+此结论在说明一些周期函数的性质时很有用（如谢惠民P155第13题） 结论29feC(0,+m)有界→M,3xm→+，imfQ+x)-fxn)=0(教材P111 证明思路反证。由恒大于正数（成小于负数）推出无牙 结论30f∈C(),f0cI或1cf0)→f(x)存在不动点（谢惠民P132、P148) 证明思路构造f(x)-x,考虑定义域/值域的端点处 三、导数 定义1导数定义、左右导数、区间可导（教材P125)、光滑函数（讲义15） 补充可导必连续，连续未必可导（存在连续处处不可导的连续函数），此结论亦可推出微 分中的无穷小增量公式（谢惠民P159、P161) *导数是美商的极限（在分段承数表示时有时只能利用定义） 导数最常用的几何观点：切线斜率， 一阶导数是最准确的线性逼近（谢惠民P160) *可导是 点处的 念（仅一点可导：黎曼函数乘x) *函数的左右导数具有保号性（本质是极限保号性）（谢惠民P186) 结论1奇函数导函数为偶，偶函数导函数为奇（若0点存在则必为0） 证明思路由定义推得成立 此结论可通过归纳推论出n阶导数的情况，也可说明泰勒公式中只含奇/偶项 结论2 的链式法则（教材P131 证明思路利用定义构造函数说明或利用无穷小增量公式 *链式法则亦可推广到阶情况（讲义16，实际应用很少） *求导还有一些基础结论，如四则运算与导数混合、初等函数导数、反函数求导法则 注意反函数求导法刚使用时自变量的不同 结论3莱布尼茨公式（教材P141 证明思路利用乘积求导公式归纳 结论4)={8产之0则在0处任意阶左号数为0 证明思路说明指数收敛速度高于任意阶多项式后归纳得结论 此函数为任意阶可导但非实解析函数的典型案例（讲义24），其泰勒多项式恒为0 结论5n为奇数时arctan(例(0)=(-1)号(n-1)！(n为偶数是0可由奇偶性推知) 证明思路y=arctan'(x)=中，可利用(1+x2)y=0使用莱布尼茨公式递推，或 分解为y=(-)直接计算n阶导数 第二种思路的合理性需要由复变函数论说明。因此暂不适合写过程 *事实上，第一种解法更为本质也更为常用（谢惠民P168例题、P176前三道练习题） 注意拆项法的使用 关干这个函数的n阶导数有不少可通讨归纳得出的结论（教材P143第4、5题） 结论6隐函数与参数方程的求导法则（谢惠民P171、P174) 证明思路利用反函数求导法则与链式法则 微分学中值定理（范围：有界闭区间连续、有界开区间可导的函数】 *此结论在说明一些周期函数的性质时很有用（如谢惠民 P155 第 13 题） 结论 29 f ∈ 𝐶(0, +∞)有界 ⇒ ∀λ, ∃𝑥𝑛 → +∞, lim 𝑛→+∞ (𝑓(λ + 𝑥𝑛 ) − 𝑓(𝑥𝑛 )) = 0（教材 P111） 证明思路 反证，由恒大于正数（或小于负数）推出无界 结论 30 𝑓 ∈ 𝐶(𝐼), 𝑓(𝐼) ⊂ 𝐼或𝐼 ⊂ 𝑓(𝐼) ⇒ 𝑓(𝑥)存在不动点（谢惠民 P132、P148） 证明思路 构造𝑓(𝑥) − 𝑥，考虑定义域/值域的端点处 三、导数 定义 1 导数定义、左右导数、区间可导（教材 P125）、光滑函数（讲义 15） 补充 可导必连续，连续未必可导（存在连续处处不可导的连续函数），此结论亦可推出微 分中的无穷小增量公式（谢惠民 P159、P161） *导数是差商的极限（在分段函数表示时有时只能利用定义） *导数最常用的几何观点：切线斜率，一阶导数是最准确的线性逼近（谢惠民 P160） *可导是一点处的概念（仅一点可导：黎曼函数乘𝑥） *函数的左右导数具有保号性（本质是极限保号性）（谢惠民 P186） 结论 1 奇函数导函数为偶，偶函数导函数为奇（若 0 点存在则必为 0） 证明思路 由定义推得成立 *此结论可通过归纳推论出𝑛阶导数的情况，也可说明泰勒公式中只含奇/偶项 结论 2 求导的链式法则（教材 P131） 证明思路 利用定义构造函数说明或利用无穷小增量公式 *链式法则亦可推广到𝑛阶情况（讲义 16，实际应用很少） *求导还有一些基础结论，如四则运算与导数混合、初等函数导数、反函数求导法则 *注意反函数求导法则使用时自变量的不同 结论 3 莱布尼茨公式（教材 P141） 证明思路 利用乘积求导公式归纳 结论 4 f(𝑥) = {𝑒 − 1 𝑥2 𝑥 > 0 0 𝑥 = 0 ，则𝑓在 0 处任意阶左导数为 0 证明思路 说明指数收敛速度高于任意阶多项式后归纳得结论 *此函数为任意阶可导但非实解析函数的典型案例（讲义 24），其泰勒多项式恒为 0 结论 5 𝑛为奇数时𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (𝑛) (0) = (−1) 𝑛−1 2 (𝑛 − 1)!（𝑛为偶数是 0 可由奇偶性推知） 证明思路 𝑦′ = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛’(𝑥) = 1 1+𝑥 2，可利用(1 + 𝑥 2 )𝑦’ = 0使用莱布尼茨公式递推，或 分解为𝑦’ = 1 2𝑖 ( 1 𝑥−𝑖 − 1 𝑥+𝑖 )直接计算𝑛阶导数 *第二种思路的合理性需要由复变函数论说明，因此暂不适合写过程 *事实上，第一种解法更为本质也更为常用（谢惠民 P168 例题、P176 前三道练习题） *注意拆项法的使用 *关于这个函数的𝑛阶导数有不少可通过归纳得出的结论（教材 P143 第 4、5 题） 结论 6 隐函数与参数方程的求导法则（谢惠民 P171、P174） 证明思路 利用反函数求导法则与链式法则 微分学中值定理（范围：有界闭区间连续、有界开区间可导的函数）