(b)P是一个从|到||的函数。 (c)P是||到自身的一个一一对应。 习题5.3 (1)证明同态定理中的(a)部分。 (2)找出所有在结构(R,<)中可定义的(a)R的子集;(b)R上的二元关系。并证明你的 结论。 (3)证明加法函数的图像{(m,n,p):p=m+n}(作为三元关系)在结构(N,)中不可 定义。提示:找一个结构(N,)上的把两个素数“互换”的自同构 (4)令L={≈,}其中。为一个二元函数符号。对下列L的结构分别给出一个闭语句, 使其在一个结构内成立,而在另三个结构中不成立。因此它们两两互不初等等价。 (a)(R;x)其中x是实数上通常的乘法; (b)(歐*;×")其中R*是非零实数的集合,x*是×在R*上的限制 (c)(N:+)其中+是自然数上通常的加法 (d)(P;+*)其中P是正整数的集合,+*是+在P上的限制 (5)令L={≈,P}其中P为一个二元谓词符号。考察结构(P,|)其中P是正整数的集 合,并且|为整除关系。 (a)所有素数的集合在该结构中可定义吗?为什么? (b)通常的小于关系a<b在该结构中可定义吗?为什么? (6)(a)假定语言L中除了等词之外仅有一个二元谓词P。证明如果是一个L上的 有穷结构,并且W≡男,则与9同构 (b)证明(a)对任何包含等词的语言都成立 [注:这说明我们有能力“完全刻画”有穷的结构。](b) P A 是一个从 | A | 到 | A | 的函数。 (c) P A 是 | A | 到自身的一个一一对应。 习题 5.3. (1) 证明同态定理中的 (a) 部分。 (2) 找出所有在结构 (R, <) 中可定义的 (a) R 的子集；(b) R 上的二元关系。并证明你的 结论。 (3) 证明加法函数的图像 {(m, n, p) : p = m + n} （作为三元关系）在结构 (N, ·) 中不可 定义。提示：找一个结构 (N, ·) 上的把两个素数“互换”的自同构。 (4) 令 L = {≈, ◦} 其中 ◦ 为一个二元函数符号。对下列 L 的结构分别给出一个闭语句， 使其在一个结构内成立，而在另三个结构中不成立。因此它们两两互不初等等价。 (a) (R; ×) 其中 × 是实数上通常的乘法； (b) (R ∗ ; ×∗ ) 其中 R ∗ 是非零实数的集合，×∗ 是 × 在 R ∗ 上的限制； (c) (N; +) 其中 + 是自然数上通常的加法； (d) (P; +∗ ) 其中 P 是正整数的集合，+∗ 是 + 在 P 上的限制。 (5) 令 L = {≈, P} 其中 P 为一个二元谓词符号。考察结构 (P, |) 其中 P 是正整数的集 合，并且 | 为整除关系。 (a) 所有素数的集合在该结构中可定义吗？为什么？ (b) 通常的小于关系 a < b 在该结构中可定义吗？为什么？ (6) (a) 假定语言 L 中除了等词之外仅有一个二元谓词 P。证明如果 A 是一个 L 上的 有穷结构，并且 A ≡ B，则 A 与 B 同构。 (b) 证明 (a) 对任何包含等词的语言都成立。 [注：这说明我们有能力“完全刻画”有穷的结构。] 3