对r求导得S(r)=丌(+4r-r2)=(5-r)(1+r) 令S'(r)=0,的区间(√24-3,√24+3)上的唯一驻点r=5 由于S"(r)=x(4-2r),S"(5)=-6兀<0 所以,S(r)在唯一驻点r=5处取得最大值S(5)=10x 所求球面S2的半径为:r=5.此题要点空间几何知识 、定积分证明 1.设∫(x)在{a,b上二阶可导,且∫"(x)<0,试证 f(x)≤(b-/b 证]利用泰勒公式:令2+b 2x,写出f(x)在点x处的带拉格朗日余项的一阶 泰勒公式f(x)=f(x)+∫(xx-x)+"(x-xn) 因为∫"(x)<0,所以有f(x)<∫(x0)+f(x0)(x-x0) 再利用定积分的性质,得到 ∫,∫(x)t<Jx)+Jr(xx-x) 因为f(x)=f(x)(b-a)=(b-a)f( +b ∫/yXxx=x小x- f(o-a+6,/6 故有f(x)<(b-a)f( a+b 2设x)在连续且单调增,证明:∫(x≥2"+∫r 证法一]利用变上限定积分,利用单调性 令F(x)=」(r)ah_a+x f(t)dr,x∈[a,b对 r 求导得 ( ) (5 4 ) (5 )(1 ) 2 S r =  + r − r =  − r + r 令 S(r) = 0 ，的区间 ( 24 − 3, 24 + 3) 上的唯一驻点 r = 5 由于 S(r) =  (4 − 2r) ， S(5) = −6  0 所以， S(r) 在唯一驻点 r = 5 处取得最大值 3 100 (5)  S = , 所求球面 S2 的半径为 ： r = 5. 此题要点空间几何知识。 二、定积分证明 1. 设 f ( x) 在 [a,b] 上二阶可导，且 f (x)  0 ，试证： ) 2 ( ) ( ) ( a b f x dx b a f b a +  −  . [证] 利用泰勒公式： 令 0 2 x a b = + ，写出 f ( x) 在点 0 x 处的带拉格朗日余项的一阶 泰勒公式 2 0 0 0 0 ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( )( ) x x f f x f x f x x x −  = +  − +  因为 f (x)  0 ，所以有 ( ) ( ) ( )( ) 0 x0 x x0 f x  f x + f  − 再利用定积分的性质，得到     +  − b a b a b a f (x)dx f (x0 )dx f (x0 )(x x0 )dx 因为 ) 2 ( ) ( )( ) ( ) ( 0 0 a b f x dx f x b a b a f b a + = − = −  ) 0 2 ( 2 1 ( ) ) 2 ( )( ) ( ) ( 2 0 0 0 0 = + =  − +  − =  −   b a b a b a a b f x x dx a b f x x x dx f x x 故有 ) 2 ( ) ( ) ( a b f x dx b a f b a +  −  2. 设 f ( x) 在 [a,b] 上连续且单调增，证明：   +  b a b a f x dx a b xf x dx ( ) 2 ( ) . [证法一] 利用变上限定积分，利用单调性： 令   + = − x a x a f t dt a x F x tf t dt ( ) 2 ( ) ( ) ， x [a,b]