在集合{(p,q):P,q∈Z,q≠0}中考虑一个关系~:(p,q)~(p’,q)当且仅当 p'=pq,它也是一个等价关系,有理数Q现在定义为 Q={(P,q):p.q∈Z,q≠0} 在Q中我们可以定义加法,减法,乘法,除法,还可证明加减法互为逆运算,乘除法互为 逆运算等性质,在Q中我们用P,且(.q)=1表示其中一个有理数,比如用表示 (n,2n) 这样我们完成了从空集φ出发到有理数集Q的定义 在2500年前,毕达哥拉斯学派认为一切线段都由原子组成,而原子有一个固定长度, 比如假定单位线段由q个原子组成,被测量的线段由p个原子组成,则线段之长为:2 即有理数可以度量一切长度。但毕达哥拉斯学派弟子希伯斯发现正五角形的边长为1时,对 角线长不能由有理数表示,希伯斯因此受到迫害。但后来发现有很多长度不能用有理数表示 比如简单地取正方形边长为1,由勾股定理,它的对角线长度的平方应为2,我们记之为√2 如果它是有理数,就应该有: (m,n)=1,n≠0 两边平方,得2n2=m2,因为m,n都是整数,表明m2中含2因子,即m中含2因子, 设m=2p,则n2=2p2,同样推理表明n中也含2因子,与(m,n)=1矛盾,所以√2不 是有理数。这表明只有有理数是不够的,必须引入新的数,即无理数,它们合在一起称为实 数 §2实数的定义(戴德金分割) 定义实数有不同的方法,戴德金分割是一个比较标准的方法。直观地看,有理数Q在 实轴上没有填满,还有很多“孔隙”,戴德金分割就是在数轴上割一刀,把现有的有理数Q 分成两部分,如果这一刀恰好砍在某个有理数上,这一分割对应的就是这个有理数,如果没 碰到任何有理数,这个分割就定义出一个无理数。 定义1将有理数全体组成的集合分成A,B两类,使满足以下性质 1)A与B都至少包含一个有理数(不空) 2)任一有理数,或属于A,或属于B(不漏);183 在集合{ ( p, q) : p, qÎZ, q ¹ 0 }中,考虑一个关系 ~ ： ( p, q) ~ ( p¢, q¢) 当且仅当 pq¢ = p¢q，它也是一个等价关系，有理数 Q 现在定义为： Q ={( p, q): p,qÎ Z, q ¹ 0} ~ 。 在 Q 中我们可以定义加法，减法，乘法，除法，还可证明加减法互为逆运算，乘除法互为 逆运算等性质，在 Q 中我们用 q p ，且( p, q) = 1表示其中一个有理数，比如用 2 1 表示 (n, 2n) 。 这样我们完成了从空集f 出发到有理数集 Q 的定义。 在 2500 年前，毕达哥拉斯学派认为一切线段都由原子组成，而原子有一个固定长度， 比如假定单位线段由q 个原子组成，被测量的线段由 p 个原子组成，则线段之长为： q p ， 即有理数可以度量一切长度。但毕达哥拉斯学派弟子希伯斯发现正五角形的边长为1时，对 角线长不能由有理数表示，希伯斯因此受到迫害。但后来发现有很多长度不能用有理数表示， 比如简单地取正方形边长为1，由勾股定理，它的对角线长度的平方应为2 ，我们记之为 2 ， 如果它是有理数，就应该有： n m 2 = ， (m, n) = 1， n ¹ 0 。 两边平方，得 2 2 2n = m ，因为m ，n 都是整数，表明 2 m 中含2 因子，即m 中含2 因子， 设m = 2 p ，则 2 2 n = 2p ，同样推理表明n 中也含 2 因子，与(m, n) = 1矛盾，所以 2 不 是有理数。这表明只有有理数是不够的，必须引入新的数，即无理数，它们合在一起称为实 数。 §2 实数的定义（戴德金分割） 定义实数有不同的方法，戴德金分割是一个比较标准的方法。直观地看，有理数 Q 在 实轴上没有填满，还有很多“孔隙”，戴德金分割就是在数轴上割一刀，把现有的有理数 Q 分成两部分，如果这一刀恰好砍在某个有理数上，这一分割对应的就是这个有理数，如果没 碰到任何有理数，这个分割就定义出一个无理数。 定义 1 将有理数全体组成的集合分成 A ， B 两类，使满足以下性质： 1） A 与 B 都至少包含一个有理数（不空）； 2） 任一有理数，或属于 A ，或属于 B （不漏）；