《数学分析》课程教学资源（考研辅导）第三讲 极限与连续

数学分析补充 第一部分:极限与连续 §1数列极限的证明与计算 知识点回顾: 极限定义与性质的应用。 单调有界原理的应用 Cauchy收敛准则的应用 Stols公式, Taylor公式的应用。 范例 证明: lim sin n不存在 证法(1):利用 Cauchy准则。VN,取n=[2N+ 4,m=2N+2z1 则2Nx+<n<2Nx+-<2N丌+丌<m<2Nx+2丌,从而 In n-sin m 证法(2):设 lim sin n=A。因为sin(n+2)-snn=2 sin lcos(n+1) 令n→∞即得 lim cos n=0。又由sin2n+cos2n=1可知A=1。又因为 sn2n=2 sIn ncos以及 lim cos n=0得到A=0。得出矛盾。 2、设(1)xn= cos=coS?2…c 3517 (2)x 241622n 试求:lmx 2 sin 解:(1).以 乘x,注意 sin t cost=-sn2t

1 数学分析补充 第 一 部 分 ：极 限 与 连 续 § 1 数 列 极 限 的 证 明 与 计 算 知识点回顾： 极限定义与性质的应用。 单调有界原理的应用。 Ca u c h y 收敛准则的应用。 S t o l s 公 式 , Ta y l o r 公式的应用。 范例： 1、 证明： n n lim sin → 不存在。 证 法（ 1）：利 用 C a u c h y 准则。 N,取 ], 4 3 [2  n = N + m = [2N + 2 ] ， 则         2 2 2 4 3 2 4 2N +  n  N +  N +  m  N + ，从而 2 2 sin n − sin m  。 证法（ 2）： 设 n n lim sin → ＝ A 。因为 sin( n + 2) − sin n = 2sin 1cos(n +1) ， 令 n → 即 得 lim cos = 0 → n n 。 又 由 sin cos 1 2 2 n + n = 可 知 A= 1 。 又 因 为 sin 2n = 2sin ncosn 以 及 lim cos = 0 → n n 得 到 A= 0。得出矛盾。 2 、设（ 1 ） n n x x x x 2 cos 2 cos 2 cos = 2  ；（ 2 ） n n n x 2 2 2 2 1 16 17 4 5 2 3 + =  。 试求： n n x → lim 。 解 ：（ 1） . 以 n n n n x x 2 2 sin 2 2 sin 乘 n x ，注意 t t sin 2t 2 1 sin cos =

2 (2).以2乘x,注意1-a1+a)=1-a 3、求极限:lim n 解:原 ak 4、已知a>0.(=1…n),计算lima P→+0 解:令a=min{an},A= max a},.由迫敛性得极限为A+-。 求:lin 解法(1):2(k+1-k)<1<2√k-k-1 解法(2):xn中共有2n+2项,最大项为一,最小项为 因此 n+1<<n+2 2n+2 6、求极限:Iim 1P+2P+…+nP (P为自然数) 解:利用Stoz公式、二项式定理。 krcl 7、求极限:lim 月→0 解:对于连乘积形式,可以先取对数。 +2h~2 +…+2m2hn 由 Stolz公式

2 （ 2） . 以 2 1 1 2 1 1 − − 乘 n x ，注意 2 (1− a)(1+ a) =1− a 。 3、求极限： x x n x x x n a a a 1 1 2 0 lim       + + + →  。 解：原式 = ln ,( 0) 1 1 1 , 1 1 1 1 1 1 → → −                 − + + + − + + − + + a x x a n a a k x k x n a a n a a x n x x n x x n x    。 4、已知                +       =  = − →+ = n p i p i n p i p i p ai i n a a 1 1 1 1 0,( 1, )，计算lim 。 解：令 min   , max . a = ai A = ai 由迫敛性得极限为 a A 1 + 。 5、设： n n n k n n x k x → + = =  , : lim 1 2 2 ( 1) 求 。 解法（ 1）： 2( 1) 1 2( +1 − )   k − k − k k k 。 解法（ 2）： n x 中共有 2 n + 2 项，最大项为 n 1 ，最小项为 1 1 n + ，因此 n n x n n n 2 2 1 2 2 +   + + 。 6、求极限： p n n p p p p n , ( 1 2 lim +1 → + ++ 为 自 然 数 ）。 解：利用 S t o l z 公式、二项式定理。 7、求极限： 2 1 2 1 1 3 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 lim         −         −       − − → − − n n n n n  。 解：对于连乘积形式，可以先取对数。         − + + − + − = − − − 2 1 2 2 ln 2 1 2 2ln 2 1 1 ln 2 1 ln 1 2 1 2 3 n n n n n x  ， 由 S t o l z 公 式

