湖南大学：《工程数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第七章 二次型与二次曲面（2/2）

§3用配方法化二次型为标准型 定理3.1任何一个对称矩阵A,均能够找 一个满秩或正交矩阵Q,使得QAQ为 对角矩阵,且非零对角元的个数(称为惯 性指数等于秩八A)保持不变。Q不唯 该定理告诉我们,经过初等变换或正交 变换可以将二次型化为标准形式。并且所得 标准形式不唯一,与变换过程有关

定理3.1任何一个对称矩阵A ，均能够找到 一个满秩或正交矩阵 Q ，使得 QTAQ 为 对角矩阵，且非零对角元的个数(称为惯 性指数)等于秩 r(A)保持不变。 该定理告诉我们，经过初等变换或正交 变换可以将二次型化为标准形式。并且所得 标准形式不唯一，与变换过程有关。 Q 不唯一 §3 用配方法化二次型为标准型

证明:设 12 In 2 23 A 32 33 2 我们对n用数学归纳法证明存在满秩阵Q使结论成立 当n=1时,A显然已经是对角阵.现假定对阶数小于n的实对 称矩阵定理结论成立,证明对n阶实对称矩阵定理结论仍成立 我们分两种情形证明 (1)A含有非零对角元不妨设a1≠0 (2)A不含有非零对角元但A为非零阵不妨设a12≠0

证明：设 A , 1 2 3 3 1 3 2 3 3 3 2 1 2 2 2 3 2 1 1 1 2 1 3 1                 = n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a          . aij = aji 我们对n用数学归纳法证明存在满秩阵Q使结论成立. . 1 A . 称矩阵定理结论成立，证明对 阶实对称矩阵定理结论仍成立 当 时， 显然已经是对角阵 现假定对阶数小于 的实对 n n = n 我们分两种情形证明. (1) A . 0; 含有非零对角元 不妨设a11  (2) A . . 0. 不含有非零对角元 但 A为非零阵 不妨设a12 

(1)a1≠0; 12 12 P 01 0 A=a13a32 00 72 n3 0 类似 PAP=a, 0 AP= 0 B 其中B是 1阶 实对称阵 11

. 1             P = 11 1 a 11 12 a a −  11 1 a a n − 0  0 1  0  0    1 (1) 0; a11  令 . 1             AP = 1 0  0 11 12 a a  11 1 a a n *  *  *    * 则 A , 1 2 3 1 3 3 2 3 3 3 1 2 2 2 2 3 2 1 1 1 2 1 3 1                 = n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a          类似 . 1 1       P AP = T 11 1 a T 0 0 B . 1 实对称阵 其中B 是一个 n − 阶

由归纳假设,存在可逆矩阵P2使P2BP2为对角阵 0 0 P BBAB、10771 10 0 P 0p∥0 0 0 BP 为对角阵令P=PP则PP= PP APP为对角阵

P , P P . 由归纳假设，存在可逆矩阵 2 使 2 B 2 为对角阵 T . 3       令 P = 1 T 0 0 P2 则 P3 P1 AP1 P3 T T       = T T P2 1 0 0         B a T 0 0 11 1       2 1 P T 0 0           = T T T P BP a 2 2 11 1 0 0 为对角阵. 令 P = P1 P3 ,则 . P AP P3 P1 AP1 P3 为对角阵 T T T =

an=0,a12≠0 0 12 P 0 A 13 00 ln 12 0 2 且 2 C1)米 * * AP 12 12 AP * 化成了情形(1)

(2) 0, 0. a11 = a22 =ann = a12  . 1             P = 1 −1  0 1  0 1  0  0    1 令 . 1             AP = a12 a12  * a12  * −a12  *  *    * 则 , 0 0 0 0 A 1 2 3 1 3 3 2 3 1 2 2 3 2 1 2 1 3 1                 =          n n n n n n a a a a a a a a a a a a 且 . 1 1       P AP = T 2a12 * * * 化成了情形(1)

例3.1将/化成标准型 f=2x1x2-6x2x3+2x2x1 解二次型对应矩阵的对角元全为零, 故属定理证明中情形(2). 0 令P 001 =y1-y2 几+y2 则对应于线性变换:

例3.1 将 f 化成标准型: 2 6 2 . 1 2 2 3 3 1 f = x x − x x + x x 解 二次型对应矩阵的对角元全为零， 故属定理证明中情形(2). , 1           P = 1 −1 0 1 0 1 0 0 1 令 则对应于线性变换：      , 1 1 2 x = y − y , 2 1 2 x = y + y . 3 3 x = y

f=2xx2-6x2x3+2x3x1 2(1-y2)(y1+y2)-6(1+y2)y3+2y3(1-y2) 2y2-6y1y3-6y2y3+2y31-2y3y2 2 y 220 V1y3-8y2y 令P=010 00 VI z,+二3 则对应于线性变换:

则 2 1 2 6 2 3 2 3 1 f = x x − x x + x x 2( )( ) 6( ) 2 ( ) 1 2 1 2 1 2 3 3 1 2 = y − y y + y − y + y y + y y − y 2 2 2 1 = 2y − 2y 2 3 1 2 3 2 + y y − y y 6 1 3 6 2 3 − y y − y y 2 2 4 8 . 1 3 2 3 2 2 2 1 = y − y − y y − y y , 2           P = 2 1 0 1 0 0 1 0 0 1 令 则对应于线性变换：      , 2 1 1 1 3 y = z + z , 2 2 y = z . 3 3 y = z

f=2y12-2y2-4 1y3-8 (x1+2=)2-2z2-4(x1+2)23-8z2 2 1+2=123+23)-2=2-(2=123+423)-8=2=3 4 0 2 2_822-3 0 0 2|, 001 则对应于线性变换:

1 3 2 3 2 2 2 f = 2y1 −2y −4y y −8y y 1 3 3 2 3 2 2 2 1 3 ) 8 2 1 ) 2 4( 2 1 = 2( z + z − z − z + z z − z z 2 3 2 1 3 3 2 2 2 1 3 3 2 1 2 2 ) 2 (2 4 ) 8 4 2 = ( z + z z + z − z − z z + z − z z 2 1 2 1 = z 2 2 3 − z 2 2 − 2z 8 . 2 3 − z z , 3           P = 1 0 0 0 0 2 1 − − 2 0 1 令 则对应于线性变换：      , 1 u1 z = 2 , 2 1 2 u2 u3 z = − − . 3 u3 z =

2 2 2-3 1,2-2(-l2-2l2 ,)2-22-8(-=l2-23) 32+424+812)-22-(42-161)3 L2+6l

2 3 2 3 2 2 2 1 2 2 8 2 1 f = z − z − z − z z 2 3 3 2 3 2 2 3 2 1 2 ) 2 1 2 ) 2 8( 2 1 2( 2 1 = u − − u − u − u − − u − u u 2 3 3 2 3 2 2 3 3 2 2 2 1 4 8 ) 2 ( 4 16 ) 2 1 ( 2 1 = u − u + u u + u − u − − u − u u 6 . 2 1 2 1 2 3 2 2 2 1 = u − u + u

二次型的标准型不唯 上述方法也叫配方法

二次型的标准型不唯一 上述方法也叫配方法