§20.3三维无界空间 Helmholtz方程的 Greent函数 第9页 无穷远条件定B(k)考虑到 Helmholtz方程的实际背景,比如说,它是由波动方程经过分 离变量(分离去时间部分)得到的.作为一个例子,假设要求得到的解在无穷远处为发散波.取 时间因子为e-,则解式中的第一项为发散波,第二项为会聚波.所以,应该有B(k)=0. 剩下的常数A(k)就应该由R=0处的边界条件决定,即由R=0处点源的强度决定 R=0处的边界条件定A(k)这时并不能直接将解式代入R=0处的边界条件,原因 是f(F)或g(,n,)在R=0处的导数并不存在.另一方面,我们已经约定,凡是涉及δ函数的等 式都应该从积分意义下去理解.于是,很自然地,应当将方程在R=0附近的小体积内积分, ∥ns+e f(r)dEnde () 左端第一项的体积分应当化为面积分 VE, n cf(r)dEdnds ∥ V:n;f(B)|·d∑, 因为这样就可以回避掉在R=0点的求导问题.取这个小体积为以R=0点为球心,p为半径的 球体,则 n <f(r)sands / VE,nf(B)·d∑ ∥ df(R)Rsin abadr=p -4丌A(k)(1-ikp)e 第二项的体积分可以直接算出 /二4A)。mR 4丌A(k) k 将这些结果代回到(为式,就有 44(k)=-1 所以,A(k)=1/4丌E0,与k无关,这样,最后就求出了三维无界空间 Helmholtz方程的Gren 函数 g(5,n,)=f(R) 4丌oR G(r; r) ∈o|r 当k=0时,这个结果就回到 Poisson方程的 Green函数 最后,需要说明,这个结果是在无穷远处为发散波,并且取时间因子为e的条件下得 到的.可以设想,如果要求无穷远处为会聚波,并且仍取时间因子为e-t,则Gre函数应该 是 如果是其他形式的无穷远条件,当然还会得到其他形式的解§20.3 n‘Ã.mHelmholtz§Green¼ê 1 9  á^‡½B(k) ÄHelmholtz§¢Sµ§'X`§§´dÅЧ²L© lCþ(©lžmÜ©)©Š‡~f§b‡¦)3á?uÑÅ© žmÏfe −iωt§K)ª¥1‘uÑŧ1‘¬àÅ©¤±§ATkB(k) = 0© e~êA(k)ÒATdR = 0?>.^‡û½§=dR = 0?: rÝû½© R = 0?>.^‡½A(k) ùž¿ØU†ò)ª\R = 0?>.^‡§Ï ´f(R)½g(ξ, η, ζ)3R = 0?ê¿Ø3©,¡§·‚®²½§…´9δ¼ê ªÑATlÈ©¿Âen)©u´§ég,/§Aò§3R = 0NCNÈSÈ©§ ZZZ ∇ 2 ξ,η,ζf(R)dξdηdζ + k 2 ZZZ f(R)dξdηdζ = − 1 ε0 . (z) †à1‘NÈ©Az¡È© ZZZ ∇ 2 ξ,η,ζf(R)dξdηdζ = ZZ h ∇ξ,η,ζf(R) i · dΣ, ϏùҌ±£;K3R = 0:¦¯K©ù‡Nȏ±R = 0:¥%§ρŒ» ¥N§K ZZZ ∇ 2 ξ,η,ζf(R)dξdηdζ = ZZ h ∇ξ,η,ζf(R) i · dΣ = ZZ df(R) dR R 2 sin θdθdφ ¯ ¯ ¯ R=ρ = −4πA(k)(1 − ikρ)eikρ . 1‘NÈ©Œ±†ŽÑ§ ZZZ f(R)dξdηdζ = 4πA(k) Z ρ 0 e ikRRdR = 4πA(k) k 2 h (eikρ − 1) − ikρe ikρi . òù (J£(z)ª§Òk −4πA(k) = − 1 ε0 , ¤±, A(k) = 1/4πε0, †k Ã'©ù§￾Ò¦Ñ n‘Ã.mHelmholtz §Green ¼ê g(ξ, η, ζ) = f(R) = 1 4πε0 e ikR R , ½ G(r; r 0 ) = 1 4πε0 e ik|r−r 0 | |r − r0 | . k = 0ž§ù‡(JÒ£Poisson§Green¼ê© ￾§I‡`²§ù‡(J´3á?uÑŧ¿…žmÏfe −iωt^‡e ©Œ±Ž§XJ‡¦Ã¡?¬àŧ¿…EžmÏfe −iωt§KGreen¼êAT ´ G(r; r 0 ) = 1 4πε0 e −ik|r−r 0 | |r − r0 | . XJ´Ù¦/ªá^‡§,„¬Ù¦/ª)©