lim In xn=lim 2 --2' 1=n,所以mx 8、设:A=∑a收敛,{pn}个+。求证:1im24++Pa=0 n→① (P-Pk+)4 证:ak=A4-A-1,则:原式= +A.,对第一项应用 Pn Stolz公式 9、设x1>0,xn+1 (1+xn) (c>1),求:lm C+x n→∞ 解:注意到xn-x>2一C,故应比较xn与√c的大小关系。问题在 于是否有:xn都大于c?或xn都小于√c?或xn都等于√c?这问题通 常与递推关系式(x)=+3)的单调性及首项x的大小有关 C+x 设:f(x)= c(1+x) ,则f(x) C (c+x)2>0,且(√c) 所以∫(x)单调增加。 ①x1=vVE时,对任意n都有xn=√C,所以{n}收敛于 ②x>√C。由xn1=f(x)及归纳法可证xn>Vc,因此又有{xn}↓ ③x<V∈。同理可证xn<√c,且{xn}个。 另解:因为0<(x)=2(C=1)≤2(D=1-1k<1,即()为压缩映射 从而{xn}收敛 10、若f(x)在I=[a-r,a+r]上可微,(x)≤a<1,|(a)-d≤(1-a)r 任取x。∈l,令x1=f(x0),x2=f(x1)…,xn=f(xn)…。则:存在唯一的x∈ 使mxn=x,x为f(x)的不动点

3 2 1 , lim 2 1 ln 2 2 2 1 2 2 ln lim ln 1 2 1 2 lim = = − − = → − − − − → → n n n n n n n n n n x 所以 x 。 8、 设 ： = = n k An ak 1 收敛， pn  + 。 求 证 ： 0 1 1 lim = + + → n n n n p p a  p a 。 证 ： ak = Ak − Ak−1 ，则：原式 = n n n k k k k A p p p A +  − − = + 1 1 1 ( ) ，对第一项应用 S t o l z 公式。 9、 设 n n n n n c x c x c x x x → +  + +  = ( 1) , lim (1 ) 0 , 1 1 求： 。 解 ：注 意 到 ， n n n n c x x c x x + − − + = 2 1 故应比较 n x 与 c 的 大 小 关 系 。问 题 在 于是否有： n x 都 大 于 c ？ 或 n x 都 小 于 c ？ 或 n x 都 等 于 c ？ 这 问 题 通 常与递推关系式 c x c x f x + + = (1 ) ( ) 的单调性及首项 1 x 的大小有关。 设 ： f c c c x c c f x c x c x f x  = + −  = + + = 0, ( ) ( ) ( 1) , ( ) (1 ) ( ) 则 2 且 ，所 以 f (x) 单 调增加。 ① x = c 1 时，对任意 n 都 有 x c n = ，所以 xn  收敛于 c 。 ② x  c 1 。 由 ( ) n 1 n x = f x + 及归纳法可证 x c n  ，因此又有 xn   。 ③ x  c 1 。同理可证 xn  c ,且{xn }。 另解：因为 1 , ( ) 1 1 ( 1) ( ) ( 1) 0 ( ) 2 2 f x c c c c c x c c f x = −  即 −  + −   = 为压缩映射， 从 而 xn  收敛。 1 0、若 f (x) 在 I=[a - r,a+r]上可微， f (x)  1, f (a) − a  (1−)r ， x I x f x x f x x f x x I  = = n = n−  * 0 1 0 2 1 1 任取 ,令 ( ), ( ), , ( ),。则：存在唯一的 * * lim x x , x n n =  使 为 f (x) 的不动点

4 证:先证f(x)是I到I的映射,即当x-d≤时f(x)-4≤r。再 证f(x)是压缩映射 11设(x)≤M,01,x>√,xn1=日+x,(n=1,2,…)求极限:mx 解:x-1+(a-a+及x>可知x,≤ x,≥√ 2a-x2)>0xn0,a>0 3x2 求:imxn x xn}的单调性归结为是 x< va 否:xn都大于a?或x都小于√a?xn都等于√a?设∫(x) x(x2+3a) 则f(x)=3(x2-a)2 ≥0,f(ya) 于是

