆 (3)封闭性、结合律、方程有解 (4)封闭性、有限、无零元、消去律 证明H是G的子群:判定定理 前提:H是G的非空子集(进行验证) 验证下述条件之 (1)Vxy∈H,x∈H,x∈H (2)Vxy∈H,xy∈H (3)H有限,Vxy∈H,xy∈H
证明群: 验证下述条件之一 (1) 封闭性、结合律、单位元、每个元素有逆 (2) 封闭性、结合律、右单位元、每个元素有右逆 (3) 封闭性、结合律、方程有解 (4) 封闭性、有限、无零元、消去律 证明 H 是 G 的子群：判定定理 前提：H 是 G 的非空子集 (进行验证) 验证下述条件之一 (1) ∀x,y∈H, xy∈H, x−1∈H. (2) ∀x,y∈H, xy−1∈H (3) H 有限，∀x,y∈H, xy∈H 证明群或者子群
证明正规性或者同态 证明子群N的正规性 验证下述条件之 (1)Vg∈G,n∈N,gng∈N (2)g∈G,Ng=N (3)N=,N是G的唯一的t阶子群 (4)[G:N=2 证明∫是G1到G2的同态 (1)验证fG1→G2(注意良定义性的验证) (2)验证∨xy∈Gl,f(qy)=(x)f(y)
证明子群 N 的正规性 验证下述条件之一： (1) ∀g∈G, n∈N, gng−1∈N (2) ∀g∈G, gNg−1=N (3) |N|=t, N 是 G 的唯一的 t 阶子群 (4) [G:N]=2 证明 f 是 G1到 G2的同态 (1) 验证 f:G1→G2（注意良定义性的验证） (2) 验证∀x,y∈G1, f(xy)=f(x)f(y) 证明正规性或者同态
证明同构 (1)证明f:G1-G2是同态,证明∫为双射 (2)同态基本定理:其中一个群是商群 例:H,K是G的正规子群,则HK,HnK也是G的正规子 群,且HH⌒KHKK 证明:先证明HK,HnK为正规子群(略 令 f:H>HKK,fh)=Kh, f(h h2)=Kh1h2=Kh kh2f(h1f(h2) 任取K属于HKK, hhk= Kkh=Kh' 存在h使得fh”)=Kh=Khk.∫为满同态 ke={∈H,Kh=的={hh∈H,h∈=HnK, 由同态基本定理 HHOKE HKK
(1) 证明 f:G1→G2是同态，证明 f 为双射 (2) 同态基本定理：其中一个群是商群 例：H,K 是 G 的正规子群，则 HK,H∩K 也是 G 的正规子 群, 且 H/H∩K ≅ HK/K 证明：先证明 HK, H∩K 为正规子群（略） 令 f:H→HK/K, f(h)=Kh, f(h1h2)=Kh1h2=Kh1Kh2 =f(h1)f(h2) 任取 Khk 属于 HK/K, Khk = Kk’h’ = Kh’, 存在 h’ 使得 f(h’) = Kh’ = Khk. f 为满同态. kerf={h|h∈H,Kh=K}={h|h∈H,h∈K}=H∩K, 由同态基本定理 H/H∩K ≅ HK/K . 证明同构
证明不同构 反证法 例1证明不存在的同构 证假设存在同构f:g→Q, 则f(1)=0, 0=f(1)=f(-1)(-1) 八(-1)+f(-1)=2f(-1), 从而f-1)=0 与∫的单射性矛盾
反证法 例 1 证明不存在到的同构. 证 假设存在同构 f:Q*→Q, 则 f(1)=0, 0 = f(1) = f((−1)(−1)) = f(−1)+f(−1) = 2f(−1)， 从而 f(−1) = 0 与 f 的单射性矛盾. 证明不同构
灵活的证明 群的基本性质的证明(略) 证明有关元素的运算等式 证明元素的阶相等 证明交换性 和 Lagrange定理有关的证明 与群相关的数量结果 证明数的整除或者相等 证明群的其他性质 与同态性质相关的证明 证明数的整除或者相等(与 Lagrange定理联系) 证明集合相等 证明群的其他性质
群的基本性质的证明 （略） 证明有关元素的运算等式 证明元素的阶相等 证明交换性 和 Lagrange 定理有关的证明 与群相关的数量结果 证明数的整除或者相等 证明群的其他性质 与同态性质相关的证明 证明数的整除或者相等（与 Lagrange 定理联系） 证明集合相等 证明群的其他性质 灵活的证明
