定理911用二次型的语言来说,就是对F上秩为r的n元二次型f(x1,x2,…,xn)=XTAX 总可以经过可逆线性替换X=CY化为 9(,y,…,y)=d1+d2y2+…+dry2 式(4)称为二次型(1)的标准型 从定理9.1.1的证明,我们得到求与对称阵A合同的对角阵的初等变换方法对于A,存在n阶可逆 C,使OAC为对角阵.设C=C1C2…C,其中C1是初等矩阵,(i=1,2,……,s).由于初等矩阵 的转置为同型初等矩阵,所以 CTAC=CS((C(CT AC1)C2).Cs 对A做一系列列的初等变换,再做同样的行的初等变换,就得到与A合同的对角矩阵 我们构造矩阵 A 4做次行的初等变换,就对(E)做次相应的列的初等安换当阵A变为对角时矩阵E 化为可逆阵C A (…(C2(C1AC1)C2)…)C C1C2…C 例3用初等变换法化二次型 f(x1,x2,x3)=x1x2+x1x3+x2x3 为标准型,并写出所用的可逆变换矩阵 0001 0001 112111000 122010 0 1011 000 00 1 001 0 0 0011 0 0 0 1 所以得标准形 (1,y2,y3)=2-n-2,✷ 'o 9.1.1 R+>!YFm"￾e( F r0 r ! n [+> f(x1, x2, · · · , xn) = XTAX, {kL Ek
9A+K X = CY J0 g(y1, y2, · · · , yn) = d1y 2 1 + d2y 2 2 + · · · + dry 2 r , (4)  (4) 0+> (1) ! ( . 'o 9.1.1 !i~￾3| X( f A H-!(Zf! 
. (W A, _ n \k
f C,  C T AC 0(Zf C = C1C2 · · · Cs, s Ci "ff￾ (i = 1, 2, · · · , s). SW"ff !xq0->"ff￾&L C T AC = C T s (· · ·(C T 2 (C T 1 AC1)C2)· · ·)Cs. ( A J4tt!"K￾^-G!!"K￾e X A H-!(Zff 3|=`ff  A E  , ( A J!"K￾e(  A E  J:Q!t!"Kff A 0(Zf￾ff E J0k
f C.  A E  →  C T s (· · ·(C T 2 (C T 1 AC1)C2)· · ·)Cs C1C2 · · · Cs  .  3 R"K,J+> f(x1, x2, x3) = x1x2 + x1x3 + x2x3 0y>￾ <&R!k
Kff    0 1 2 1 2 1 2 0 1 2 1 2 1 2 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1   →   1 2 1 2 1 1 2 0 1 2 1 2 1 2 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1   →   1 1 2 1 1 2 0 1 2 1 1 2 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1   →   1 1 2 1 0 − 1 4 0 1 1 2 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1   →   1 0 1 0 −1 4 0 1 0 0 1 − 1 2 0 1 1 2 0 0 0 1   →   1 0 0 0 −1 4 0 0 0 −1 1 − 1 2 0 1 1 2 0 0 0 1   →   1 0 0 0 −1 4 0 0 0 −1 1 − 1 2 −1 1 1 2 −1 0 0 1   &L y? f(x1, x2, x3) = g(y1, y2, y3) = y 2 1 − 1 4 y 2 2 − y 2 3 , 5