4 证：先证 f (x) 是 I 到 I 的 映 射 ， 即 当 x − a  r时 f (x) − a  r 。 再 证 f (x) 是压缩映射。 1 1 、 设 M f (x)  M , 0   1 ， , ( ), , ( ) 0  1 = 0 n = n−1 x R 令x f x  x f x 。 试 证 n n x → lim 存 在 ,且为方程 x = f (x) 的根。 证 ： 0 < 1 1 1, =  n+ − n  n − n− q M x x q x x ,由此可知 xn  是柯西列 . 1 2、 设 , ( 1 , 2 , ) 2 2 , 2 0 1 , 2 1   1 = = + − n =  x y y x x y n n 。求极限 n n y → lim 。 证：用归纳法可证 yn  , 0  yn  1 。 1 3、 设 n n n n n n x x x x x → + = + +   = , ( 1, 2 , ) . lim 1 1, , 1 1  求极限：    。 解 ：         + − + +1 = + 1 2 2 +1 , 1 ( 1)( 1) 1 k k n n x x x x x 及 可知 。 又 由         + + − + − =     n n n n n n x x x x x x 0 0 1 2 2( ) 2 2 ，可知 x2k  , x2k+1 。 令 k k k k k k k k k k x x x x x a x b x x 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 , 1 lim , lim , + + = + + = = = + − − + → →   分别在 两 边 取极限，得到 = =  =  → n n a b ,因此 lim x 。 1 4、 设 1 x ＞ 0， n n n n n n x x a x x a a x → + + +  = , lim 3 ( 3 ) 0 , 2 2 1 求： 。 证 ：                 + = + + x a x a x a a x x n n n n n 1 1 3 8 1 3 1 2 1 。 xn  的 单 调 性 归 结 为 是 否 ： n x 都大于 a ？ 或 n x 都小于 a ？ n x 都等于 a ？ 设 x a x x a f x + + = 2 2 3 ( 3 ) ( ) 则 f a a x a x a f x  = + −  = 0 , ( ) (3 ) 3( ) ( ) 2 2 2 2 。于是：

②.若x>√a,则由f(x)的递增性可知xn>√a,所以{n}递减。 ③.若x1√a,也由f(x)的递增性可知xn0,a1=(a+a3)3,a2=(a1+a3) 证{an}收敛于方程x3=x+x3的一个正根 证:先来讨论{an}的单调性 当a+a3≥a3时,可推知{an}递增,an≥a>0。当a+a3≤a3时,可 证{an}递减。 再来分析{an}的有界性:设f(x)=x+x3-x3 an}递增时,an=an1+a2≤an+a3,故f(an)≥0:{an}递减时, an=an+a2≥an+an,故f(an)≤0。因此,需要确定f(x)的保号区间。 由介值定理知正根ξ的存在性,又由罗尔定理知ξ的唯一性,再由f(+∞) ∞,所以在(0,+∞)上f(x)具有如下的保号性:f(x) (0,5);f(x)<0分x∈(5,+∞)。综上可知{an}递增时an≤5 即{an}有上界;{an}递减时an≥5,即{an}有下界 §2上极限与下极限 (一)数列的上、下极限。 上、下极限的各种等价定义 上、下极限的确界定义: 设{xn}是有界数列,x=sup{x},xn=ntf{xk}。则{}递增有上界

