北京科技大学2004年硕士学位研究生 入学考试试题答案 物理常数:光速:c=2.998×108ms-1:普朗克常数:h=6626×103J·s;玻尔兹曼 常数:k2=1.381×10-23J/K:电子质量:m2=9.109×10-kg:碳原子质量 m=12u=2007×10-°kg;电子电荷:e=1.602×10C 1)物质波(30分):1924年,德布洛意提出物质波概念,认为任何实物粒子,如电子 质子等,也具有波动性,对于具有一定动量p的自由粒子,满足德布洛意关系 (10分):假设电子由静止被150伏电压加速,求 加速后电子的的物质波波长 10分,保留1位 有效数字):对宏观物体而言,其对应的德布洛意波波长极短,所以宏观物体的波动 性很难被我们观察到,但最近发现介观系统(纳米尺度下的大分子)在低温下会显 示出波动性。计算1K时,C团簇(由60个C原子构成的足球状分子)热运动所 对应的物质波波长: (10分,保留1位有效数字) 解:德布洛意关系(10分):A h 电子物质波波长 h 6626×10 10×10-10m P√2mE√2me√2x9.109×10-3×1602×10-9×150 Ch物质波波长 A=pm,Em7302013810×1100m 2)薛定谔方程(40分):质量为m的一个粒子在边长为a的立方盒子中运动,粒子所 受势能(xy)由下式给出:P(x少J0x∈(0,a)ye(0a):∈0a):() oo. others 列出定态薛定谔方程,并求系统能量本征值和归一化波函数(10分):(ⅱ)假设有 两个电子在立方盒子中运动,不考虑电子间相互作用,系统基态能是多少?并写出北京科技大学 2004 年硕士学位研究生 入学考试试题答案 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 物理常数：光速： 8 1 c m s 2.998 10 − =   ；普朗克常数： 34 h J s 6.626 10− =   ；玻尔兹曼 常数： 23 1.381 10 / B k J K − =  ；电子质量： 31 9.109 10 m kg e − =  ；碳原子质量： 26 12 2.007 10 m u kg C − = =  ；电子电荷： 19 e C 1.602 10− =  --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1） 物质波（30 分）：1924 年，德布洛意提出物质波概念，认为任何实物粒子，如电子、 质子等，也具有波动性，对于具有一定动量 p 的自由粒子，满足德布洛意关系： _____________________________（10 分）；假设电子由静止被 150 伏电压加速，求 加速后电子的的物质波波长：_____________________________（10 分，保留 1 位 有效数字）；对宏观物体而言，其对应的德布洛意波波长极短，所以宏观物体的波动 性很难被我们观察到，但最近发现介观系统（纳米尺度下的大分子）在低温下会显 示出波动性。计算 1 K 时， C60 团簇（由 60 个 C 原子构成的足球状分子）热运动所 对应的物质波波长：_____________________________（10 分，保留 1 位有效数字）。 解：德布洛意关系（10 分）： h p  = 电子物质波波长： 34 10 31 19 6.626 10 1.0 10 2 2 e e 2 9.109 10 1.602 10 150 h h h m p m E m eV  − − − −  = = = =        C60 物质波波长： 60 60 34 10 26 23 6.626 10 1.0 10 2 3 C C B 3 60 2 10 1.381 10 1 h h m m E m k T  − − − −  = = =         2） 薛定谔方程（40 分）：质量为 m 的一个粒子在边长为 a 的立方盒子中运动，粒子所 受势能 V x y z ( , , ) 由下式给出： 0, 0, ; 0, ; 0, ( ) ( ) ( ) ( , , ) , x a y a z a V x y z others     =   ；（i） 列出定态薛定谔方程，并求系统能量本征值和归一化波函数（10 分）；（ii）假设有 两个电子在立方盒子中运动，不考虑电子间相互作用，系统基态能是多少？并写出