什么是推理形式? 组前提,一个结论 ■前提、结论都是命题。 n若前提为a1,a2,…,∝n,结论为β, 则将这样的推理形式称为 Q1,a2,…,an推出B
什么是推理形式? 一组前提,一个结论 前提、结论都是命题。 若前提为 α 1 , α 2 , … , α n,结论为 β , 则将这样的推理形式称为 α1, α2, … , αn推出β
什么是正确的推理形式? ■直观上,正确的推理应该保证:如果前提 正确,则结论也应该正确。 定义12设α1,a2,…,Onβ都是命题形 式称推理“α1,(2,…,a推出β”是有效 的,如果对a1,α2,…,αnβ出现的命 题变元的任一指派,若1,α2,…,αn都 真,则β亦真;否则,称“α1,2,…,an 推出β”是无效的或不合理的
什么是正确的推理形式? 直观上,正确的推理应该保证:如果前提 正确,则结论也应该正确。 定义12 设 α 1 , α 2 , … , α n, β都是命题形 式 ,称推理 “ α 1 , α 2 , … , α n推出 β ” 是有效 的,如果对 α 1 , α 2 , … , α n, β中出现的命 题变元的任一指派, 若 α 1 , α 2 , … , α n 都 真, 则 β亦真;否则,称 “ α 1 , α 2 , … , α n 推出 β ” 是无效的 或不合理的
注记 推理形式是否有效与前提中命题形式的 排列次序无关。即: n若“a1,(2,…,an推出β”是有效的,则 对1,2,…,n的任一个排列1i2…,in a,a2推出”也是有效的。 ■所以前提是一个集合I,而不是一个序列。 若“α1;,02,…,n推出β”是有效的,则 记为rβ
注记 推理形式是否有效与前提中命题形式的 排列次序无关。即: 若“α1,α2,…,αn推出β”是有效的,则 对1,2,…,n的任一个排列i1, i2, …, in, “ 推出β”也是有效的。 所以前提是一个集合Γ,而不是一个序列。 若“α1,α2,…,αn推出β”是有效的,则 记为Γ╞ β。 n αi αi αi , , , 1 2 L
例9下列推理形式是否有效? ∨q、-q、(p)q)推出r是无效的。 q0 q(D→q)>r 00 V00111111 011 10111 11 1 11010100 01011101
例9 下列推理形式是否有效? p ∨ q、¬ q、(p →q) →r推出r是无效的。 ← 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 P q p ∨ q ¬ q (p →q) →r r
例10下列推理形式是否有效? (1)(-p1)vp2,p1→(p3^p4),p4→p2, p3→p推出p2Vp4 解:目的是看能否找到使前提为真、且结论为假的 指派。 使p2vp4为假的指派有(*,0,*,0), 其中使(-p)p2为真的指派有(0,0,*,0) 其中使p3→>p4为真的指派有(0,0,0,0), (0,0,0,0)使p1→>(p3∧p4和p4→p2都为真 从而这个推理是无效的
例10 下列推理形式是否有效? (1) (¬p1) ∨ p2,p1 → (p3 ∧ p4), p4 → p2, p3 → p4推出p2 ∨ p4 。 解:目的是看能否找到使前提为真、且结论为假的 指派。 使p2 ∨ p4为假的指派有(*,0,*,0), 其中使 (¬p1) ∨ p2为真的指派有(0,0,*,0), 其中使p3 → p4为真的指派有(0,0,0,0), (0,0,0,0)使p1 → (p3 ∧ p4)和p4 → p2都为真。 从而这个推理是无效的
(2)p1→(p2→),p2推出p1→>p3 解: 使p1→3为假的指派有(1,*,0) 其中使p2为真的指派只有(1,1,0), 而(1,1,0)使p1→>(2→>p3)为假。 故没有使前提为真而结论为假的指派,从 而此推理有效
(2) p1 → (p2 →p3),p2推出p1 →p3 解: 使p1 →p3 为假的指派有(1,*,0), 其中使p2 为真的指派只有(1,1,0), 而(1,1,0)使p1 → (p2 →p3) 为假。 故没有使前提为真而结论为假的指派,从 而此推理有效