5 ① ． 若 1 x = a ， 则 n x = a 。 ② ． 若 1 x > a ,则 由 f(x)的递增性可知 n x > a ,所 以 xn  递减。 ③ ． 若 1 x 0 , 3 1 3 1 1 a = (a + a ) ， 3 1 3 1 2 1 a = (a + a ) ，．．．， 3 1 3 1 1 2 ( ) an = an− + an− ，．．．试 证 { n a }收敛于方程 3 x ＝ 3 1 x + x 的一个正根。 证：先来讨论 { n a }的单调性： 当 3 1 a + a  3 a 时，可推知 { n a }递增， n a  a > 0 。 当 3 1 a + a  3 a 时，可 证 { n a }递减。 再来分析 { n a }的有界性：设 f ( x ) = 3 1 x + x － 3 x 。 { n a } 递 增 时 ， 3 n a = 3 1 an−1 + an−2  n a + 3 1 n a ， 故 f ( n a )  0 ； { n a } 递 减 时 ， 3 n a = 3 1 an−1 + an−2  n a + 3 1 n a ， 故 f ( n a )  0。因此，需要确定 f ( x ) 的保号区间。 由介值定理知正根  的 存 在 性 ，又 由 罗 尔 定 理 知  的 唯 一 性 ，再 由 f(+  ) ＝ －  ， 所 以 在 （ 0， +  ） 上 f ( x ) 具有如下的保号性： f ( x ) ＞ ０  x  （ 0，  ）； f ( x ) ＜ ０  x  （  ， +  ）。 综 上 可 知 { n a }递增时 n a   ， 即 { n a }有上界； { n a }递减时 n a   ， 即 { n a }有下界。 § 2 上 极 限 与 下 极 限 （一） 数列的上、下极限。 上、下极限的各种等价定义： 上、下极限的确界定义： 设 xn 是有界数列，  k  k n n x x  = sup ， n x =  k  k n x  inf 。则 xn 递增有上界

6 xn}递减有下界。记x=lmxn,x=lmxn,分别称为{xn}的上、下 极限,记为mxn,皿mxn。显然mxn=nfsp{x4},mxn= sup inf{xk} 并且 lim x 上、下极限的￡--N定义 x是{xn}的上极限当且仅当对任意正数E有:①存在N当n>N时 N)使得xn>x-E。 x是{xn}的下极限当且仅当对任意正数E有:①存在N当n>N时 xn>x-E。②对任意自然数N’,存在自然数n(n>N)使得xn0时又有: ≤myxn≤ lim /x≤l n→① 证:①利用上、下极限的E--N定义可证。 ②注意xn= x1。用E--N分析法可证左端的不等 式,再利用几何平均≤算术平均及①的结果可证右端的不等式

6 x n  递减有下界。记 x = n→ lim n x ， x = n→ lim n x ，分别称为 xn  的 上 、 下 极限，记为 n n n n x x → → lim , lim 。显然 n n x → lim =  k  k n n x   inf sup 1 ， n n x → lim =  k  k n n x   sup inf 1 ， 并 且 n n x → lim  n n x → lim 。 上、下极限的  − −N 定义： x 是 xn  的 上 极 限 当 且 仅 当 对 任 意 正 数  有 ： ①存在 N 当 n > N 时 x  x +  n 。② 对 任 意 自 然 数 N ，存 在 自 然 数 n (n  N) 使 得 x  x − n 。 x 是 xn  的 下 极 限 当 且 仅 当 对 任 意 正 数  有 ： ①存在 N 当 n > N 时 x  x − n 。②对 任意自然数 N ，存在自然数 n (n  N) 使 得 x  x +  n 。 上、下极限的聚点定义： x （ x ）是 xn  的 上（ 下 ）极 限 ，当 且 仅 当 x （ x ）是 xn  的 最 大（ 小 ） 聚点。 上、下极限的子列定义： x （ x ）是 xn  的 上（ 下 ）极 限 ，当 且 仅 当 存 在 子 列   nk x 收敛于 x （ x ）， 且 对 xn  任何收敛子列的极限  ，都有 x    x 。 基本事实： xn  收敛的充要条件是 n n x → lim = n n x → lim 。 注：若 xn  无 上 界 ， 则 规 定 n n x → lim = +  ， 若 xn  无 下 界 ， 则 规 定 n n x → lim =－  。 范例： 1、对任意数列 xn  都有： ① n n x → lim  n x xn n + + → 1  lim  n x xn n + + → 1  lim  n n x → lim 。 ② 当 n x > 0 时又有 : 1 lim − → n n n x x  n→ lim n n x  n→ lim n n x  n→ lim n−1 n x x . 证 ： ①利用上、下极限的  − −N 定义可证。 ②注意 n x = n−1 n x x 1 1 2 2 1 x x x x x n n  − − 。 用  − −N 分析法可证左端的不等 式，再利用几何平均 算术平均及 ①的结果可证右端的不等式

2、设0≤x≤x+x,求证:m工存在。 证:若lm互存在,应有m=m=a。对任意g>0,存在n 时 >a-a 又存在N(N>n0)使a-gN,n=kN+m(0≤mN时m-xB-E,于是在x+1,…,x+p=中间至少有 一个属于(5-E,5+E)(若不然,则存在x+k5+E,与 已知条件矛盾)。由E的任意性既知是{xn}的聚点 5、设{xn}为正数列,证明:m a,+anl2 e 反证法:设所述上极限为a,且aN时

