§3积分不等式 主要知识点: Neton- Leibnitz公式,变上限积分性质,积分中值定理,分部积分公式 范例 1、设f(x)在[a,b连续可微且f(a)=0,求证 ff(x)dx 证:f(x)=「f(ot,所以 两边对ⅹ积分即证。 2、设g(x)在0,a连续可微且g(0)=0,求证: g(x)g (x)dx 证:10My=x),且b()=(,于是有 ∫gog(0x)()h=6(0)=2(C()=(h 2 3、设f(x)≥0,∫"(x)≤0,求证:f(x)≤ f(xdx 证:设t∈[a,b],在点t处将f(x)展开成泰勒公式 f(x)=f(1)+f(x-1)+∫"(5,)x-t)2≤f()+f(1)x-1),对t积分得 (b-af(x)s∫fo+∫(x=)(oM=2/o+(x-b)(b)+(a-x)/(a) 2∫d,(:(x-b)(x)≤0,(a-x)f(a)≤0) 4、设f(x)在[a,b]连续且单调增加,求证: xf(x)dx b ∫(x)
26 §3 积分不等式 主要知识点：Neton-Leibunitz 公式，变上限积分性质，积分中值定理，分部积分公式。 范例： 1、 设 f（x）在[a，b]连续可微且 f（a）= 0 ，求证： − b a b a f x dx b a f x dx 2 2 2 ( ) 2 ( ) ( ) 。 证： = x a f (x) f (t)dt ，所以 f x f t dt dt f t dt x a f t dt a x b b a x a x a x a − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , 2 2 2 2 。 两边对 x 积分即证。 2、 设 g（x）在[0，a]连续可微且 g（0）=0，求证： g x dx a g x g x dx a a 0 2 0 ( ) 2 ( ) ( ) 。 证 ： ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) 0 0 g x g t dt g t dt h x h x g x x x = = = 且 记 ，于是有 g x dx a g x g x dx h x h x dx h a g x dx a a a a = = 0 2 2 0 2 0 0 ( ) 2 ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 。 3、 设 − b a f x dx b a f x f x f x ( ) 2 ( ) 0 , ( ) 0 , 求证： ( ) 。 证：设 t [a，b]，在点 t 处将 f（x）展开成泰勒公式： ( )( ) ( ) ( )( ) 2 1 ( ) ( ) ( )( ) 2 f x f t f t x t f x t f t f t x t = + − + t − + − ，对 t 积分得 2 ( ) , ( ( ) ( ) 0 , ( ) ( ) 0 ) . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − − − + − = + − + − f t dt x b f x a x f a b a f x f t dt x t f t dt f t dt x b f b a x f a b a b a b a b a 4、 设 f（x）在[a，b]连续且单调增加，求证： + b a b a f x dx a b xf x dx ( ) 2 ( )
证:证法一设()=J0O0m-2,(0m,则:ga)=0.并且 g(x)=xf(x) f(odt f(r) 3∫(x)- ∫(5)≥0。 证法二:(x-2)f(x)dr a )f(x)dx )f(x)dx,并 利用积分第一中值定理。 a+b 证法三对(x---)f(x)dx直接应用积分第二中值定理。 2 5、设f(x)∈Ca,bl,f(a)=f(b)=0,则 M=maxf(x)≥ f(xda (b-a) 证:(证法一)将f(x)分别在点a,b处展成泰勒公式可得: Jf(x)=|f(5x-a)≤Mx-a),|(x=f(Xx-b≤M(b-x),所以 (xk≤M(x-8M,/(xk≤MJ(b-ht=(b-a) 证法二)由f(x)=r(ou=∫f得到/(x)sM(x-a)或Mb-x),以下 与证法一相同。 6、设f(x)eCo,1,则:j(x)xsmJ(x),r(x 证:当j/(>(x时,必存在x0∈D,使f(x)=0,于是 (x)=r0dsk,再对x积分即证 7、设f(x)eC,.,x(x)bk=0(0≤k≤n-D,xf(x)=1,求证 l5∈(0,1),使(5)≥2(n+1)
27 证：证法一:设 ( ) , ( ) 0, 2 ( ) ( ) = + = − f t dt g a a t g x tf t dt t a t a 则： 并且 ( ) 0 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 1 ( ) ( ) − − − = + = − − f x a f x x a f x a t g x x f x f t dt x a 。 证法二: 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 a b b b a b a a a b a b a b x f x dx x f x dx x f x dx + + + + + − = − + − ，并 利用积分第一中值定理。 证法三:对 + − b a f x dx a b x ) ( ) 2 ( 直接应用积分第二中值定理。 5、 设 f（x） C １ [a，b]，f（a）= f（b）= 0 ，则： f x dx b a M f x b a x b − a = ( ) ( ) 4 max ( ) 2 。 证：（证法一）将 f（x）分别在点 a ，b 处展成泰勒公式可得： f (x) = f ()(x − a) M(x − a) , f (x) = f ()(x −b) M(b − x) ，所以 M b a M f x dx M b x dx b a f x dx M x a dx b a b b a b a b a a b a 8 ( ) , ( ) ( ) 8 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 − − = − − = + + + + 。 （证法二）由 = = x b x a f (x) f (t)dt f (t)dt 得到 f (x) M(x − a) 或M(b − x) ，以下 与证法一相同。 6、 设 f（x） C １ [0，1]，则： 1 0 1 0 1 0 f (x)dx max f (x) dx , f (x)dx 。 证：当 1 0 1 0 f (x)dx f (x)dx 时 ，必存在 x 0 [0，1]使 f（x 0）= 0 ，于是 f x f t dt f t dt x x = 1 0 ( ) ( ) ( ) 0 ，再对 x 积分即证。 7、 设 f（x） C １ [0，1]， ( ) 0 (0 1) , ( ) 1 1 0 1 0 = − = x f x dx k n x f x dx k n 。求证： (0 ,1) , f ( ) 2 (n +1) n 使
证:(反证)假定对任意x∈0,1,f(x)0,丑A>0,当x>州时c-E0,存在A>0,当x>A时f(x)>M,于是 →+ (x=1(x)+(x>(x)+xMM,由M的任意性 注:①上述命题可以推广为:若对任意A>0,f(x)在0,A]可积,且imf(x)存 m = m ②若将条件lmf(x)存在改成m「f(存在,则命题不真(如f(x)=smx) x→+ 10、设f(x)在,1可微,x∈(0,1)时0<f(x)<1,f(0)=0,试证:
28 证 ：（ 反 证 ） 假 定 对 任 意 x [0 ， 1] ， f (x) 2 (n +1) n 。则由最值定理 = max ( ) 2 ( + 1) M f x n n a x b 。又由题设条件得到 1 2 ( 1) ) 2 1 ) ( 2 1 1 ( )( 1 0 1 0 + = − − = n M f x x dx M x dx n n n ，矛盾。 8、 设 ( ) 0 , ( ) =1 b a f x 连续 f x dx ，t 为任意实数，求证： ( )cos ( )sin 1 2 2 + b a b a f x txdx f x txdx 。 证：注意到 f (x)cos x = f (x) f (x) cos x ，运用柯西不等式即证。 9、 设 f（x）在 [0 , ) + 递增，求证： ( ) lim ( ) 1 lim 0 f t dt f x x x x x→+ →+ = 证：先设 = + →+ f x c x lim ( ) 。 0 , A 0 ,当x A时c − f (x) c ，故 f x dx c x x x A f x dx c x A x − + − 0 0 ( ) 1 ( ) ( ) 1 。依次取上下极限并由 的任意性即证。 再设 = + →+ lim f (x) x 。则对任意 M > 0 ,存在 A > 0 ,当 x > A 时 f（x）> M ,于是 M M x x a f x dx x f x dx x f x dx x f x dx x x x A A x A →+ → − = + + 0 0 0 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 , 由M的任意性 即证。 注：①上述命题可以推广为：若对任意 A > 0 ，f（x）在[0，A]可积，且 lim f (x) x→+ 存 在，则： ( ) lim ( ) 1 lim 0 f t dt f x x x x x→+ →+ = 。 ②若将条件 lim f (x) x→+ 存在改成 →+ x x f t dt x 0 ( ) 1 lim 存在，则命题不真（如 f(x) = sinx）。 10、 设 f（x）在[0，1]可微，x （0，1）时 0 < f/（x）< 1，f（0）= 0 ，试证：
f(x)dx)>f(x)dx。 证法令F()=(C()广(),可证F(0=0F(>0 证法二:令F(x)=[f(x)dx G(x)=[f3(x)x,对 F(x) 两次应用柯西 中值定理即证 1l设f(x,p(x)在a,b连续,p(x)≥0,p(x)x>0,9(x)>0,试证 ∫p(x)/(x)d p(x)o((x)) Po plx)dx p(x)f(x)dx 证:令x0= ,则:o(y)=0(x0)+q(x0)y-x0)+q"(5y-x0)2 >(x0)+q(x0Xy-x) 令y=f(x),两边同乘以p(x)后,再在a,b]对x积分,并注意到 (-x)(x)k=((x)-x)p(x)=0即得证明
29 ( ) 2 1 1 3 0 0 f x dx f x dx ( ) ( ) 。 证法一：令 ( ) ( ) ( ) , (0) 0, ( ) 0 0 3 2 0 − = = F x f x dx f x dx F F x x x 可证 。 证法二：令 F(x) = ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) , 0 3 2 0 G x F x f x dx G x f x dx x x = 对 两次应用柯西 中值定理即证。 11、设 f（x），p（x）在[a，b]连续，p（x） 0， ( ) 0 , ( ) 0 p x dx x b a ，试证： b a b a b a b a p x dx p x f x p x dx p x f x dx ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) 。 证：令 2 0 0 0 0 0 ( )( ) 2 1 , : ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) y x x y x y x p x dx p x f x dx x b a b a = = + − + − 则 ( ) ( )( ) 0 0 0 x + x y − x 令y = f (x) ，两边同乘以 p x( ) 后，再在[a，b]对 x 积分，并注意到 ( − 0 ) ( ) = ( ( ) − 0 ) ( ) = 0 y x p x dx f x x p x dx b a b a 即得证明