(2+k2)G()dF=v()d 4丌 ds 2 4 然后我们再来看 Schrodinger方程。容易看到,此时 S(=U()v(), 所以我们有 v()=v6()+∫G()U()w()dr =v0(7) U/()v(7)dF 这个方程称为 Lippman- Schwinger方程。注意,这并不意味着我们“解出”了v(行),因为右边的积分 中仍含有v(),所以这是一个关于v()的积分方程,它与微分形式的 Schrodinger方程是等价的 2.Born近似 积分方程这种形式的好处在于它含有v6(),而这一项可以用来体现边界条件,所以它等于是把微 分方程和边界条件集于一身表现出来了。对于散射问题。我们要求v()的边界条件是 v(G)=→e*+fe 所以,我们应该在积分方程中令 它确实是齐次 Helmholtz方程的解,而且在U(F)=0时f(O,q)=0。所以我们现在要解方程 y(= 4zl|-产 U(y()d'r 严格地解它还是困难的,我们来利用微扰近似。既然在U()=0时v=Wo=e“,我们就在方程右方 的积分中用v(F)代替v(r),得到 w() ()e-dp 对于散射问题,我们还需在其中令r→∞并且和渐近形式进行对比。在r→∞时可以取 → 但是在指数上我们不能这样近似,因为e是x的振荡函数。这时我们应取 r'cosb=r-r 所以 4z=P()“7-→4e()F 注意到 k’=ke:P'=k·P,(k=ke) k·r=k’·r 其中k是入射粒子波矢量,k是出射粒子波矢量,再对比散射振幅的一般定义,我们就得到( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 3 0 0 i 2 3 2 3 0 0 2 2 0 0 1 e 1 1 4 4 1 1 1 1 4 4 1 1. 4 k r k G r d r G r d r d r d r r r ds r d r r d            → → → → → →  + =        = −  = −                  = −   = − −          =  =        然后我们再来看 Schrödinger 方程。容易看到，此时 S r U r r ( ) = ( ) ( ), 所以我们有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 0 i | | 3 0 , 1 e . 4 | | k r r r r G r r U r r d r r U r r d r r r       −  = +     = −    −    这个方程称为 Lippman-Schwinger 方程。注意，这并不意味着我们“解出”了  (r) ，因为右边的积分 中仍含有  (r) ，所以这是一个关于  (r) 的积分方程，它与微分形式的 Schrödinger 方程是等价的。 2．Born 近似 积分方程这种形式的好处在于它含有 0 (r) ，而这一项可以用来体现边界条件，所以它等于是把微 分方程和边界条件集于一身表现出来了。对于散射问题。我们要求  (r) 的边界条件是 ( ) ( ) i i e e , . k r r k z r f r    ⎯⎯⎯→ + →  所以，我们应该在积分方程中令 ( ) i 0 e . k z  r = 它确实是齐次 Helmholtz 方程的解，而且在 U r( ) = 0 时 f ( , ) = 0 。所以我们现在要解方程 ( ) ( ) ( ) i | | i 3 1 e e . 4 | | k r r k z r U r r d r r r    −  = −    −   严格地解它还是困难的，我们来利用微扰近似。既然在 U r( ) = 0 时 i 0 e k z  = = ，我们就在方程右方 的积分中用  0 (r) 代替  (r) ，得到 ( ) ( ) i | | i i 3 1 e e e . 4 | | k r r k z k z r U r d r r r   −   = −   −   对于散射问题，我们还需在其中令 r → 并且和渐近形式进行对比。在 r → 时可以取 1 1 . | | r r r r ⎯⎯⎯→→ −  但是在指数上我们不能这样近似，因为 i e x 是 x 的振荡函数。这时我们应取 | | cos .r r r r r r r e −  − = −      所以 ( ) ( ) i | | i 1 e e 1 i 3 i 3 i e e e . 4 | | 4 r k r r k r k z k z r k r e U r d r U r d r   r r r −    →  −  − ⎯⎯⎯→−     −    注意到 , ( ) , ( ) z z r r k z k e r k r k ke ke r k r k ke     =  =  =    =  =      其中 k 是入射粒子波矢量， k 是出射粒子波矢量，再对比散射振幅的一般定义，我们就得到：