7 2、 设 0  n m x +  n x + m x ，求证： n→ lim n xn 存在。 证：若 n→ lim n xn 存在，应有 n→ lim n xn = n→ lim n xn =  。对任意  >0,存 在 0 n , 当 n > 0 n 时 , n xn >  -  。又存在 N（ N > 0 n ） 使  -  ＜ N xN ＜  ＋  。 对任意 n > N， n = k N +m（ 0  m N 时 n n x >  -  . 设 n = k N +m（ 0  m N 时 n n x − x +1 N , p  1 使 n0 x  -  ,于是在 0 1 0 1 , , n + n + p− x  x 中间至少有 一个属于 (  -  ,  +  )（ 若 不 然 ， 则 存 在   −    +  0 + 0 + +1 , n k n k x x ， 与 已 知 条 件 矛 盾 ）。 由  的任意性既知  是 xn  的聚点。 5、 设 xn  为正数列，证明： n→ lim n n n a a a         1 + +1  e 。 反证法：设所述上极限为  ， 且  N 时

a1+a, N.,1.xN+kN-1N+kN-1而k→∞时左边趋于 0:①38>0,当x∈N(a,δ) 时,f(x)0,彐x∈N(a,δ),使f(x)>A-E B是f(x)在点a的下极限,当且仅当E>0:①3δ>0,当x∈N(a,δ) 时,f(x)>B-E。②Vδ>0,3x∈N°(a,6),使f(x)0,36>0,当x∈N°(a,)时,B-E<f(x)<A+E。 ③lmf(x)存在,当且仅当lmf(x)=lmf(x)

8 n n n a a a         1 + +1 N ) ， N k a N a N N k a N N k + − −  + + + + +1 1 1 ) 1 1 (  ＜ N −1 aN , 而 k → 时左边趋于 无 穷 , 得到矛盾。 （二） 函数的上下极限： 函数上下极限的各种等价定义： 确界定义： 设 f (x) 在 ( , ) 0 N a  内有定义，  : 0    ， 记 ： ( )  ( ), ( , ), ( )  ( ), ( , ) 0 0   = Sup f x x  N a    = Inf f x x  N a  。 显 然 ， 当   0 时 ， ( )  ， ( )  。从 而 由 归 结 原 则 可 知 → + 0 lim  ( ) ， → + 0 lim  ( ) 存 在 或   。记 ： lim f (x) x→a = → + 0 lim  ( ) ， x→a lim f (x) = → + 0 lim  ( ) ，分 别 称 为 f (x) 在 点 a 的上下极限。  −  定义： A 是 f (x) 在 点 a 的 上 极 限 ，当 且 仅 当   0：①  >0,当 x  ( , ) 0 N a  时 , f (x) 0,  x  ( , ) 0 N a  , 使 f (x) > A－  。 B 是 f (x) 在 点 a 的 下 极 限 ，当 且 仅 当   0：①  >0,当 x  ( , ) 0 N a  时 ， f (x) >B－  。 ②   >0,  x  ( , ) 0 N a  ， 使 f (x) 0,当 x  ( , ) 0 N a  时 , B－  < f (x) < A +  。 ③ x→a lim f (x) 存在，当且仅当 x→a lim f (x) = x→a lim f (x)

④f(x)在任意N(a,6)内无上(下)界,当且仅当lmf(x)=+∞ (limf(x)=-∞)。 注:由上(下)极限概念可以进一步引入函数的上(下)半连续性, 并在闭区间上建立上(下)半连续函数的上(下)界、最大(小)值 定理 §3实数基本定理与函数的连续性 主要知识点 连续概念及应用 连续函数性质的应用; 实数基本定理及其应用 范例: 1、设y=f(x)在(a,b)内具有介值性质,且1-1对应。求证 i)、∫(x)严格单调,值域为某个区间J。 i)、f(0y)在J内严格单调 ⅲ1)、f(x)、∫-(y)都连续。 证:i)(反证)不妨设存在x1f(x3),取 u∈(mx(f(x1),f(x3),f(x2)),Bx'∈(x1,x2)x"∈(x2,x3)使H=f(x)=f(x) i)由x=f-(y)当且仅当y=f(x),及f(x)的单调性即知。 ⅲil)设: (f(x0)-E,f(x)+E)cJ。彐x1,x2使f(x)=f(x0)-E,f(x2)=f(x)+E。不 妨设∫(x)单调增加,于是x1<x0<x2,取δ=mn{x0-x1,x2-x0),则当 x∈(x0-6,x0+δ时x1<x<x2故由单调性知f(x1)<f(x)<f(x2),即 f(x0)-E<f(x)<f(x0)+E 注意到∫-(y)与f(x)具有同样的性质,故∫(y)也连续。 2、设f(x)在(-∞,+∞)连续,且加m了(x)=0,求证 i)若n为奇数,则存在ξ∈R,使5"+∫(5)=0。 ⅱ)若n为偶数,则存在ξ∈R,使Ⅴx∈R,x"+f(x)≥5+∫(2) 证:F(x)=x”+fx),(x2→1,故当冈充分大时,F(x)与x"同 号。于是,当n为奇数时F(x)变号,由介值定理即证;而当n为偶

