实验12求矩阵的特征值和特征向量 本文档举例说明计算矩阵特征值和特征向量的方法 010 例1求矩阵A=101的特征值与特征向量 调用特征值函数 eisenia eigenvecs(A)→0J √2-2 调用特征向量函数输出矩阵的每一列向量 为对应于各特征值的一个特征向量。 11 -0.707 eigenvec(A,0)=o eigenvec(A, V2)= 0.707 nve (A-2)=|-0m07 0.707 Mathcad中输出的特征向量是经过标准化成单位长度的 按照通常的计算过程分步骤计算:设I:= identity(3 特征多项式 I-A→λ-2.λ -1414 调用求多项式根的函数得到特征根yo 1414 101 rer(0.-A)→010 51:=0 对特征值0 000 e(2-A)=01-144 52 22: 对特征值√2 ref-21-A)=o114143= 对特征值-2 I-A→-1√2-1 2.-A→-1 0-1
l×I - A l 3 ® - 2×l 调用求多项式根的函数得到特征根 polyroots 0 -2 0 1 æ ç ç ç ç è ö ÷ ÷ ÷ ÷ ø æ ç ç ç ç è ö ÷ ÷ ÷ ÷ ø -1.414 0 1.414 æ ç ç è ö ÷ ÷ ø = rref(0×I - A) 1 0 0 0 1 0 1 0 0 æ ç ç è ö ÷ ÷ ø ® x1 -1 0 1 æ ç ç è ö ÷ ÷ ø := x1 x1 T -1 2 × 2 0 1 2 × 2 æ ç è ö ÷ ø ® 对特征值0 rref( 2×I - A) 1 0 0 0 1 0 -1 -1.414 0 æ ç ç è ö ÷ ÷ ø = x2 1 2 1 æ ç ç è ö ÷ ÷ ø := x2 x2 T 1 2 1 2 × 2 1 2 æ ç è ö ÷ ø ® 对特征值 2 rref(- 2×I - A) 1 0 0 0 1 0 -1 1.414 0 æ ç ç è ö ÷ ÷ ø = x3 1 - 2 1 æ ç ç è ö ÷ ÷ ø := x3 x3 T 1 2 -1 2 × 2 1 2 æ ç è ö ÷ ø ® 对特征值- 2 2×I - A 2 -1 0 -1 2 -1 0 -1 2 æ ç ç ç è ö ÷ ÷ ÷ ø ® - 2×I - A - 2 -1 0 -1 - 2 -1 0 -1 - 2 æ ç ç ç è ö ÷ ÷ ÷ ø ® 实验12 求矩阵的特征值和特征向量 本文档举例说明计算矩阵特征值和特征向量的方法. 例1 求矩阵 A 0 1 0 1 0 1 0 1 0 æ ç ç è ö ÷ ÷ ø := 的特征值与特征向量. 调用特征值函数 eigenvals(A) 0 2 - 2 æ ç ç ç è ö ÷ ÷ ÷ ø ® eigenvecs(A) -1 2 × 2 0 1 2 × 2 1 2 1 2 × 2 1 2 1 2 -1 2 × 2 1 2 æ ç ç ç ç ç ç è ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ® 调用特征向量函数,输出矩阵的每一列向量 为对应于各特征值的一个特征向量。 eigenvec(A,0) -0.707 0 0.707 æ ç ç è ö ÷ ÷ ø = eigenvec(A, 2) 0.5 0.707 0.5 æ ç ç è ö ÷ ÷ ø = eigenvec(A,- 2) 0.5 -0.707 0.5 æ ç ç è ö ÷ ÷ ø = Mathcad 中输出的特征向量是经过标准化成单位长度的。 按照通常的计算过程分步骤计算: 设 I:= identity (3) 特征多项式
例2求矩阵A=131的特征值与特征向量 eigenvalu(A)→2 调用特征值函数,2为重根 √2-2-√3 eigenvecs(A)→ √调用特征向量函数输出向量的每一列 为对应于各特征值的特征向量。 0.577 -0.615 eigenvec(A.5)=|0577eg)-158 0.577 0.773 对特征值4的特征向量 对特征根1基础解系为: 53 ξ(cl,c2):=cl22+c223 ξ(c1,c2)→ 对特征值1的全部特征向量,cl I-c2 和c为任意不全为0的常数 cl:=-0.158c2:=-0.615-c1-c2=0.773 X:=5(-1,-4) x 42|=(-054-0617072)1|→√42 200 200 Q=0110-1AQ→020w=ccw1Aw→020 005
W - 1 ×A×W 2 0 0 0 2 0 0 0 5 æ ç ç è ö ÷ ÷ ø Q W := eigenvecs(A) ® - 1 ×A×Q 2 0 0 0 2 0 0 0 5 æ ç ç è ö ÷ ÷ ø Q ® -1 2 × 2 0 1 2 × 2 -1 2 × 2 1 2 × 2 0 1 3 × 3 1 3 × 3 1 3 × 3 æ ç ç ç ç ç ç è ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø := x(-1, -4) -1 -4 5 æ ç ç è ö ÷ ÷ ø ® x ® 42 x x T -1 42 × 42 -2 21 × 42 5 42 × 42 æ ç è ö ÷ ø x := x(-1, -4) ® = (-0.154 -0.617 0.772 ) c1 := -0.158 c2 := -0.615 -c1 - c2 = 0.773 对特征值1的全部特征向量, c1 和 c2 为任意不全为0的常数 x(c1, c2) c1 c2 -c1 - c2 æ ç ç è ö ÷ ÷ ø x(c1, c2) := c1x2 + c2x3 ® x3 x3 T 0 1 2 × 2 -1 2 × 2 æ ç è ö ÷ ø x3 ® 0 1 -1 æ ç ç è ö ÷ ÷ ø := x2 x2 T 1 2 × 2 0 -1 2 × 2 æ ç è ö ÷ ø x2 ® 1 0 -1 æ ç ç è ö ÷ ÷ ø := 对特征根1基础解系为： x1 对特征值 4 的特征向量 x1 T 1 3 × 3 1 3 × 3 1 3 × 3 æ ç è ö ÷ ø x1 ® 1 1 1 æ ç ç è ö ÷ ÷ ø := eigenvec(A,2) -0.615 -0.158 0.773 æ ç ç è ö ÷ ÷ ø eigenvec(A,5) = 0.577 0.577 0.577 æ ç ç è ö ÷ ÷ ø = 调用特征向量函数,输出向量的每一列 为对应于各特征值的特征向量。 eigenvecs(A) -1 2 × 2 0 1 2 × 2 -1 2 × 2 1 2 × 2 0 1 3 × 3 1 3 × 3 1 3 × 3 æ ç ç ç ç ç ç è ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ® eigenvals(A) 调用特征值函数, 2为重根 5 2 2 æ ç ç è ö ÷ ÷ ø ® 例2 求矩阵 A 3 1 1 1 3 1 1 1 3 æ ç ç è ö ÷ ÷ ø := 的特征值与特征向量