实验23用Z变换法求差分方程的解 图图m Mathcad的 Symbolic/ Transform菜单中,提供了三种变换: Fourier变换, Laplace 变换和z变换,以及相应的逆变换 Z变换相当于数学中定义的母函数,例如: ∑ z simplify→>z (z+1) ans.n→Z 又如 e trans,k→ 而∑ e.z simplify→ (z-exp(1)) 利用z变换及其逆变换,可以求解差分方程的初值问题. (2)用鼠标包括自变量n,执行 Symbolic/ Transform/z菜单命令,产生z变换结果; (3)用y替换变换结果表达式中的 trans(a(mn),n,z),用初始条件替换其中的a(0); 从经过替换的表达式中,执行 Symbolic Variable/Solve命令,解出y,即用z的 函数表出y (5)对最后的不等式执行 Symbolic/ Transform/Inverse Z命令,即可得到所求得解. 例1已知数列an+1=2an+2,a0=0求an的通项公式 求解过程如下 a(n+1)-2.a(n)-2 a(0)=0 第(1),(2)步 -(4.2, trans(a a(n), n, z)-z s(a(n),n,z)-2·a(0)·z+a(0)·z ns(a(n), n, z)+ (-2+z) y-4y+z 替换上式解出y invztrans, Z(1+n) 执行逆z变换 simplify (-2+z) a(n):=2(n-1) m:=1,3.12 即a(m)=2n-),n为所求的解 a(m+1)-2·a(m)=a(m+1)-2.a(m)=2= 128 512 2048
a(m + 1) - 2 × a(m) 2 m = 1 1 1 1 1 1 a(m + 1) - 2 × a(m) = 2 8 32 128 512 2048 = 即 a(n) 2 (n-1) a(n) 2 m := 1,3.. 12 = × n 为所求的解 (n-1) := × n 执行逆Z变换 z (-2 + z) 2 invztrans, z simplify 2 (- 1+n) ® × n 替换上式解出y 4 × z × y z 2 -( - × y - 4 × y + z) z - 2 solve,y z (z - 2) 2 ® 4 × z × ztrans(a(n), n, z) z 2 - × ztrans(a(n),n, z) - 2 × a(0) × z a(0) z 2 -( + × - 4 × ztrans(a(n), n, z) + z) (-2 + z) 第(1),(2)步 a(n + 1) - 2 × a(n) 2 a(0) = 0 n - 求解过程如下 : 例1 已知数列 a n+1 2 a n × 2 n = + , a 0 = 0 . 求a n的通项公式. Mathcad 的Symbolic / Transform 菜单中, 提供了三种变换: Fourier变换, Laplace 变换和Z变换, 以及相应的逆变换. Z变换相当于数学中定义的母函数, 例如: n 2 ztrans, n z (z + 1) (z - 1) 3 ® × 而 0 ¥ n n 2 z - n å × = simplify z (z + 1) (z - 1) 3 ® × 又如 e k ztrans, k z (z - exp(1)) ® 而 0 ¥ k e k z - k å × = simplify z (z - exp(1)) ® 利用Z变换及其逆变换, 可以求解差分方程的初值问题. 步骤如下: (1) 给出差分关系式以及初始条件; (2) 用鼠标包括自变量n,执行Symbolic / Transform/Z 菜单命令, 产生Z变换结果; (3) 用y替换变换结果表达式中的 ztrans(a(n), n, z) , 用初始条件替换其中的 a(0) ; (4) 从经过替换的表达式中, 执行Symbolic / Variable/Solve命令, 解出y, 即用z的 函数表出y; (5) 对最后的不等式执行Symbolic / Transform/Inverse Z 命令, 即可得到所求得解. 实验23 用Z变换法求差分方程的解
例1求菲波那契数列的通项 a(n+2)-a(n+1)-a(n)a(0)=0a(1)=1 msgMapleZ nsg Maple← Mathcad命令 trans(a(n),n,z)-a(0)·z-a(1)·z-z· trans(a(n),n,z)+a(0)·z- trans(a(n),n,z) 0 msg MapleSolve Invztrans.z→一 1[-2y、5-1).5+2(5+1) 1.[2"(5+2、5-(2"(5-n)s smp52L45+)"-)+(5-1) (5-1)2.(5+1) 0=52(5--(5+" n) 例3已知数列满足:F(n+2)-5·F(n+1)+6·F(n)=0F(0)=1F(1)=-2求F(n) F(n+2)-5·F(n+1)+6·F(n) 2.da(F(m),n,)-F(0)·z2-F(1).z-5 z. trans( f(n,n,z)+5,F(0)z+6,das(F(m),n,z) 2.aman(F(m),n,z)-F(0),2-F(1).z +[(-5)·z· trans(F(n),n,z)+5·F(0)·z+6· trans(F(n),n,z)
z 2 × ztrans(F(n), n, z) F(0) z 2 - × - F(1) × z + [(-5) × z × ztrans(F(n),n, z) + 5 × F(0) × z + 6 × ztrans(F(n),n, z)] ... z 2 × ztrans(F(n), n, z) F(0) z 2 - × - F(1) × z - 5 × z × ztrans(F(n), n, z) + 5 × F(0) × z + 6 × ztrans(F(n), n, z) msgMapleZ F(n + 2) - 5 × F(n + 1) + 6 × F(n) F(0) = 1 F(1) = -2 例3 已知数列满足: F(n + 2) - 5 × F(n + 1) + 6 × F(n) = 0 F(0) = 1 F(1) = -2 求 F(n) a(n) 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 = n := 1.. 10 a(n) 1 5 × 5 2 n × ( 5 - 1) - n ( 5 + 1) - n (-1) n - × é ë ù := × û 1 5 2 n ( 5 + 1) n × × 5 (-2) n ( 5 - 1) n - × × 5 é ë ù û ( 5 - 1) n ( 5 + 1) n × × simplify 1 5 × 5 2 n × ( 5 + 1) - n - (-1) n × ( 5 - 1) - n + é ë ù ® × û z z 2 ( - z - 1) invztrans, z 1 5 (-2) n - ( 5 - 1) n × × 5 2 n ( 5 + 1) n + × × 5 é ë ù û ( 5 - 1) n ( 5 + 1) n × ® × msgMapleSolve z 2 × y 0 z 2 - × - 1 × z - z × y + 0 × z - y z 2 × ztrans(a(n), n, z) a(0) z 2 - × - a(1) × z - z × ztrans(a(n), n, z) + a(0) × z - ztrans(a(n), n, z) msgMapleZ msgMapleZ ¬ Mathcad命令 a(n + 2) - a(n + 1) - a(n) a(0) = 0 a(1) = 1 例1 求菲波那契数列的通项
zy-z+2·z-5·z·y+5·z+6·y Intrans,Z一 其他例子: F(n+3)-3·F(n+1)+2·F(n) 0) F(1)=0F(2)=0 F(n+1)-F(n)- F(0)=0 F(n+3)-F(n+2)-9F(n+1)+9.F(n)F(0)=0F(1)=1F(2)=2
z 2 × y z 2 - + 2 × z - 5 × z × y + 5 × z + 6 × y z (z - 7) z 2 ( - 5 × z + 6) × invztrans, z -4 3 n × 5 2 n ® + × 其他例子: F(n + 3) - 3 × F(n + 1) + 2 × F(n) F(0) = 1 F(1) = 0 F(2) = 0 F(n + 1) - F(n) 2 n - F(0) = 0 F(n + 3) - F(n + 2) - 9 F(n + 1) + 9 × F(n) F(0) = 0 F(1) = 1 F(2) = 2
