§3命题形式和真值表 上节介绍了将命题表示为符号串。 ■是否每个符号串都是命题呢? pq→ 什么样的符号串才能表示命题呢? 如下命题形式定义的符号串表示的 才是命题
§3 命题形式和真值表 上节介绍了将命题表示为符号串。 是否每个符号串都是命题呢？ p q → 什么样的符号串才能表示命题呢？ 如下命题形式定义的符号串表示的 才是命题
命题形式的定义 定义6命题形式是由命题变元和联结词按以下规 则组成的符号串 (1)任何命题变元都是命题形式一此时称为原子 命题形式; (2)如果α是命题形式,则(-)也是命题形式; (3)如果α、β是命题形式,则(αβ)、(x∧β) (a→β)和(α4>β)都是命题形式; (4)只有有限次地应用(1)(3)构成的符号串才是 命题形式
命题形式的定义 定义6 命题形式是由命题变元和联结词按以下规 则组成的符号串: (1) 任何命题变元都是命题形式---此时称为原子 命题形式 ; (2) 如果 α是命题形式, 则 (¬ α )也是命题形式 ; (3) 如果 α 、 β是命题形式, 则 (α∨β ) 、 (α∧β ) 、 (α→β ) 和 (α↔β )都是命题形式 ; (4) 只有有限次地应用(1) —(3)构成的符号串才是 命题形式
下列符号串都是命题形式: (_p) (pAGg) (p (p) (p々(-p) (p∧(-p) (p^p)>(-(p)
下列符号串都是命题形式： ( ¬p) (p ∧ ( ¬q)) (p ∨ ( ¬p)) (p ↔ ( ¬p)) (p ∧ ( ¬p)) ((p ∧ p) → ( ¬(p ∨r)))
下列符号串是否为命题形式? (1)pq→ (2)(pq) (3)(pA(-q) (4)p^(-q) (5)(-q) (6)
下列符号串是否为命题形式？ （ 1 ）pq → （ 2 ）(p ¬q) （ 3 ）(p ∧ ( ¬q)) （ 4 ） p ∧ ( ¬q) （ 5 ）(( ¬q)) （ 6 ） ¬ p
些注记 1.定义6是归纳定义,而不是循环定义。 (1)是奠基,(2)、(3)是归纳步骤。 2.如果在(2)和(3)中将括号去掉,结果如何? p->q与P>q)r、P>gr 3.如仅去掉(2)和(3)中某类公式的括号呢?例如, 仅去掉(2)中括号。 (pA-q)—-的优先级高于其它的。 如果规定省略命题形式最外层括号,与2的差别
一些注记 1. 定义6是归纳定义，而不是循环定义。 (1)是奠基，(2)、(3)是归纳步骤。 2. 如果在(2)和(3)中将括号去掉，结果如何？ p→q→r 与 P→q→r、 P→q→r 3. 如仅去掉(2)和(3)中某类公式的括号呢？例如， 仅去掉(2)中括号。 (p∧¬q) —— ¬的优先级高于其它的。 4. 如果规定省略命题形式最外层括号，与2的差别
约定 的优先级高于其它的 省略命题形式最外层括号
约定 ¬的优先级高于其它的 省略命题形式最外层括号
命题形式的简单性质 ■任一个命题形式必为下列形式之一: 命题变元、(=a)、(αβ)、(α∧β) (a→β)或(aβ) 题形式的BNF( Bacus normal form ∷=p|(-)(avβ)|(a^β) (a→β)|(a<>β) ■每个命题形式都是有限符号串
命题形式的简单性质 任一个命题形式必为下列形式之一： 命题变元、 (¬ α ) 、 (α∨β ) 、 (α∧β ) 、 (α→β ) 或 (α↔β ) 命题形式的BNF (Bacus Normal Form): α ::= p | (¬ α) | (α∨β) | (α∧β) | (α→β) | (α↔β ) 每个命题形式都是有限符号串
指派 ■命题形式的真假由它中命题变元的值完全确定。 n定义7设α为一个命题形式,α中出现的所有命题 变元都在p1,p2,…,pn中,对序列p,p2,…,pn 指定的的任一真假值序砒,t2,…,t称为的关 于p1,p2,…,pn的一个指派( asignment),其中t =0或1,i∈N,1≤i≤n 即指派是从{1,p2,…,pn到0,1的一个函数
指派 命题形式的真假由它中命题变元的值完全确定。 定义7 设α为一个命题形式, α中出现的所有命题 变元都在p1，p2，…，pn中, 对序列p1，p2，…，pn 指定的的任一真假值序列t1，t2，…，tn称为α的关 于p1，p2，…，pn的一个指派 (asignment)，其中ti = 0或1, i ∈ N, 1≤ i ≤ n. 即指派是从{p1，p2，…，pn}到{0，1}的一个函数
成真指派 ■若p,p2,…,pn的一个指派使α为真,则称此 指派为的一个成真指派 若p1,卩2,…,pn的一个指派使α为假,则称此 指派为的一个成假指派。 ■由定义可知: p关于p的成真指派为0,成假指派为1 p∧q关于p、q的成真派为,成假指派为 ,, pvq关于p、q的成真指派为,,, 成假指派为 不难给出p→>q、pq的成真和成假指派,(§2.1)
成真指派 若p1，p2，…，pn的一个指派使α为真，则称此 指派为α的一个成真指派 若p1，p2，…，pn的一个指派使α为假，则称此 指派为α的一个成假指派。 由定义可知： ¾ ¬p关于p的成真指派为0, 成假指派为1. ¾ p ∧ q关于p、q的成真派为, 成假指派为 , , . ¾ p ∨ q关于p、q的成真指派为, , , 成假指派为. ¾ 不难给出p→ q、p ↔ q的成真和成假指派. (§2.1)
例5 求(pAq)→(-(q)成真和成假指派。 解:令(p^q)→(-(qV)为a。 要使α为假,必须p~q为真且-(qv)为假。 从而p∧q必须为真,且q也必须为真。 故α的成假指派为(1,1,1)和(1,1,0) α的成真指派为(0,0,0)、(1,0,0)、(0,1,0) (0,0,1)、(0,1,1)、(1,0,1)。 定义8命题形式在所有可能的指派下所取值列成的 表称为真值表
例5 求(p∧q) → (¬(q∨r))的成真和成假指派。 解：令(p∧q) → (¬(q∨r))为α。 要使α为假，必须p∧q为真且¬(q∨r)为假。 从而p∧q必须为真，且q∨r也必须为真。 故α的成假指派为(1，1，1)和(1，1，0). α的成真指派为(0，0，0)、(1，0，0)、(0，1，0)、 (0，0，1)、 (0，1，1)、(1，0，1)。 定义8 命题形式在所有可能的指派下所取值列成的 表称为真值表