9 ④ f (x) 在任意 ( , ) 0 N a  内 无 上 （ 下 ） 界 ， 当 且 仅 当 x→a lim f (x) = +  （ x→a lim f (x) =－  ）。 注 ：由 上（ 下 ）极 限 概 念 可 以 进 一 步 引 入 函 数 的 上（ 下 ）半 连 续 性 ， 并在闭区间上建立上（下）半连续函数的上（下）界、最大（小）值 定理。 § 3 实 数 基 本 定 理 与 函 数 的 连 续 性 主要知识点： 连续概念及应用； 连续函数性质的应用； 实数基本定理及其应用。 范例： 1、 设 y = f (x) 在 (a,b) 内具有介值性质，且 1— 1 对应。求证： ⅰ ）、 f (x) 严格单调，值域为某个区间 J。 ⅱ )、 ( ) 1 f y − 在 J 内严格单调。 ⅲ ）、 f (x) 、 ( ) 1 f y − 都连续。 证 ： ⅰ ）（ 反 证 ） 不 妨 设 存 在 , ( ) ( ), ( ) ( ) 1 2 3 1 2 2 3 x  x  x f x  f x f x  f x ， 取 ( max( ( ), ( )) , ( ) ) , ( , ), ( , ) ( ) ( ) 1 3 2 1 2 2 3   f x f x f x x  x x x  x x 使 = f x  = f x  ⅱ )由 x = ( ) 1 f y − 当且仅当 y = f (x) ， 及 f (x) 的单调性即知。 ⅲ）设： ( ( ) − , ( ) +  )   , ( ) = ( ) − , ( ) = ( ) +  0 0 1 2 1 0 2 0 f x f x J 。 x x 使f x f x f x f x 。不 妨 设 f (x) 单调增加，于是 x1  x0  x2 ,取 = min{ x0 − x1 , x2 − x0 ) ,则当     −   +  − +     ( ) ( ) ( ) ( , ) . ( ) ( ) ( ) , 0 0 0 0 1 2 1 2 f x f x f x x x x 时 x x x 故由单调性知 f x f x f x 即 注意到 ( ) 1 f y − 与 f (x) 具有同样的性质，故 ( ) 1 f y − 也连续。 2、 设 f (x) 在 (− , + ) 连续，且 0 ( ) lim = → n x x f x ，求证： ⅰ）若 n 为奇数，则存在 R ， 使  f ( ) n + = 0。 ⅱ ) 若 n 为偶数，则存在 R ， 使 x  R , x + f (x)  n  f ( ) n + 。 证 ： F（ x） = 1 ( ) ( ) , → + → x n n x F x x f x ， 故 当 x 充分大时， F（ x） 与 n x 同 号 。 于 是 ， 当 n 为奇数时 F（ x ） 变 号 ， 由 介 值 定 理 即 证 ； 而 当 n 为 偶

