第五章大数定律和 中心极限定理 第一节大数定梓 湖南商学院信息系 教学教研宝
第五章 大数定律和 中心极限定理 第一节 大 数 定 律 湖南商学院信息系 数学教研室
概率论与数理统计是研究随机现象统计 规律性的学科.随机现象的规律性只有在相 同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出 来.也就是说,要从随机现象中去寻求必然 的法则,应该研究大量随机现象 ⊙o
概率论与数理统计是研究随机现象统计 规律性的学科. 随机现象的规律性只有在相 同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出 来. 也就是说，要从随机现象中去寻求必然 的法则，应该研究大量随机现象
研究大量的随机现象,常常采用极限 形式,由此导致对极限定理进行研究.极 限定理的内容很广泛,其中最重要的有两 种 大数定律与中心极限定理 下面我们先介绍大数定律
研究大量的随机现象，常常采用极限 形式，由此导致对极限定理进行研究. 极 限定理的内容很广泛，其中最重要的有两 种: 大数定律 与 中心极限定理 下面我们先介绍大数定律
大数定律的客观背景 大量的随机现象中平均结果的稳定性 大量抛掷硬币 正面出现频率生产过程中的字母使用频率 废品率
大量的随机现象中平均结果的稳定性 大数定律的客观背景 大量抛掷硬币 正面出现频率 生产过程中的 字母使用频率 废品率 ……
几个常见的大数定律 定理1(切比雪夫大数定律) 设X1,X2,是相互独立的随 切比雪夫,I兀 机变量序列,它们都有有限的方差,切比雪夫 并且方差有共同的上界,即r(X ≤K,i=1,2,…,则对任意的>0, imP∑X-∑E(X)ke}=1 n
几个常见的大数定律 定理1（切比雪夫大数定律） = = → − = n i n i i i n E X n X n P 1 1 ( ) | } 1 1 1 lim {| 设 X1 , X2 , …是相互独立的随 机变量序列，它们都有有限的方差， 并且方差有共同的上界，即 Var(Xi ) ≤K，i=1, 2, …， 切比雪夫 则对任意的ε>0
切比雪夫大数定律表明,独立随机变 量序列{X},如果方差有共同的上界,则 n2X与其数学期望∑E(X偏差很小的 概率接近于1. 即当n充分大时,∑X差不多不再是 随机的了,取值接近于其数学期望的概率接 近于1 切比雪夫大数定律给出了 平均值稳定性的科学描述
切比雪夫大数定律表明，独立随机变 量序列{Xn }，如果方差有共同的上界，则 = n i Xi n 1 1 与其数学期望 = n i E Xi n 1 ( ) 1 偏差很小的 概率接近于1. = n i Xi n 1 1 随机的了，取值接近于其数学期望的概率接 近于1. 即当n充分大时， 差不多不再是 切比雪夫大数定律给出了 平均值稳定性的科学描述
证明切比雪夫大数定律主要的数学 工具是切比雪夫不等式 设随机变量X有期望E(X和方差a2 则对于任给E>0, P{X-E(X)k}≥1
证明切比雪夫大数定律主要的数学 工具是切比雪夫不等式. 设随机变量X有期望E(X)和方差 ， 则对于任给 >0, 2 2 2 {| ( ) | } 1 P X − E X −
作为切比雪夫大数定律的特殊情况, 有下面的定理 定理2(独立同分布下的大数定律) 设X1,X2,…是独立同分布的随机变量 序列,且E(X)=pWr(X)=σ2i=1,2, 则对任给公0 imP{-∑X2-4ke} n→0
作为切比雪夫大数定律的特殊情况， 有下面的定理. | } 1 1 lim {| 1 − = = → n i i n X n P 定理2（独立同分布下的大数定律） 设X1 ,X2 , …是独立同分布的随机变量 序列，且E(Xi )= ，Var(Xi )= ， i=1,2,…, 则对任给 >0, 2
下面给出的贝努里大数定律, 是定理2的一种特例 设S是n重贝努里试验中事件A发 生的次数,P是事件A发生的概率, 伯努利 贝努里 引入x=,如第次试验发生 0, 否则=1,2, 则S=∑X ∑X是事件A发生的频率 1
下面给出的贝努里大数定律， 是定理2的一种特例. 贝努里 设Sn是n重贝努里试验中事件A发 生的次数，p是事件A发生的概率， = ， 否则 ， 如第 次试验 发生 0 1 i A 引入 X i i=1,2,…,n 则 = = n i n Xi S 1 = = n i i n X n n S 1 1 是事件A发生的频率
于是有下面的定理: 贝努里 定理3(贝努里大数定律) 布第一·伯努利 设S是n重贝努里试验中事件4发生的 次数,p是事件4发生的概率,则对任给的 ￡>0, n pke lim Pi-n n→0 或 n→>00 D上e}=0 lim Pin
于是有下面的定理： 设Sn是n重贝努里试验中事件A发生的 次数，p是事件A发生的概率，则对任给的 ε> 0， 定理3（贝努里大数定律） lim {| − | } = 1 → p n S P n n 或 lim {| − | } = 0 → p n S P n n 贝努里