归一化系统基态波函数(15分,提示:电子自旋为士,是费米子);(i)假设有 两个玻色子在立方盒子中运动,不考虑玻色子间相互作用,系统基态能是多少?并 写出归一化系统基态波函数(15分 解:(2i)(10分)定态薛定谔方程:。b2 2m Vv(x,y,=)=Ey(x,y, = 分离变量:v(x,y,=)=X(x)y(y)Z(-),E=E+E,+E ndx(x) 2m d =EX(x)x(x) 力2d2y(y) 2m dy Ey():1(0)=2sm(2)E,=xn3 h2d2z(=) nn二 h 2m d =Ez(-)2() 2 n 7x n X v(x,y,=)= a h2 z(n2+n2+n2),n1,n,n1=1,2,3 (2i)(15分)电子是费米子,波函数应是反对称的 v(G,s:,s2-)=φ°(,)x‘(s2,S2) 由于自旋部分波函数可取反对称,轨道部分波函数可以取对称的,即轨道部分可取相同的态; 基态:E=2En=3b2n2 ,基态波函数 五|smx|sm(zy [x()x.(s2)-x.(s:)x(s:) (2i)(15分)玻色子可占据相同态,基态:E0=2F32兀,基态波函数 yG石,)=v1(x1,y1,=)1(x2y2=2)归一化系统基态波函数（15 分，提示：电子自旋为 1 2 ，是费米子）； （iii）假设有 两个玻色子在立方盒子中运动，不考虑玻色子间相互作用，系统基态能是多少？并 写出归一化系统基态波函数（15 分）； 解：（2.i）（10 分）定态薛定谔方程： ( ) ( ) 2 2 , , , , 2 x y z E x y z m −  =   分离变量：  ( x y z X x Y y Z z , , ) = ( ) ( ) ( )， E E E E = + + x y z ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y z d X x E X x m dx d Y y E Y y m dy d Z z E Z z m dz  − =   − =   − =  ； ( ) ( ) ( ) 2 sin 2 sin 2 sin x y z n x X x a a n y Y y a a n z Z z a a        =           =          =      ； 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x y y z z E n a E n a E n a        =     =    =  ( ) 3/ 2 2 , , sin sin sin x y z n x n x n x x y z a a a a             =                 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 E n n n mnl x y z ma  = + + ， , , 1, 2,3,... x y z n n n = （ 2.ii ）（ 15 分 ） 电 子 是 费 米 子 ， 波 函 数 应 是 反 对 称 的 ： ( 1 1 2 2 1 2 1 2 , ; , , , ) ( ) ( ) A S A z z z z    r s r s r r s s = 由于自旋部分波函数可取反对称，轨道部分波函数可以取对称的，即轨道部分可取相同的态； 基态： 2 2 0 111 2 3 E E2 ma  = = ，基态波函数： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 111 1 1 1 111 2 2 2 3 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 , ; , , , , , 2 sin sin sin sin sin sin 1 2 A A z z z z z z r s r s x y z x y z x y z x y z a a a a a a a s s s s                   =               =                              −     （2.iii）（15 分）玻色子可占据相同态，基态： 2 2 0 111 2 3 E E2 ma  = = ，基态波函数： ( 1 2 111 1 1 1 111 2 2 2 ) ( ) ( ) 3 1 1 1 2 2 2 , , , , , 2 sin sin sin sin sin sin S r r x y z x y z x y z x y z a a a a a a a          =               =                            