与有限群相关的数量结果 IG=IG: HH IGIG/HH la川|G|,a∈G fG→>G是满同态→|G|G且|G= G/kerf G=n,p为素数,pn,G为Abe群→G中含p阶元 a=G: N(a A,B是G的子群,A,B有限,则|AB=418 A∩B
与有限群相关的数量结果 | a |= [ G : N ( a)] a G a G G G H H G G H H ∈ = = | | | | |, | | | / | | | | | [ : ] | | f: G → G’是满同态 ⇒ |G’| | | G| 且 |G’|=| G/kerf| |G|= n, p为素数， p|n, G 为Abel 群 ⇒ G中含p阶元 | | | | | | | | A B A B AB ∩ A, B 是G 的子群，A,B有限，则 =
证明 例2设A,B是G的子群,且A,B有限,则1B/4B A∩B 证:(1)在AXB上定义二元关系R,<>RD台x=v (2)证明R为等价关系(略) (3) X=k1=1R) ∫:X→)A∩B,f()=ax (4)∫为函数.R→x=mb→ax=by∈A∩B f单射.八()==D f满射vc∈A∩B,3∈A×B,eX f ≤aCC a (c-C X1=4∩B,有4∩B个使得x相等, 即|4|B=A×B=4∩BB
证：(1) 在 A×B 上定义二元关系 R，R ⇔ xy=uv (2) 证明 R 为等价关系（略） (3) 令 X=[]={ | R} f : X→A∩B, f()=a−1x (4) f 为函数. R ⇒ xy=ab ⇒a−1x=by−1∈A∩B f 单射. f()=f() ⇒ a−1x=a−1u ⇒ x=u ⇒x=u,y=v ⇒ = f 满射. ∀c∈A∩B, ∃∈A×B, ∈X f()=a−1ac=c |X|=|A∩B|, 有|A∩B|个使得 xy 相等， 即 |A||B|=|A×B|=|A∩B| |AB| 证明 | | | | | | | | A B A B AB ∩ 例2 设A,B是G的子群，且A,B有限，则 =
Lagrange定理的应用 证明整除 例G为n阶群,a∈G,|a=k,C为中心,|C|=c, 则k|(m/) 证:同d=[G:Na)l, 故k=|G:Na) C≤N(a),|C|Na) c|Na),即|N(a)=cs G=G N(aIMal n=kcs n/c=ks 命题得证
证明整除 例 G 为 n 阶群，a∈G, | a |= k, C 为中心，|C|=c, 则 k | (n/c). 证：|ā| = [G:N(a)] , 故 k = [G:N(a)]; C≤ N(a)， |C| | |N(a)|， c | |N(a)|, 即|N(a)| = c s |G| = [G:N(a)] |N(a)|， n = k cs, n/c = ks 命题得证. Lagrange定理的应用
Lagrange定理的应用 确定子群或商群的阶 例H,H2为r;s阶子群,(rs)=1,则H1OH2={e} 证明群的性质 例证明p2阶的群为Abel群 证取C,则C→或p2.(根据群方程,|C>1) 若|C1→p,得证 若|Cp,作GC,则|GC,G/C=, Vx,y∈G,C∈G/C→Cx=Cb→xb∈C→x=c1b, 同理有y=c2b xy=Cb'c,bi=C,C, b'b=Cc,bs+, yx=CnbC,b=C2C,b xy= yx
确定子群或商群的阶 例 H1,H2 为 r,s 阶子群， (r,s)=1, 则 H1 ∩ H2={ e} 证明群的性质 例 证明 p 2阶的群为 Abel 群 证 取 C, 则 | C|=p 或 p 2 . （根据群方程，|C|>1 ） 若 | C|=p 2 , 得证 若 | C|=p, 作 G/ C, 则 | G/ C|=p, G/ C=, Lagrange定理的应用 , , / , 1 i i i ∀ x y ∈ G Cx ∈ G C ⇒ Cx = Cb ⇒ xb ∈ C ⇒ x = c b − xy yx yx c b c b c c b xy c b c b c c b b c c b j i j i i j i j i j = = = = = = + + 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 , 同理有 y = c 2 bj