实验27值的计算 本工作页汇集使用 Mathcad模拟或者计算圆周率的各种方法: (1)下面这个程序是用蒙特卡罗法 (2)下面是用蒲丰投针法 求圆周率π 模拟圆周率π P(N):=k←0 pQN):=|j←0 break ifN=0 a←2 fori∈1..N Xi< rnd(1) break ifN= 0 ←-mnd(1) fork∈1.N r←√(x)2+(y)2 ←rI xk∈mnd(a) k←-k+lifr≤1 ←-i+ I If xk≤l 4.k k 2.N.l P(10000=3.1312 pp(12000=3.154988860812 (3)下面这个程序是用欧拉公式 (4)下面的程序是用瓦里斯公式 求圆周率π 计算圆周率π pi value:=|(s←0i←1) =|s←1 term← fork∈1.1 k thile term≥0.00000001 if fle 2=k k+1 S←S+term k otnerwise terme S←s·t I←1+1 pl← pI value=3.9835919006706 pl=3.14002381860059
pi_value = 3.9835919006706 pi = 3.14002381860059 pi s ¬ 1 t k k + 1 ¬ floor k 2 æ ç è ö ÷ ø if × 2 = k t k + 1 k ¬ otherwise s ¬ s× t k 1 103 for Î .. 2 × s := pi_value (s ¬ 0 i¬ 1 ) term 1 i 2 ¬ s ¬ s + term term 1 i 2 ¬ i¬ i + 1 while term ³ 0.00000001 pi¬ 6s := (4) 下 面的程序是用瓦里斯公式 计算圆周率p (3) 下面这个程序是用欧拉公式 求圆周率 p : Pi(10000) = 3.1312 pp(12000) = 3.15498882608124 pp(N) j¬ 0 a ¬ 2 l¬ 2 break if N = 0 f ¬ rnd(p) xk ¬ rnd(a) j¬ j + 1 if xk £ l × sin(f) for kÎ 1 .. N pp 2 × N × l a × j ¬ Pi(N) k ¬ 0 := break if N = 0 xi ¬ rnd(1) yi ¬ rnd(1) ri (xi) 2 (yi) 2 ¬ + k ¬ k + 1 r if i £ 1 for iÎ 1 .. N k 4 × k N ¬ pi¬ k := (2) 下面是用蒲丰投针法 模拟圆周率p : (1) 下面这个程序是用蒙特卡罗法 求圆周率 p : 本工作页汇集使用Mathcad模拟或者计算圆周率的各种方法: 实验27 p 值的计算
(5)根据马信公式计算圆周率 16·atan 4·atan 230=314159265358979 arctan(x, n):= P:=16· arctan(02,6)-4· arctan( aac,6 239 P=3.14159265261531 etg(x, n) ←1 fork∈1,3.2 s←s+sg k pi:=4· Arct(1,10000pi=3.14149265359003 Pp16Arg(02,)-4Ag(235,)Pp=3190214 可以看到使用 Matin公式计算π将会大大地提高计算速度和精度 6) Borwein四次迭代式计算圆周率的迭代程序, 这个公式由 Jonathan borwein和 Peter Borwein于1985年发表,它四次收敛于π y(n):=|y A0←-6-4V2 Ak<a y(2)=3.14159265358979 建议学生搜集有关π值的资料,编写程序或给出计算公式加以计算
(5) 根据马信公式计算圆周率： 16 atan 1 5 æ è ö ø × 4 atan 1 239 æ è ö ø - × = 3.14159265358979 arctan(x, n) 1 n k (-1) k-1 x 2k-1 2 × k - 1 å × = := P 16 × arctan(0.2 , 6) 4 arctan 1 239 , 6 æ è ö ø := - × P = 3.14159265261531 Arctg(x ,n) s ¬ 0 sig ¬ 1 s s sig x k k ¬ + × sig ¬ -sig for kÎ 1 , 3 .. 2 × n - 1 s := pi := 4 × Arctg(1 , 10000) pi = 3.14149265359003 Ppi 16 × Arctg(0.2 , 5) 4 Arctg 1 239 , 5 æ è ö ø := - × Ppi = 3.1415926824044 可以看到使用Mathin公式计算p 将会大大地提高计算速度和精度. (6) Borwein四次迭代式计算圆周率的迭代程序, 这个公式由Jonathan Borwein和Peter Borwein于1985年发表, 它四次收敛于p. y(n) y0 ¬ 2 - 1 A0 ¬ 6 - 4 2 yk 1 4 1 (yk-1) 4 - - 1 4 1 (yk-1) 4 + - ¬ Ak Ak-1 (1 + yk) 4 × 2 2k+1 × yk 1 + yk (yk) 2 é ë + ù û ¬ - × for kÎ 1 .. n p 1 An ¬ := y(2) = 3.14159265358979 建议学生搜集有关p 值的资料, 编写程序或给出计算公式加以计算