所以当y=h,x=时,矩形面积最大,最大面积为S=m 16.求内接于椭圆x+y=1,边与椭圆的轴平行的面积最大的矩形。 解设矩形的长与宽分别为2x与2y,则+)2=1,矩形的面积为 S=4 pa 解待xV八b,所以当矩形的边长分别为5n与√b时,内接矩 形的面积最大。 17.将一块半径为r的圆铁片剪去一个圆心角为6的扇形后做成一个 漏斗,问θ为何值时漏斗的容积最大? 解可以求得漏斗的底面半径为2x-y,高度为 2丌 2(2x-b)r 2 所以漏斗的容积为 (2n-)r dv=、=(3-12m0+4z)=0, dO24z2√4nO-0 上式关于在(0,2z)中有唯一解 6=2丌1 这就是使漏斗容积最大的角度θ。 18.要做一个容积为v的有盖的圆柱形容器,上下两个底面的材料价 格为每单位面积a元,侧面的材料价格为每单位面积b元,问直径与所以当 , 2 2 h y = x = a 时，矩形面积最大，最大面积为 4 ah S = 。 16．求内接于椭圆 x a y b 2 2 2 2 + = 1，边与椭圆的轴平行的面积最大的矩形。 解 设矩形的长与宽分别为2x与2y ，则 x a y b 2 2 2 2 + = 1，矩形的面积为 2 2 4 4 bx a x S xy a − = = ， 2 2 2 2 2 4 0 dS b x a x dx a a x ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ − = ， 解得 , 2 2 a x = y = b ，所以当矩形的边长分别为 2a与 2b时，内接矩 形的面积最大。 17．将一块半径为r 的圆铁片剪去一个圆心角为θ的扇形后做成一个 漏斗，问θ为何值时漏斗的容积最大？ 解 可以求得漏斗的底面半径为 (2 ) 2 π θ r π − ，高度为 2 2 2 (2 ) 4 2 2 r r r π θ πθ θ π π ⎡ ⎤ − − = − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ， 所以漏斗的容积为 2 3 2 2 2 1 (2 ) 4 (2 ) 4 3 2 2 24 r r r V π θ 2 π πθ θ π θ πθ θ π π π ⎡ ⎤ − = ⋅ − = − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ − ， 3 2 2 2 2 (2 ) (3 12 4 ) 0 24 4 dV r d π θ θ πθ π θ π πθ θ − = − + = − ， 上式关于θ 在(0, 2π )中有唯一解 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − 3 6 θ 2π 1 ， 这就是使漏斗容积最大的角度θ 。 18. 要做一个容积为V 的有盖的圆柱形容器，上下两个底面的材料价 格为每单位面积a 元，侧面的材料价格为每单位面积b 元，问直径与 152