实验36计算概率举例 问题1:设随机向量〔n)的概率密度函数为: p(x,y):=‖s.sin(x+y)ifo≤x≤ (0.5,0.5)=0421 sin(x+ y)dx dy=1 p(x, y)dx dy 1(x) sin(x+ y)dy 2(y) sin(x+ y)d p(x)1 2Sn(x)+-cos(x) p2y)→1 于是随机变量ξ的概率密度函数为:类似地随机变量n的概率密度函数为: 5(x):|pl1(x)if0≤xs pny):=|p2(y)if0sy≤ rwIse opI(x)dx E=0.785E→÷En:=E5 En=0.571En E 丌=-0.046
Exx 0 p 2 x x 2 ×p1(x) ó ô ô õ d 1 8 p 2 × 1 2 := ® + ×p - 2 covxh 1 2 ×p - 1 1 16 p 2 covxh := Exh - Ex×Eh ® - × = -0.046 Exh 1 2 Exh Exh = 0.571 ® ×p - 1 0 p 2 y 0 p 2 x 1 2 ×x×y×sin(x + y) ó ô ô õ d ó ô ô õ := d Ex Eh := Ex 1 4 Ex Ex = 0.785 ® ×p 0 p 2 x×p1(x) x ó ô ô õ := d ph(y) p2(y) 0 £ y p 2 if £ 0 otherwise px(x) p1(x) 0 £ x := p 2 if £ 0 otherwise := 于是随机变量x的概率密度函数为: 类似地随机变量 h的概率密度函数为： p2(y) 1 2 ×sin(y) 1 2 p1(x) ® + ×cos(y) 1 2 ×sin(x) 1 2 ® + ×cos(x) p2(y) 0 p 2 x 1 2 sin(x + y) ó ô ô õ p1(x) := d 0 p 2 y 1 2 sin(x + y) ó ô ô õ := d 0 p 2 y 0 p 2 p(x,y) x ó ô ô õ d ó ô ô õ d = 1 0 p 2 y 0 p 2 x 1 2 ×sin(x + y) ó ô ô õ d ó ô ô õ d = 1 p(0.5 ,0.5) = 0.421 p(x, y) 1 2 ×sin(x + y) æ ç è ö ÷ ø 0 £ x p 2 £ 0 £ y p 2 £ if 0 otherwise := 问题1： 设随机向量 (x,h) 的概率密度函数为 ： 实验36 计算概率举例 1
D2=E-EEDξ→.80449687693107 Dn:=DξDE=0.188 DE Dn 804968769310171x 问题2:设随机向量(,n)的概率密度函数为 f(x,y) y+1 2.exp(y+ D dxdy exp(1) exp(-1)=1 0 otherwise 0 otherwise (-y+1) 0 otherwise E=|x2→2E=2→所以的方差不存在 En: yexp(-y + 1)dy>2. exp(1) exp(-1) En= 2 mn dy→5-exp(1) Enn= 5 Dn: Enn EnEn D 问题3:求N(0,1分布的各阶矩.设k为自然数求N(0,1)分布的各阶矩 由于N(0,1分布的密度为偶函数,所以它的奇数阶矩为0。 dx→3 E6:=
Ex6 - ¥ ¥ x x 6 2p exp x 2 - 2 æ ç è ö ÷ ø × ó ô ô ô õ Ex4 := d ® 15 - ¥ ¥ x x 4 2p exp x 2 - 2 æ ç è ö ÷ ø × ó ô ô ô õ := d ® 3 Ex2 - ¥ ¥ x x 2 2p exp x 2 - 2 æ ç è ö ÷ ø × ó ô ô ô õ Ex := d ® 1 - ¥ ¥ x x 2p exp x 2 - 2 æ ç è ö ÷ ø × ó ô ô ô õ := d ® 0 ,由于N(0,1)分布的密度为偶函数, 所以它的奇数阶矩为0。 问题3：求N(0,1)分布的各阶矩. 设k为自然数,求N(0,1)分布的各阶矩 Dh := Ehh - Eh×Eh Dh = 1 Ehh Ehh = 5 1 ¥ y y 2 ×exp(-y + 1) ó ô õ := d ® 5×exp(1)×exp(-1) Eh Eh = 2 1 ¥ y×exp(-y + 1) y ó ô õ := d ® 2×exp(1)×exp(-1) Exx 1 ¥ x x 2 2 x 3 × óô ô ô õ Ex := d ® ¥ 1 ¥ x x 2 x 3 × óô ô ô õ := d ® 2 所以x的方差不存在. gg1(y) exp(-y + 1) if y ³ 1 0 otherwise g1(y) := 1 ¥ x 2×exp(-y + 1) x 3 óô ô ô õ := d ® exp(-y + 1) ff1(x) 2 x 3 if x ³ 1 0 otherwise f1(x) := 1 ¥ y 2×exp(-y + 1) x 3 óô ô ô õ d 2 x 3 := ® ×exp(1)×exp(-1) 1 ¥ y 1 ¥ x 2×exp(-y + 1) x 3 óô ô ô õ d óô ô ô õ d ® exp(1)×exp(-1) = 1 f(x, y) 2×exp(-y + 1) x 3 x ³ 1 y ³ 1 if 0 otherwise := 问题2： 设随机向量 (x,h) 的概率密度函数为： r 1 2 ×p - 1 1 16 p 2 - × æ ç è ö ÷ ø .80449687693107 1 16 p 2 - × æ ç è ö ÷ ø ® = -0.245 r covxh Dx×Dh := Dx .80449687693107 Dh := Dx Dx = 0.188 1 16 p 2 Dx := Exx - Ex×Ex ® - × 2
E8:= dx→105 E510 dx→945 n 2..8 (2n)! EEn 105 10395 135135 2027025 E(1)→0 E(2)→1 E(3)→0 E2(4)→3 E2(5)→0 E(6)→15 E(7)→0 E(8)→105 E(9)→0 E(10)→945E(11)→0 E(12)→10395 三(n) 10395
EX(n) 1 3 15 105 945 10395 = EX(n) n := 1.. 12 1 n k Õ (2×k - 1) = := Ex(9) ® 0 Ex(10) ® 945 Ex(11) ® 0 Ex(12) ® 10395 Ex(5) ® 0 Ex(6) ® 15 Ex(7) ® 0 Ex(8) ® 105 Ex(1) ® 0 Ex(2) ® 1 Ex(3) ® 0 Ex(4) ® 3 Ex(k) - ¥ ¥ x x k 2p exp x 2 - 2 æ ç è ö ÷ ø × ó ô ô ô õ := d Exn 1 3 15 105 945 10395 135135 2027025 = Exn (2n)! 2 n ×n! := n := 1, 2.. 8 Ex10 - ¥ ¥ x x 10 2p exp x 2 - 2 æ ç è ö ÷ ø × ó ô ô ô õ Ex8 := d ® 945 - ¥ ¥ x x 8 2p exp x 2 - 2 æ ç è ö ÷ ø × ó ô ô ô õ := d ® 105 3
1351?05 2.027?0 3446?0 6547?08 1375?010 3.162?011
1.351?0 5 2.027?0 6 3.446?0 7 6.547?0 8 1.375?0 10 3.162?0 11 4