数时F(x)→+∞,故F(x)在R上有最小值 x→① 3、设∫(x)处处连续mf(x)=+∞,mnf(x)=f(a)a,存在B>a使f(B)>a)f(a)。由介值定理b∈(A,a), b2∈(a,B)使∫(b)=f(b2)=a,于是f(f(b1)=f(f(b2)=f(a),且b≠b2 4、设∫(x)处处连续,f(f(x)=x,求证:f(x)有不动点。 证:作F(x)=f(x)-X,则F(f(x))=x-f(x)。故F(x) 在点x,∫(x)异号,再由介值定理即证。 几何意义:按题意知,点(x,f(x)),(f(x),x)都在曲线C y=f(x)上,而点(x,f(x)),(f(x),x)关于对角线对称,因此 线C必与对角线相交 5、设f(x)在[0,1]连续,且f(0)=f(1),则Ⅶn∈N,3∈[0,1使 ∫(5+-)=∫(5)。 证:设o(x)=f(x+)-f(x),0≤x≤1-.则:k q()=f(1)-f(0)=0 所以φ(-)中必有异号的两项(或全为零),由介值定理即证 6、设n是自然数,f(x)在[0,n]上连续,f(0)=f(n),求证 [0,n]上至少有n对不同的{u,v}使f(u)=f(v),且v-u是正整 数 证:(归纳法)设n=k时已成立,考察n=k+1。已知f(x)在区 间[0,k+1]连续,f(0)=f(k+1) ①仿上题方法可证:3∈[0,k]使f(2)=f(2+1) ②化为n=k情形:作h(x)= ∫f(x)0≤xs5 0f(x+1)5<x≤k 则h(x)在[0,k] 连续,且h(0)=h(k)。故存在(x1,y1)…,(xk2y)使h(x1)=h(y),并且 y1-x是正整数 ③、表成∫(x)的等式 若y≤5,则f(x1)=f(y),且(x,y)≠(5,5+1)

10 数 时 F（ x） → +  x→ ， 故 F（ x） 在 R 上有最小值。 3、设 f (x) 处处连续 f x f x f a a x = + =  → lim ( ) , min ( ) ( ) 。求 证 ： f ( f (x)) 至少在两个不同点处取到最小值。 证：显然 x  R , f ( f (x))  f (a) 。又依条件可知存在 Af(a)>a, 存 在 B>a 使 f(B)>a>f(a)。由介值定理 ( , ) b1  A a ， ( , ) b2  a B 使 1 2 1 2 1 2 f (b ) = f (b ) = a ,于是 f ( f (b )) = f ( f (b )) = f (a) ,且b  b 。 4、 设 f (x) 处处连续， f ( f (x)) ＝ｘ，求证： f (x) 有不动点。 证：作 F（ x） ＝ f (x) －ｘ，则 F（ f (x) ）＝ｘ－ f (x) 。 故 F（ x） 在点ｘ， f (x) 异号，再由介值定理即证。 几何意义：按题意知，点（ｘ， f (x) ），（ f (x) ，ｘ）都在曲线 C： y＝ f (x) 上 ， 而 点 （ ｘ ， f (x) ），（ f (x) ， ｘ ） 关 于 对 角 线 对 称 ， 因 此 曲 线 C 必与对角线相交。 ５ 、设 f (x) 在 [ 0，1 ]连 续 ，且 f（ 0 ）＝ f（ 1），则 n  N ,  [0,1] 使 ) ( ) 1 ( f  n f + = 。 证：设 . ( ) (1) (0) 1 ) ( ) , 0 1 1 ( ) ( 1 0 f f n k n f x x n x f x n k = + −   −  = − − =  则：  ＝０， 所 以 ( ) n k  中 必 有 异 号 的 两 项 （ 或 全 为 零 ）， 由 介 值 定 理 即 证 。 6、 设 n 是自然数， f (x) 在 [ 0， n ]上连续， f（ 0） ＝ f （ n）， 求 证 ： [ 0， n ]上至少有 n 对不同的 { u， v }使 f（ u） ＝ f（ v）， 且 v - u 是正整 数 。 证 ：（ 归 纳 法 ） 设 n＝ ｋ 时 已 成 立 ， 考 察 n＝ ｋ + 1。已知 f（ x） 在 区 间 [ 0， ｋ +1]连续， f（ 0） ＝ f（ ｋ + 1）。 ① 仿上题方法可证：  [0,k]使f () = f ( +1) ② 化 为 n＝ k 情形：作    +     = f x x k f x x h x   ( 1) ( ) 0 ( ) ,则 h(x)在 [ 0， k ] 连续，且 h(0)＝ h(k)。故存在 ( , ), , x1 y1  ( , ) k k x y 使 ( ) ( ) i i h x = h y ，并且 i i y − x 是正整数。 ③ 、表成 f (x) 的等式。 若  , i y 则 ( ) i f x ＝ ( ) i f y ， 且 ( , ) i i x y  (, +1)