§2导数的意义和性质 产生导数的实际背景 微积分的发明人之一— Newton最早用导数研究的是如何确定 力学中运动物体的瞬时速度问题。 个运动物体在时刻t的位移可以用函数s=()来描述,它在时 间段,t+Δ]中位移的改变量为As=s(t+△)-),所以当M很小的时 候,它在时刻t的瞬时速度可以近似地用它在[,1+△中的平均速度 △ss(t+△n)-s(t) 来代替。而瞬时速度是当Δt→0时v(1)的极限值,即 s(t+△)-(t) (t=lim=lil △t 于是 也即运动物体的速度是它的位移函数的导数。产生导数的实际背景 微积分的发明人之一──Newton最早用导数研究的是如何确定 力学中运动物体的瞬时速度问题。 一个运动物体在时刻t 的位移可以用函数s st = ( )来描述，它在时 间段[, ] tt t + Δ 中位移的改变量为Δs s t t st = ( ) () + Δ − ，所以当Δt 很小的时 候，它在时刻t的瞬时速度可以近似地用它在[, ] tt t + Δ 中的平均速度 v t s t st t st t ( ) ( ) () = = Δ + − Δ ΔΔ 来代替。而瞬时速度是当Δt → 0时v t( )的极限值，即 v t s t st t st t t t ( ) lim lim ( ) () = = + − Δ Δ → → ΔΔ Δ 0 0 Δ 。 于是 vt s t () () = ′ ， 也即运动物体的速度是它的位移函数的导数。 §2 导数的意义和性质