172子群 ■子群定义 ■子群判别定理 重要子群的实例 生成子群 中心 正规化子 共轭子群 子群的交 子群格
1 17.2 子群 子群定义 子群判别定理 重要子群的实例 生成子群 中心 正规化子 共轭子群 子群的交 子群格
子群定义 定义设G为群,H是G的非空子集,若H关于G中运 算构成群,则称H为G的子群,记作HG. 如果子群H是G的真子集,则称为真子群,记作H<G 说明:子群H就是G的子代数 假若H的单位元为e,且x在H中相对e的逆元为x, e=x=xe→e=e xx=e=e=xx1→x2=x1
2 子群定义 定义 设G为群, H是G 的非空子集，若H 关于G 中运 算构成群，则称 H 为G 的子群，记作 H≤G. 如果子群H 是G 的真子集，则称为真子群，记作H<G. 说明：子群H 就是G 的子代数. 假若H 的单位元为 e’, 且 x 在H 中相对 e’ 的逆元为 x’, 则 xe’= x = xe ⇒ e’ = e xx’ = e’ = e = xx−1 ⇒ x’= x−1
子群判定定理 定理1G是群,H是G的非空子集,则 压G分Va,b∈H,mb∈H,b-l∈H 证:只证充分性 H非空,存在a属于H, 由条件2,a1属于H, 由条件1,有aa1属于H,即e属于H
3 子群判定定理一 定理 1 G 是群，H 是 G 的非空子集，则 H≤ G ⇔ ∀a,b ∈ H, ab ∈ H, b − 1 ∈ H 证：只证充分性 . H 非空，存在 a 属于 H， 由条件 2，a − 1属于 H， 由条件 1，有aa − 1属于 H, 即 e 属于 H
子群判定定理二和三 定理2G是群,H是G的非空子集,则 压G分Va,b∈H,ab-l∈H 证充分性.H≠团→玉b∈H b∈H→bb-1∈H→e∈H Va,a∈H→el∈H→l∈H Va,b,a,b∈H→a,b-l∈H →m(b-)1∈H→mb∈H 定理3G是群,H是G的有限非空子集,则 KGVa,b∈Hab∈H 证明见教科书
4 子群判定定理二和三 定理 2 G是群， H是 G的非空子集，则 H≤ G ⇔ ∀a,b ∈ H, ab − 1 ∈ H 证 充分性. H ≠ ∅ ⇒∃ b ∈ H b ∈ H ⇒ bb − 1 ∈ H ⇒ e ∈ H ∀ a, a ∈ H ⇒ ea − 1 ∈ H ⇒ a − 1 ∈ H ∀a,b, a,b ∈ H ⇒ a , b − 1 ∈ H ⇒ a ( b − 1 ) − 1 ∈ H ⇒ ab ∈ H 定理 3 G是群，H 是 G 的有限非空子集，则 H≤ G ⇔ ∀a,b ∈ H, ab ∈ H 证明见教科书
重要子群的实例 a生成的子群={|k∈Z},a∈G B生成的子群=∩{HHG,BCH},BG ={b“b2…bn|b1∈B,e1=土1,i=12,,n,n∈Z+} 中 C={a|a∈G,vx∈G(ax=xa)} a的正规化子Na)={x|x∈G,xa=ax},aeG H的正规化子NH={x|x∈G,xHx=H},H≤G 共轭子群xHx1={xhx|heH 其中HG,xeG 子群的交 H,K<G,则 (1)HnK≤G (2)压KsG兮 HckVKcH
5 重要子群的实例 a生成的子群 = { a k | k ∈ Z } ， a ∈ G B生成的子群 = ∩{ H | H≤ G, B ⊆H }, B ⊆ G = 中心 C = { a | a ∈ G, ∀ x ∈ G (ax=xa) } a 的正规化子 N( a) = { x | x ∈ G, xa=ax }, a ∈ G H 的正规化子 N(H) = { x | x ∈ G, xHx− 1 =H }, H≤ G 共轭子群 xHx− 1 = { xhx −1 | h ∈ H } 其中 H≤ G, x ∈ G 子群的交 H, K≤ G, 则 (1) H∩ K≤ G (2) H∪ K≤ G ⇔ H⊆K∨K⊆H { ... | , 1, 1,2,..., , } 1 2 1 2 + b b b bi ∈ B ei = ± i = n n ∈ Z e n e e n
关于子群的证明 证明中心C为子群 证由于e属于C,C非空 任取xy∈C,对于任意a∈G有 (xy-1)a=x(ra)=x(a-y)-1=x(a)-1 xay)=(caryl=(ax)y=a(xy) 因此xy属于C由判定定理2,命题得证
6 关于子群的证明 证明中心 C为子群 证 由于 e属于 C, C非空. 任取 x, y ∈ C，对于任意 a ∈ G 有 (xy − 1 )a = x (y − 1 a) = x ( a − 1y ) − 1 = x (ya − 1 ) − 1 = x (ay − 1) = (xa )y − 1 = (ax )y − 1 = a (xy − 1 ) 因此 xy − 1属于C. 由判定定理 2，命题得证
重要子群的证明(续) 设H,K≤G,则 (1)HOksG (2)BKsG冷H∈ KVKCH 证(1)略 (2)只证必要性 假若豆h(h∈H,h∈K,丑k(k∈K,k∈团, 则kgH,否则k=h-1(hk)∈H,矛盾 同理hkK,从而hg压K 但是h,k∈HK,与K≤G矛盾
7 重要子群的证明（续） 设H,K≤ G, 则 (1) H∩ K≤ G (2) H∪ K≤G ⇔ H⊆K∨K⊆H 证 (1) 略. (2) 只证必要性 假若 ∃ h ( h ∈ H, h ∉ K), ∃ k ( k ∈ K, k ∉ H)， 则 hk ∉ H，否则 k = h − 1 (hk ) ∈ H, 矛盾. 同理 hk ∉ K, 从而 hk ∉ H∪ K 但是 h,k ∈ H∪ K, 与 H∪ K≤ G矛盾
AB构成子群的条件 命题设A,BG,定义AB={b|a∈A,b∈B},则 (1)ABsG分AB=BA (2)ABG→AB= 证(1)略 (2)Ac4B,Bc4B→ABc4B→c4B Vamb,ab∈AB→a∈A,b∈B→a,b∈AUB →a,b∈→mb∈ 例Kein四元群G={e,a,b,c}, <>={e,a},={e,b},={e,c} <>={e,,bC} {aeU{b,e}>=={e,a,b,c}
8 AB 构成子群的条件 命题 设A,B≤G，定义 AB = { ab | a∈A,b∈B }, 则 (1) AB≤G ⇔ AB=BA. (2) AB≤G ⇒ AB= 证 (1) 略. (2) A⊆AB, B⊆AB ⇒ A∪B⊆AB ⇒ ⊆AB ∀ab, ab∈AB ⇒ a∈A, b∈B ⇒ a,b∈A∪B ⇒ a,b∈ ⇒ ab∈ 例 Klein四元群 G ={ e, a, b, c }, ={ e, a }, ={ e, b }, ={ e, c } ={ e, a, b, c } = ={ e, a, b, c }
子群格 G为群,S={HⅣG},偏序集构成格, 称为G的子群格 Klein四元群,Z12的子群格. p 3>
9 G 为群，S={ H | H≤G },偏序集构成格， 称为 G 的子群格 Klein 四元群，Z12的子群格. 子群格
173循环群 ■循环群的定义 循环群的分类 ■生成元 子群 ■循环群的实例
10 17.3 循环群 循环群的定义 循环群的分类 生成元 子群 循环群的实例