§204圆内 Poisson方程第一边值问题的Gre数 第10页 §20.4圆内 Poisson方程第一边值问题的Gren函数 本节的目的是通过对于圆内 Poisson方程第一边值问题Gren函数的讨论,再介绍 些求 Green函数的常用方法 圆内 Poisson方程第一边值问题 Green函数的定义是 VaG(r; r) (r-r),|r<a,|r1< G(r;r)=0, 其中 2+0,=m+ 先介绍一种标准的做法,即考虑到方程是一个非齐次方程,所以将 Green函数按相应齐次 问题的本征函数展开 采用平面极坐标系,坐标原点放在圆心 G(r; r)=Ro(r)+>[RmI(r)cos mp+Rm2(r)sin mo 同样,将δ函数也按该组本征函数展开, 6(7-r)=6(x-x)6(y-)=56(r-r)6(-) 1 2丌 现在的问题就是如何求解Ro(r),Bnm1(r)和Rm2(r) ★决定Ro(r)的常微分方程定解问题是 Id dRo(r) Ro(O)有界,Ro(a)=0. 当r≠r'时,方程是齐次的,在考虑到边界条件后,有解 r< Ro(r) 再根据o(r)在r=r点的连续性,即Ro(r)在r=r点连续,而F(r)不连续(它可以由方 程在r=r点两侧积分得到), d ro(r) 就可以定出Ao和B§20.4 SPoisson§1>Š¯KGreen¼ê 1 10  §20.4 SPoisson§1>Š¯KGreen¼ê !8´ÏLéuSPoisson§1>Š¯KGreen¼ê?ا20 ¦Green¼ê~^{© SPoisson§1>Š¯KGreen¼ê½Â´ ∇ 2 2G(r; r 0 ) = − 1 ε0 δ(r − r 0 ), |r| < a, |r 0 | < a, G(r; r 0 ) ¯ ¯ r=a = 0, Ù¥ r 2 = x 2 + y 2 , ∇ 2 2 = ∂ 2 ∂x2 + ∂ 2 ∂y2 . k0«IO‰{§=Ч´‡šàg§§¤±òGreen ¼êUƒAàg ¯K¼êÐm© æ^²¡4‹IX§‹I:3%§ G(r; r 0 ) = R0(r) + X∞ m=1 £ Rm1(r) cos mφ + Rm2(r) sin mφ¤ . Ó§òδ¼êUT|¼êÐm§ δ(r − r 0 ) = δ(x − x 0 )δ(y − y 0 ) = 1 r 0 δ(r − r 0 )δ(φ − φ 0 ) = 1 r 0 δ(r − r 0 ) ½ 1 2π + 1 π X∞ m=1 £ cos mφ cos mφ0 + sin mφ sin mφ0 ¤ ¾ . y3¯KÒ´XÛ¦)R0(r), Rm1(r)ÚRm2(r)© F û½R0(r)~‡©§½)¯K´ 1 r d dr · r dR0(r) dr ¸ = − 1 2πε0 1 r 0 δ(r − r 0 ), R0(0)k., R0(a) = 0. r 6= r 0ž§§´àg§3Ä>.^‡￾§k) R0(r) =    A0, r < r0 , B0 ln r a , r > r0 . 2ŠâR0(r)3r = r 0:ëY5§=R0(r)3r = r 0:ëY§ R 0 0(r)ØëY(§Œ±d §3r = r 0:üýÈ©)§ dR0(r) dr ¯ ¯ ¯ ¯ r 0+0 r0−0 = − 1 2πε0 1 r 0 , Ҍ±½ÑA0ÚB0§ A0 = − 1 2πε0 ln r 0 a , B0 = − 1 2πε0 .